Условие существования решения системы уравнений

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

Здесь мы рассматриваем теорему существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с неизвестными функциями от переменной :
(1.1) ;
(1.2) ;
.
(1.n) .

Формулировка и доказательство этой теоремы является непосредственным обобщением теоремы для уравнения первого порядка, которое рассмотрено на странице “Теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка”.

Векторная форма записи

Поскольку уравнения (1.1) – (1.n) однотипны, то мы применим векторную форму записи. Это позволит сократить объем выкладок и сделает доказательство более ясным.

Совокупность неизвестных функций мы будем обозначать одним вектором . Совокупность функций от независимой переменной и от зависимых функций мы обозначим как
.

То есть совокупность из величин мы будем обозначать вектором . Равенство

будет обозначать систему из уравнений:
,
где .

Под нормой вектора мы будем понимать сумму модулей его компонент:
.

Формулировка теоремы

Пусть дана система дифференциальных уравнений:
(1)
с начальными условиями
(1.0) .
Пусть – непрерывных функций от переменных в замкнутой области :

и, следовательно, ограничены некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функции удовлетворяют в области условию Липшица:
(3) ,
где – положительное число.
Тогда существует единственное решение системы (1):
,
удовлетворяющее начальным условиям , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Условие Липшица

Условие Липшица имеет вид:
(3) .
или в развернутом виде:
(3.1) ,
где – положительное число;
, и – любые значения из области .

Если условие Липшица выполняется и в некоторой точке существует частная производная , то она ограничена по модулю значением .
Для доказательства положим в (3.1) для всех . Тогда (3.1) примет вид:
.
Перейдем к пределу :
.

Если в области функции имеют непрерывные частные производные , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частные производные непрерывны в замкнутой области, то они ограничены:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой компоненты принадлежат интервалам между и :
.
Тогда:

.

Доказательство существования решения

Приведем исходную систему (1) с начальными условиями (1.0) к системе интегральных уравнений. Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем каждое уравнение по от до :
;
Подставим начальные условия . В результате получим систему интегральных уравнений:
(4) .

Покажем, что система интегральных уравнений (4) эквивалентна дифференциальным уравнениям (1) с начальными условиями (1.0). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.0) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.0). То, что из (1) и (1.0) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.0). Для этого подставим в (4) . Получим начальные условия (1.0). Продифференцировав обе части системы (4) по , получаем (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнений (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд векторов функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.
(5.m) .
Функции непрерывны, потому что интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела. Мы предполагаем, что при , стремится к решению системы (4):
(6) ,
где – решение системы (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1> вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что удовлетворяет системе (4):
.

1) Доказательство существования предела y (m) при m стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.m) к суммам рядов. Для этого пишем:

.
Таким образом нам нужно доказать, что ряды
(7)
сходятся при .

Сначала покажем, что при , компоненты последовательных приближений принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.

Далее, поскольку принадлежит интервалу , то . Тогда, аналогично предыдущему,
.
Отсюда
.

Далее, по индукции, поскольку принадлежит интервалу , то и
.
Отсюда
.

Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7).

Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):

;
(8.2) .

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.m) .
Тогда

;
(8.m+1) .
Итак, поскольку (8.m) справедливо для и из (8.m) следует (8.m+1), то (8.m) выполняется для любых .

Запишем -й ряд (7) в виде:
(7.i) ,
где .
Применим (8.m) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.i), кроме первого, ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.i), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.i) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.i) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.m):
(5.m) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .

В силу (10) левая часть уравнения (5.m) стремится к .

Теперь покажем, что
.

Перепишем правую часть (5.m):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:

.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
(12) .
Пусть есть наибольшее из чисел . Тогда (12) выполняется для всех и для всех .
Тогда
.
Поскольку произвольно, то

Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.m) .
принимает вид
(11) .

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Тогда .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.

Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не превосходящее .

Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не меньшее .

Итак, мы имеем:
;
при ( или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число ( или ) и рассмотрим закрытый интервал ( или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
( или ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:

.
Итак, мы получили оценку:
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.

Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-06-2016

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

• Совместна ли система?
• Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
• Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

• если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
• если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
• если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

• при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
• при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
• при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: