Условие существования корней разных знаков квадратного уравнения
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения x 2 + px + q = 0. определить, какими будут его корни: положительными или отрицательными. Но при этом, конечно, нужно быть уверенным в том, что рассматриваемое уравнение имеет корни. Если же корней нет, то говорить о знаках корней не имеет смысла. Поэтому на протяжении всего этого параграфа мы будем предполагать, что рассматриваемое приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни, то есть дискриминант его неотрицателен.
1) Пусть q > 0; тогда оба корня имеют одинаковые знаки, поскольку x1 • х2= q > 0.
Если к тому же р 0, значит, оба корня положительны.
Если р > 0, то x1 + х2 = — р 0, то x1 + х2 = — р 0. Это возможно только тогда, когда положительный корень больше абсолютной величины отрицательного корня.
При р = 0 x1 + х2 = 0, откуда x1= — х2 в этом случае корни равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
3) Осталось рассмотреть случай, когда q = 0. Тогда x1 • х2 = 0, поэтому хотя бы один из корней равен нулю.
Пусть для определенности x1 = 0, тогда другой корень найдется из условия x1 + х2 = — р, откуда х2 = — р. Значит, в этом случае один корень равен нулю, а другой представляет собой число, противоположное коэффициенту р.
Если же и р = 0, то уравнение имеет , два равных корня: x1= х2 = 0.
Полученные результаты исследования знаков корней представлены в таблице .
Еще раз отметим, что приведенные здесь рассуждения верны лишь в предположении, что исследуемое уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен.
Рассмотрим несколько примеров на исследование знаков корней квадратных уравнений.
1) x 2 — 8х — 9 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 64 + 36 = 100 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Вследствие того, что x1 • х2 = — 9, корни должны иметь разные знаки,
а так как x1 + х2 = 8, то абсолютная величина отрицательного корня меньше положительного корня.
2) x 2 + 7х + 10 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 49 — 40 = 9 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Так как x1 • х2 = 10 > 0, то корни имеют одинаковые знаки.
Кроме того, x1 + х2 = —7, значит, оба корня отрицательны.
3) x 2 — х + 1 = 0. Для данного уравнения
D = (—1) 2 — 4 = — 3 2 + bx + c = 0 . Для этого сначала нужно посредством деления на а привести данное уравнение к приведенному квадратному уравнению x 2 + b /a х + c /a = 0, а затем для этого уравнения провести описанные выше рассуждения.
Пусть, например, нужно исследовать знаки корней уравнения —3x 2 + 5х — 2 == 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 25 — 24 = 1 > 0. Поэтому оно имеет два различных действительных корня.
Разделив обе части уравнения на — 3, получим: x 2 — 5 /3х + 2 /3 = 0. Отсюда видно, что корни данного уравнения имеют одинаковые знаки, так как x1 • х2 = 2 /3 > 0. Кроме того, x1 + х2 = 5 /3 > 0. Следовательно, оба корня положительны.
Не решая данных уравнений (№ 391—400), определить знаки их корней:
Проверить себя, да и вообще исследовать квадратные уравнения полные и приведенные можно, с помощью соответствующих алгоритмов в программе EXCEL. Алгоритм можно усовершенствовать для отображения промежуточных результатов вычислений.
401. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
402. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
Элективный курс «Исследование корней квадратного уравнения» (9-й класс)
Разделы: Математика
Класс: 9
Программа
1. Квадратное уравнение и его корни. (2 ч.)
Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.
2. Теория Виета. (2 ч.)
Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.
3. Существование корней квадратного уравнения (2 ч.)
Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.
Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.
4. Расположение корней квадратного уравнения. (4 ч.)
Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей. Решение задач. Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.
5. Решение квадратных уравнений с параметром (2 ч.) Что значит решить уравнение с параметром. Решение уравнений.
6. Решение задач. Зачёт. (6 ч.)
I. Квадратное уравнение и его корни
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, а =/= 0. В зависимости от дискриминанта D = b 2 – 4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D > 0), один корень (D = 0) и не иметь корней (D 2 + рх + q = 0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.
1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:
2..При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:
3.При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:
4. Найти корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, если а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.
Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения.
5. При каком значении а уравнения х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют общий корень?
6. Доказать, что при любом значении а уравнение (а – 3) х 2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.
II. Теорема Виета
Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, тогда х1 + х2 = – b/a, х1х2 = c/a. Для приведённого квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0, если х1 и х2 – корни этого уравнения, то х1 + х2 = – p, х1х2 = q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0.
1. Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8х – 1 = 0, найти:
2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х 2 – 7х – 3 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х 2 – 3,75х + а = 0 является квадратом другого?
4. При каком значении параметра а один из корней уравнения х 2 – (3а + 2)х + а 2 = 0 в девять раз больше другого?
5 . Корни х1 и х2 уравнения х 2 + рх + 12 = 0 обладают свойством х2 – х1 = 1. Найти р.
6. При каком значении параметра а уравнение х 2 + (а 2 + а – 2)х + а = 0 имеет корни, сумма которых равна 0?
7. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х 2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеет корни одного знака?
Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).
8. При каком значении параметра а корни уравнения ах 2 + (2а – 1)х + а – 2 = 0 отрицательны и их сумма меньше – 5?
9. При каком значении параметра р корни уравнения (р – 2)х 2 + 2рх + р + 4 = 0 разных знаков и их сумма отрицательна?
III. Существование корней квадратного уравнения
Для того чтобы квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а > 0, то для доказательства того, что уравнение ах 2 + bx + с = 0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0) = ах0 2 + bx0 + c 3 – 2а 2 )х 2 – (а 3 – а + 2)х + а 2 + 1 = 0 имеет решение.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0) = a 2 + 1 > 0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х1, для которого f(x1) 2 + a – 1 2 – 23(а – 3)х + а 2 – 3а + 2 = 0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.
Решение. Если а 2 – 3а + 2 0 и х2 > 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:
Аналогично рассматриваются другие случаи.
3. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х 2 + (2а + 6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?
Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а =/= 0, а =/= 3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4 = (а + 3) 2 – а(а + 3)( – 3а – 9) > 0
Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а = 0 и а = – 3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а = – 3.
Ответ: < – 3> ( – 1/3;0) (0; + )
4. При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х 2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Комментарий к решению. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а =/= 0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D = а 2 – 7а + 10 = 0 при а = 2 или а = 5. Значение а = 2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
5. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х 2 + (а + 4)х + а + 7 = 0 имеет единственное решение?
6. При каком значении параметра а уравнение (2а – 5)х 2 – 2(а – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение?
7. При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?
IV. Расположение корней квадратного уравнения
Для решения задач этого пункта существует таблица (см. Приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.
1. При каком значении параметра а один корень уравнения х 2 – (3а + 2)х + 2а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у = х 2 – (3а + 2)х + 2а – 1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось X, причем отрезок [х1; х2] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х 2 – (3а + 2) х + 2а – 1 при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х1 – 2.
В общем случае для того, чтобы уравнение f(х) = ах 2 + вх + с = 0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A) 2 – 3ах + 2 = 0 больше 1/2.
Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 > 1/2). Если а =/= 2, то уравнение – квадратное. Введем обозначение f(x) = (2 – а)х 2 – 3ах + 2, хв = 3а/2(2 – а), D = а(17а – 16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D > 0, хв > 1/2, (2 – а)f(1/2) > 0. Решая эту систему, получим: 16/7 2 – 2(а + 3)х + 4а = 0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.
Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть, а =/= 2. Рассмотрим функцию f(х) = (а – 2)х 2 – 2(а + 3)х + 4а, (а =/= 2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось ОX один раз на интервале ( – ; 2) и один раз на интервале (3; + ). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:
Ответ: 2 2 – (3а + 1)х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)?
5. Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х 2 + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х 2 – 6х + а = 0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).
Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D = в 2 – 16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в 4, то х = (в ± в 2 – 16)/2; если в = ±4, то х = в/2;если – 4 2 – 2ах + 2а – 3 = 0.
Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а = 2 и а =/= 2. В первом случае исходное уравнение принимает вид – 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с одним корнем х = 0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D = – 4(a – 1)(a – 6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.
В результате решения получаем ответ:
3.. Решить уравнение (2а – 1)х 2 – (3а + 1)х + а – 1 = 0.
Ответ: если а = 0,5, то х = – 0,2; если – 9 – 84 0,5 то х = (3а + 1 + а 2 + 18а – 3)/(2а – 1)
4. Решить уравнение ах 2 – (1 – 2а)х + 2 – а = 0.
Ответ: если а = 0, то х = – 2; если а 0, то х1,2 = (1 – 2а ± 4а + 1)/2а.
5. Решить уравнение (х 2 – 5х + 6)/(х – а) = 0
Ответ: если а = 2, то х = 3; если а = 3, то х = 2; если а =/= 2, а =/= 3, то х = 2 или х = 3.
VI. Разные задачи
1. Найти все значения а, при которых уравнения ах 2 + (3 + 4а)х + 2а 2 + 4а + 3 = 0 имеет только целые корни.
Решение. Пусть а = 0, тогда из уравнения следует, что 3х + 3 = 0, х = – 1. Поэтому а = 0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а =/= 0, тогда уравнение равносильно уравнению х 2 + (4 + 3/а)х + 2а + 4 + 3/а = 0. Если х1 и х2 – целые корни нового уравнения, то – 4 – 3/а и 2а + 4 + 3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а = n, где n Z, тогда а = n/2, 3/а = 6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Проверка показывает, что только при n = – 1 и n = 3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.
2. Найти все значения а, при которых уравнение х 2 + (а + 2)х + 1 – а = 0 имеет 2 действительных корня х1 и х2 такие, что х1х2 2 + (а + 2)х + 1 – а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f( – 4) > 0, f(4) > 0, f(0) > 0. Получили систему:
Решая систему, получаем 1 2 – 3ах + 4а = 0 в зависимости от а?
Ответ: если – 1 2 + | х – 1| = 0
Ответ: если а 0, то корней нет.
Ответ: если а 0, то корней нет.
Ответ: если а 3, то корней нет; если а = ±3, то один корень; если – 3 2 – рх + 2р 2 – 3р = 0 равен нулю?
2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х 2 + (р 2 – 4р)х + р – 1 = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х 2 + (3а 2 – | а |)х – а 3 – 3а = 0 равны нулю?
4. Не вычисляя корней уравнения 2х 2 – 5х – 4 = 0 найти:
5. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х 2 – 6х – 1 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
6. В уравнении 5х 2 – ах + 1 = 0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.
Ответ: ±5.
7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х 2 – (а + 3)х + 6 = 0 равно 1,5?
8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а + 1)х 2 + (а + 1)х + а = 0 положительна?
9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 1)х 2 + (2 – а)х + а + 6 = 0 положительны?
10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а – 1)х 2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеют одинаковые знаки?
Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).
11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х 2 + (3а + 4)х – 3 = 0 лежат в промежутке ( – 2 ; 1)?
12. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х 2 = (а + 1)х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 2 – 6х + 1 = 0;
б) ах 2 = 4;
в) х 2 – ах = 0;
г) ах 2 + 8 = 2х 2 + 4а.
14. Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.
Ответ: если а – 4/5 и а =/= 1, то х1,2 = ( – (2а + 1) ± 5а + 4)/(a – 1).
Литература
- Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2005.
- Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Москва. «Просвещение». 2005.
- Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 2004.
- Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. Москва. «Просвещение». 1998.
- Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 г. № 7.
- Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3.
- Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 г. № 5.
- Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002.
Квадратные уравнения с параметрами
Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
Индекс 628681 Российская Федерация, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ – Югра, г. Мегион, /1
Cайт: http//www. megionschool4.ru
Департамент финансов администрации города Мегиона
( МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №4»
р/с в РКЦ г. Нижневартовска,
Квадратные уравнения с параметрами
(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов)
учитель математики высшей квалификационной категории,
заместитель директора по УВР
1.Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
§2.Применение теоремы Виета
3.Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Список рекомендованной литературы
В методической разработке систематизированы теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек); особое внимание уделено использованию свойств квадратичной функции; приведено применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами; все идеи проиллюстрированы примерами, рассмотрены основные методы решения квадратных уравнений с параметрами, подробные методические указания по решению квадратных уравнений с параметрами.
Методическая разработка предназначена для учащихся 9-11 классов, студентов педагогических вузов, а также для учителей. Пособие поможет в подготовке к вступительному экзамену в вуз, сдаче ЕГЭ по математике и к ГИА в новой форме.
Разработка посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В последние годы в тестах ЕГЭ и ГИА по математике, и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения широкое распространение получили задачи, содержащие параметры. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Задачи с параметрами представляют собой как бы небольшую модель будущей научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.
Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.
Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:
1. вербальная модель – словесное описание задачи;
2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями. Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.
1. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена не входят непосредственно ни в школьную программу по математике, ни в программу для поступающих в вузы, поэтому выпускник или абитуриент, пользуясь ими, вообще говоря, должен уметь их доказывать. В то же время, обоснование теорем о расположении корней квадратного трехчлена строится на элементарных фактах школьной математики. В данном пособии приведены доказательства нескольких теорем.
Введем следующие обозначения: х1, х2 – корни квадратного трехчлена f(x), х1 ≤ х2, D – дискриминант f(x), xb – абсцисса вершины параболы, являющейся графиком f(x). Решение большинства задач с параметром, в которых необходимо провести исследование квадратного трехчлена, сводится к определению необходимых и достаточных условий реализации одного или нескольких из следующих случаев:
Теорема 1.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) были больше некоторого числа n,необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы парабола (см. рис. 1, 2) – график функции f(x) = ax2 + bx + c – пересекала ось ОХ в точках (х1; 0) и (х2; 0), лежащих правее точки (n; 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1. вершина параболы – либо лежит в нижней полуплоскости, либо в верхней полуплоскости, либо на оси ОХ ( условие D≥0);
2. ось симметрии параболы – прямая хb = — — лежит правее прямой х = n ( условие xb>n );
3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а 0).
