Условие единственности решения дифференциального уравнения

3. Существование и единственность решений дифференциального уравнения

1. Автономные уравнения на прямой

Неособая точка. Если точка $x_0$ является неособой, то есть $f(x_0)≠0$, решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:

Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что $f(x_0)≠0$; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что $f(x_0)>0$ (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_0$, существует её окрестность $U$, на которой функция $f$ принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция $\frac<1>$, являющаяся подынтегральным выражением в (3) . Следовательно, функция $F$ монотонно возрастает на $U$. Следовательно, у неё существует обратная функция.

Рассмотрим теперь второй возможный случай.

Особая точка. Если $f(x_0)=0$, очевидно, решением является константа $x=x_0$: в точке $x_0$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным. ∎

Вот такое доказательство. Убедительно?

Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.

Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?

А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение $x=x_0$, но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x=t^3$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.

Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть $f(x)=x^<2/3>$ не является гладкой функцией в точке $x=0$: её производная там стремится к бесконечности.

Этот пример показывает, что требование $C^1$-гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.

Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен.

Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то точку $x_2$, то есть существует решение $x=x(t)$, принимающее значение $x_0$ при $t=t_0$ и значение $x_2$ при каком-то другом $t=t_2$. Возьмём какую-то точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$. Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени $t_1\in (t_0, t_2)$, в который мы окажемся в точке $x_1$ (то есть $x(t_1)=x_1$). Посчитаем время $t_2-t_1$, которое потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$, см. рис. 1 .

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_0$ в какую-то другую точку: понятно, что $t_2 — t_0 > t_2 — t_1$ и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что $x_0=0$. Возьмём функцию $f(x)$, такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 2 .)

2. Общий случай

Существует такая окрестность $U\ni t_0$, что на $U$ существует и единственно решение $x\colon U\to \mathbb R^n$ задачи (6) .

3. Метод разделения переменных: магия продолжается

Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополительных построений.

Итак, пусть $x=x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (8) . Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$.

Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Впервые существование решения дифференциального уравнения было доказано Коши. Приводимое ниже доказательство основано на методе последовательных приближений, который принадлежит Пикару. Этот метод имеет самостоятельное значение, поскольку позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения.

Формулировка теоремы

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
с начальным условием
(1.1) .
Пусть – непрерывная функция двух переменных в замкнутой области :

и, следовательно, ограничена некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функция удовлетворяет условию Липшица:
(3) ,
.
Тогда существует единственное решение уравнения (1):
,
удовлетворяющее начальному условию , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Условие Липшица

Рассмотрим условие Липшица. Оно имеет вид:
(3) ,
где – положительное число;
, и – любые значения из области :
, , .

Смысл условия Липшица легко понять, если записать его в виде:
(3.1) .
При некотором фиксированном значении переменной , функция является функцией от переменной : . Пусть мы имеем график этой функции. Возьмем две точки, принадлежащие , на этом графике и проведем через них прямую. Тогда угол между прямой и осью ограничен некоторым значением , которое меньше . При таком ограничении график не имеет вертикальных касательных и скачков. А в тех точках, где существует частная производная , она ограничена:
.

Если в области функция имеет непрерывную частную производную , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частная производная непрерывна в замкнутой области, то она ограничена:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой переменная принадлежат интервалу между и :
.
Тогда:
.

Доказательство существования решения

Приведем исходное уравнение (1) с начальным условием (1.1) к интегральному уравнению. Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем это уравнение по от до :
;
Подставим начальное условие . В результате получим интегральное уравнение:
(4) .

Покажем, что интегральное уравнение (4) эквивалентно дифференциальному уравнению (1) с начальным условием (1.1). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.1) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.1). То, что из (1) и (1.1) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.1). Для этого подставим в (4) . Получим начальное условие (1.1). Продифференцировав обе части уравнения (4) по , получаем уравнение (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнения (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.
(5.n) .
Мы предполагаем, что при , стремится к решению уравнения (4):
(6) ,
где – решение уравнения (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1> вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что удовлетворяет уравнению (4):
.

