Условие компланарности двух прямых заданных каноническими уравнениями

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вы будете перенаправлены на Автор24

Разновидности уравнений прямой

Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_ <0>\left(x_ <0>,y_ <0>,z_ <0>\right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$, которому она параллельна. Уравнения $\frac > =\frac > =\frac >

$ называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac > =t$, $\frac > =t$, $\frac >

=t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_ <0>+m\cdot t$, $y=y_ <0>+n\cdot t$, $z=z_ <0>+p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$ и $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$. Уравнения $\frac > -x_ <1>> =\frac > -y_ <1>> =\frac > -z_ <1>> $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_ <1>\cdot x+B_ <1>\cdot y+C_ <1>\cdot z+D_ <1>=0$ и $A_ <2>\cdot x+B_ <2>\cdot y+C_ <2>\cdot z+D_ <2>=0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.

Переход между различными видами уравнений прямой

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.

От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac > =\frac >

$ и $\frac > =\frac >

$ и выполним преобразования.

Готовые работы на аналогичную тему

Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_ <0>+m\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_ <0>+n\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:

• Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
• Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
• Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.

Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.

Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.

Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$: $\frac > > =\frac > > =\frac > > $ и $\frac > > =\frac > > =\frac > > $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.

Углом между прямыми $L_ <1>$ и $L_ <2>$ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.

Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ и $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac \cdot m_ <2>+n_ <1>\cdot n_ <2>+p_ <1>\cdot p_ <2>><\sqrt^ <2>+n_<1>^ <2>+p_<1>^ <2>> \cdot \sqrt^ <2>+n_<2>^ <2>+p_<2>^ <2>> > $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi$

Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_ <1>\cdot m_ <2>+n_ <1>\cdot n_ <2>+p_ <1>\cdot p_ <2>=0$.

Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac > > =\frac > > =\frac > >$.

Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.

Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_ <1>$ проходит через точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, а прямая $L_ <2>$ — через точку $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$.

Рассмотрим вектор $\overline M_ <2>>=\left(x_ <2>-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y_ <2>-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z_ <2>-z_ <1>\right)\cdot \overline$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ и $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$ прямых $L_ <1>$ и $L_ <2>$.

Если прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline M_ <2>>$. Направляющий вектор $\overline >$ коллинеарен прямой $L_ <1>$, а направляющий вектор $\overline >$ коллинеарен прямой $L_ <2>$. Итак, все три вектора $\overline M_ <2>>$, $\overline >$ и $\overline >$ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $\left|\begin -x_ <1>> & -y_ <1>> & -z_ <1>> \\ > & > & > \\ > & > & > \end\right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.

Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:

$L_2: \begin x-y-z+1 =0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \\ \end$

Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = \<1;3;-2\>$.

Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1 × n_1 = \begin <|ccc|>i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end = — i – 3j + 2k$

В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.

Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.

В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.

Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.

Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $M\left(x,y,z\right)$.

Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin > & > & > \\ -x_ <1>> & -y_ <1>> & -z_ <1>> \\ & &

\end\right|=0$ следующих трех векторов:

1. $\overline M>=\left(x-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежещей прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
2. $\overline M_ <2>>=\left(x_ <2>-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y_ <2>-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z_ <2>-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <1>$, с точкой $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <2>$.
3. $\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.

Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin > & > & > \\ > & > & > \\ > & > & > \end\right|=0$ следующих трех векторов:

1. $\overline M>=\left(x-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежащую прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
2. $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ — направляющий вектор прямой $L_ <1>$, параллельный плоскости $P$.
3. $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$ — направляющий вектор прямой $L_ <2>$, параллельный плоскости $P$.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Дайте определение равенства двух векторов

1. Дайте определение равенства двух векторов.

. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите 1критерий линейной зависимости двух векторов (2 балла)

2. Выведите условие компланарности двух прямых в пространстве, заданных уравнениями в каноническом виде. (2 балла)

2. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

3. Дайте определение смешанного произведения. (1 балл)

Напишите формулу для его вычисления в ортонормированном базисе. (1 балл)

3.Сформулируйте теоремы о проекциях векторов на направления. (1 балл)

1. Дайте определение базиса векторного пространства.(1 балл) Докажите теорему о разложении вектора пространства по векторам базиса и единственности этого разложения.

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите критерий линейной зависимости трех векторов. ( 2 балла)

2. Напишите формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

2. Напишите формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости для случаев уравнений с угловыми коэффициентами и общих уравнений. Сделайте поясняющий рисунок.

3. Дайте определение ортогональной проекции вектора на направления. (1 балл)

3. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. (1 балл)

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями. Сделайте рисунок (2 балла)

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите критерий линейной зависимости системы векторов. ( 2 балла)

2. Сформулируйте свойства линейных операций над векторами. (1 балл)

2. Дайте определение векторного произведения двух векторов. (1 балл)

3. Дайте определение коллиниарных векторов. (1 балл) Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов. (1 балл)

3. Напишите формулу для вычисления на плоскости расстояния от точки до прямой. (1 балл)

1. Дайте определение ортогональной проекции вектора на ось. (1 балл) Выведите формулу для ее вычисления. ( 2 балла)

1. Общее уравнение плоскости. Докажите критерий принадлежности точки плоскости в прямоугольной системе координат. (2 балла)

2. Напишите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

2. Определение коллинеарных векторов. (1 балл) Сформулируйте свойство их координат в произвольном базисе векторного пространства.

3. Дайте определение смешанного произведения векторов и напишите формулу для его вычисления в ортонормированном базисе. (1 балл)

3. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости для случаев уравнений с угловым коэффициентом и общих уравнений. (1 балл)

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите их свойства. (2 балла)

1. Дайте определение ортонормированного базиса векторного пространства. (1 балл)

2. Напишите условия принадлежности прямой плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

2. Дайте определение ортогональной проекции вектора на ось. (1 балл) Докажите теоремы о проекциях. (2 балла)

3. Дайте определение векторного произведения двух векторов. (1 балл)

3. Сформулируйте, какие векторы называются равными. (1 балл)

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми (или от точки до прямой) в пространстве. Сделайте поясняющий рисунок (2 балла)

1. Дайте определение смешанного произведения векторов. (1 балл) Докажите его геометрический смысл. (2 балла)

2. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл)

2. Напишите условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте поясняющий рисунок (1 балл)

3. Дайте определение коллинеарных векторов. (1 балл) Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами в базисе. (1 балл)

3.Сформулируйте определение и критерий линейной зависимости системы векторов. (1 балл)

1. Дайте определение векторного произведения двух векторов. (1 балл) Сформулируйте его свойства. (1 балл)

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл)

2.Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (2 балла)

2. Выведите условие компланарности в пространстве двух прямых, заданных каноническими уравнениями. (2 балла)

3. Сформулируйте теоремы об ортогональных проекциях векторов на направление. ( 1 балл)

3. Дайте определение ортогональной проекции вектора на направление. (1 балл) Напишите формулу для её вычисления с помощью скалярного произведения двух векторов. ( 1 балл)

1. Дайте определение базиса векторного пространства. (1 балл) Докажите теорему о разложении вектора пространства по векторам базиса и единственности этого разложения.

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. ( 1 балл) Докажите критерий линейной зависимости трех векторов. (2 балла)

2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и имеющую заданный нормальный вектор. Сделайте поясняющий рисунок (1 балл)

2. Напишите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

3. Дайте определение равных векторов. ( 1 балл)

3. Дайте определение правой тройки векторов. Сделайте поясняющий рисунок. ( 1 балл)

1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.(1 балл) Сформулируйте и докажите его свойства. (2 балла)

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите критерий линейной зависимости системы векторов. (2 балла)

2. Напишите формулу для вычисления угла между двумя плоскостями. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

2. Напишите формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости для случаев уравнений с угловыми коэффициентами и общих уравнений. Сделайте поясняющий рисунок.

3. Дайте определение векторного произведения.

( 1 балл). Двух векторов. (1 балл)

3. Дайте определение смешанного произведения и напишите формулу для его вычисления в ортонормированном базисе. ( 1 балл)

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми (или от точки до прямой) в пространстве (2 балла)

1. Дайте определение смешанного произведения трех векторов. (1 балл) Выведите его геометрический смысл. (2 балла)

2. Дайте определение ортогональной проекции вектора на ось. (1 балл) Напишите формулу для ее вычисления. (1 балл)

2. Напишите условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

3.Дайте определение базиса векторного пространства. (1 балл)

3. Напишите следующие уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, параметрические уравнения, уравнение прямой в отрезках. Сделайте поясняющие рисунки.( 1 балл)

1. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите их свойства. (2 балла)

1. Напишите условие компланарности двух прямых, заданных в пространстве каноническими уравнениями. Сделайте поясняющий рисунок.

(1 балл)

2. Напишите условия принадлежности прямой плоскости и параллельности прямой и плоскости. Сделайте поясняющие рисунки. (1 балл)

2. Дайте определение ортогональной проекции вектора на ось. (1 балл) Докажите теоремы о проекциях. (2 балла)

3. Дайте определение векторного произведения двух векторов. (1 балл)

3. Напишите формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью. Сделайте поясняющий рисунок.(1 балл)

1. Напишите формулу для вычисления, расстояния от точки до плоскости. Сделайте поясняющий рисунок. (1 балл)

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Сделайте поясняющий рисунок. (2 балла)

2. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. (1 балл) Докажите критерий линейной зависимости двух векторов. ( 2 балла)

2. Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов (1 балл) и его свойства.(1 балл)

3. Дайте определение базиса векторного пространства. Какой базис называется ортонормированным? (1 балл)

3. Напишите уравнение прямой на плоскости в следующих видах: уравнение с угловым коэффициентом, каноническое уравнение, уравнение в отрезках. Сделайте поясняющие рисунки. ( 1 балл)