Рис. 1
Доказательство теоремы 1.
Достаточность. Так как D ≥ 0,то по теореме о дискриминанте, получим, что квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2; пусть х1≤х2. Так как вершина параболы расположена между корнями трехчлена, т. е.х1≤хв≤х2, и, по условию, n 0 и уже доказанное неравенство х2 > n:
f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2).
Сравнение знаков левой и правой частей этого неравенства приводит нас к выводу, что выполнено неравенство n – х1 n.
Необходимость. Так как трехчлен имеет два корня, то по теореме о дискриминанте, D≥0. Так как х1> n и х2> n, то х1+х2 > 2n, поэтому
хв = > = n.
По теореме о разложении на линейные множители, с учетом известных по условию знаков, получим запись f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2), из которой следует, что f(n) > 0. Тем самым теорема доказана полностью.
Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(х) были меньше некоторого числа m, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 3
Рис. 4
Теорема 3.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) принадлежали заданному промежутку (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 5
Рис. 6
Теорема 4. Только меньший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
Рис. 7
Теорема 5. Только больший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
Рис. 8
Теорема 6. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) лежат вне заданного промежутка (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 9
Теорема 7.Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена f(x) был больше заданного числа n, а другой меньше, необходимо и достаточно выполнение условия (или для того чтобы некоторое число n лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия):
Рис. 10
Теорема 8. Квадратный трехчлен f(x) имеет один корень внутри интервала (n;m), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда выполняется условие f(n)∙f(m) 6 дискриминант оказывается отрицательным, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: при уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при уравнение имеет два корня ; при а = 2 уравнение имеет единственный корень ; при а = 6 уравнение имеет единственный корень .
Пример 2.При каком значении параметра а уравнение (а — 2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное∙х + 3 = 0; которое не имеет корней.
Если а ≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D.
.
D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
4.При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а — 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1∙х2 > 0, т. е. .Решением последнего неравенства является .С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим .
Ответ: .
Пример 3.Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; + ∞).
Пример 4.При каких значениях параметра а уравнение (а — 2)х2 — 2(а + 3)х + 4а = 0
имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. По теореме 6, для того чтобы оба корня данного квадратного трехчлена лежали вне заданного промежутка, необходимо и достаточно выполнение условий Получим систему неравенств:
Ответ: .
Пример 5.При каких значениях а уравнение (а — 1)∙х2 = (а + 1)∙х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 х1. Искомые значения параметра а удобнее найти, решив систему неравенств:
у
Рис.18 0 х1 2 3 х2 5 х
Ответ: (1;3)
Пример 8.При каких значениях параметра а один корень уравнения ах4 – (а — 3)х2 + 3а = 0 меньше –2, три остальных больше –1?
Решение. Пусть х2 = t. Исходя из требований, предъявляемых к корням исходного уравнения, достаточно решить следующую задачу: при каких значениях а один корень уравнения at2 – (a — 3)t + 3a = 0 больше 4, другой меньше 1, но не меньше 0? Очевидно а ¹ 0, D > 0. Представим уравнение в виде:
.
Его корни будут удовлетворять указанным выше условиям, если f(1) 0. Поскольку f(0) = 3, то достаточно решить систему
Решением уравнения является . Ответ: .
Пример 9.Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения
(2 — а)х2 – 3ах + 2а = 0 больше .
Решение. Введем обозначения f(x) = (2 — a)x2 – 3ax + 2a, ;
Если а = 2, то . для случая а ≠ 2, чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена f(x), оба корня которого больше .
(к рис.19) (к рис.20)
(к рис.21) (к рис.22)
Объединяя эти условия, получим систему:
Ответ: .
Пример 10. Найти все значения а, при которых уравнение cos8x + sin8x = a имеет корни, и решить это уравнение.
Решение. Используя равенства cos8x + sin8x = (cos4x – sin4x)2 + 2cos4x×sin4x = cos22x + и полагая cos 4x = t, преобразуем исходное уравнение к виду t2 + 14t + 17 – 32a = 0. Задача сводится к нахождению тех значений а при которых последнее уравнение имеет действительные корни такие, что хотя один из них удовлетворяет условию . Имеем дискриминант уравнения:
и неравенство D1 ³ 0 выполняется при а ³ -1. находим корни t1 и t2 уравнения :
; .
Заметим, что t1 1.
Первый случай реализуется неравенством D = -4a + 5
http://urok.1sept.ru/articles/521000
http://pandia.ru/text/80/021/8612.php