1) Доказательство существования предела y_n при n стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.n) к сумме ряда. Для этого пишем:

.
Таким образом нам нужно доказать, что ряд
(7)
сходится при .

Сначала покажем, что при , последовательные приближения принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.

Далее, поскольку принадлежит интервалу , то . Тогда, аналогично предыдущему,
.
Отсюда
.

Далее, по индукции, поскольку принадлежат интервалу , то и
.
Отсюда
.

Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7), применяя условие Липшица.

Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):

;
(8.2) .
Для третьего члена применяем, аналогично, условие Липшица и оценку (8.2):

;
(8.3) .

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.n) .
Тогда

;
(8.n+1) .
Итак, поскольку (8.n) справедливо для и из (8.n) следует (8.n+1), то (8.n) выполняется для любых .

Запишем ряд (7) в виде:
(7.1) ,
где .
Применим (8.n) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.1) ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.1), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.1) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.1) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.n):
(5.n) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .

В силу (10) левая часть уравнения (5.n) стремится к .

Теперь покажем, что
.

Перепишем правую часть (5.n):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:

.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
.
Тогда
.
Поскольку произвольно, то

Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.n)
принимает вид
(11) .

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Будем считать, что . В противном случае поменяем местами и .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.

Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не превосходящее .

Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не меньшее .

Итак, мы имеем:
;
при ( или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число ( или ) и рассмотрим закрытый интервал ( или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
( или ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:

;
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.

Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 04-06-2016 Изменено: 20-06-2016

Теорема существования и единственности: доказательство, примеры и упражнения

Теорема существования и единственности: доказательство, примеры и упражнения — Наука

Содержание:

В Теорема существования и единственности устанавливает необходимые и достаточные условия для того, чтобы дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием имело решение, и это решение было единственным.

Однако теорема не дает никаких методов или указаний, как найти такое решение. Теорема существования и единственности также распространяется на дифференциальные уравнения высшего порядка с начальными условиями, известную как задача Коши.

Формальная формулировка теоремы существования и единственности следующая:

«Для дифференциального уравнения у ‘(х) = е (х, у) с начальным условием у (а) = б, существует хотя бы одно решение в прямоугольной области плоскости XY содержащий в точку (а, б)да уж f (x, y) это непрерывно в этом регионе. И если частная производная от F в отношении Y: g = ∂f / ∂инепрерывно в той же прямоугольной области, то решение единственно в окрестности точки (а, б) содержание в области непрерывности F Y грамм.”

Полезность этой теоремы заключается, во-первых, в знании того, в каких областях плоскости XY может существовать решение, а также в знании, является ли найденное решение единственно возможным или существуют другие.

Обратите внимание, что если условие единственности не выполняется, теорема не может предсказать, сколько всего решений имеет задача Коши: возможно, это одно, два или более.

Доказательство теоремы существования и единственности.

Известны два возможных доказательства этой теоремы: одно из них — доказательство Шарля Эмиля Пикара (1856-1941), а другое — Джузеппе Пеано (1858-1932), основанное на работах Огюстена Луи Коши (1789-1857). .

Примечательно, что в доказательстве этой теоремы принимали участие самые блестящие математические умы девятнадцатого века, так что интуитивно понятно, что ни одно из них не является простым.

Чтобы формально доказать теорему, необходимо сначала установить ряд более сложных математических понятий, таких как функции липшицевого типа, банаховы пространства, теорема существования Каратеодори и некоторые другие, которые выходят за рамки статьи.

Большая часть дифференциальных уравнений, которые используются в физике, имеют дело с непрерывными функциями в интересующих нас областях, поэтому мы ограничимся демонстрацией того, как теорема применяется к простым уравнениям.

Примеры

— Пример 1

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с начальным условием:

у ‘(х) = — у; с участиему (1) = 3

Есть ли решение этой проблемы? Это единственно возможное решение?

Ответы

Во-первых, оценивается существование решения дифференциального уравнения и то, что оно также удовлетворяет начальному условию.

В этом примереf (x, y) = — y условие существования требует знания того,f (x, y) непрерывна в области плоскости XY содержащий точку с координатами x = 1, y = 3.

Но f (x, y) = — y это аффинная функция, который является непрерывным в области действительных чисел и существует во всем диапазоне действительных чисел.

Отсюда заключаем, что f (x, y) непрерывна в R 2 , поэтому теорема гарантирует существование хотя бы одного решения.

Зная это, необходимо оценить, уникально ли решение или, наоборот, их больше одного. Для этого необходимо вычислить частную производную от F по переменной Y:

Такг (х, у) = -1 которая является постоянной функцией, которая также определена для всех R 2 и там он тоже непрерывен. Отсюда следует, что теорема существования и единственности гарантирует, что эта задача с начальным значением действительно имеет единственное решение, хотя и не сообщает нам, что это такое.

— Пример 2

Рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием:

Есть ли решение у (х) для этой проблемы? Если да, то определите, один или несколько.

Ответить

Рассмотрим функцию f (x, y) = 2√y. Функция F определяется только дляy≥0, поскольку мы знаем, что отрицательное число не имеет действительного корня. В дальнейшемf (x, y) непрерывна в верхней полуплоскости R 2 включая ось X, поэтому теорема существования и единственности гарантирует хотя бы одно решение в этом регионе.

Теперь начальное условие x = 0, y = 0 находится на краю области решения. Затем берем частную производную f (x, y) по y:

В этом случае функция не определена для y = 0, где именно находится начальное условие.

Что говорит нам теорема? Это говорит нам, что, хотя мы знаем, что есть по крайней мере одно решение в верхней полуплоскости оси X, включая ось X, поскольку условие уникальности не выполняется, нет гарантии, что будет уникальное решение.

Это означает, что может быть одно или несколько решений в области непрерывности f (x, y). И, как всегда, теорема не говорит нам, какими они могли быть.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Решите задачу Коши из примера 1:

у ‘(х) = — у; с участиему (1) = 3.

Найдите функцию y (x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию.

Решение

В Примере 1 было определено, что эта проблема имеет решение и к тому же уникальна. Чтобы найти решение, первое, что нужно отметить, это то, что это дифференциальное уравнение первой степени разделимых переменных, которое записывается следующим образом:

dy / dx = — y → dy = -y dx

Разделение между и в обоих членах для разделения имеющихся переменных:

Неопределенный интеграл применяется к обоим членам:

Решая неопределенные интегралы, мы имеем:

где C — постоянная интегрирования, которая определяется начальным условием:

ln (3) = -1 + C, то есть C = 1 + ln (3)

Подставив значение C и переставив его, остается:

ln (y) — ln (3) = -x + 1

Применяя следующее свойство логарифмов:

Разница логарифмов — это логарифм частного

Вышеупомянутое выражение можно переписать так:

Экспоненциальная функция с основанием e в обоих членах применяется для получения:

Это единственное решение уравнения y ’= -y с y (1) = 3. График этого решения показан на рисунке 1.

— Упражнение 2.

Найдите два решения проблемы, поставленной в примере 2:

Решение

Это также уравнение разделимых переменных, которое в дифференциальной форме выглядит так:

Остается принять неопределенный интеграл в обоих членах:

Откуда ты это знаешь y≥0 в области решения имеем:

Но так как начальное условие x = 0, y = 0 должно выполняться, то константа C равна нулю и остается следующее решение:

Но это решение не единственное, функция y (x) = 0 также является решением поставленной задачи. Теорема существования и единственности, примененная к этой проблеме в примере 2, уже предсказывала, что может быть более одного решения.

Ссылки

1. Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, Нью-Йорк: McGraw-Hill.
2. Энциклопедия математики. Теорема Коши-Липшица. Получено с: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l’application de la méthode des Approvalations Aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences. Т. 116, 1894 г., стр. 454–457. Получено с: gallica.bnf.fr.
4. Википедия. Метод последовательного приближения Пикара. Получено с: es.wikipedia.com
5. Википедия. Теорема Пикара-Линделёфа. Получено с: es.wikipedia.com.
6. Зилл, Д. 1986. Элементарные дифференциальные уравнения с приложениями, Прентис Холл.

Ganoderma lucidum: характеристики, среда обитания и польза

Пролин: характеристики, структура, функции, продукты питания