Условие зоммерфельда для уравнения гельмгольца

зоммерфельда условия излучения

ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ — один из возможных видов асимптотич. условий (граничных условий на бесконечности), к-рые выделяют единств, решения краевых задач для ур-ний, описывающих установившиеся колебания. 3. у. и. выделяют расходящиеся волны, источники к-рых находятся в огранич. области пространства. Впервые введены в 1912 А. Зоммерфельдом для Гелъмголъца уравнения Du+k 2 u=f(r). В пространстве трёх измерений 3. у. и. для волнового поля и таковы: при r»: u

r -1 , lim r(ди/дr-iku)=0. В двумерном пространстве при r»: u

Условие зоммерфельда для уравнения гельмгольца

Волновой оптикой называют раздел физической оптики, изучающей явления, в которых проявляется волновая природа света. В этом разделе в кратком изложении сформулированы основные теоретические положения волновой оптики и приведены наиболее важные соотношения и уравнения, положенные в основу всего дальнейшего рассмотрения. 1.2.1. Волновое уравнение По своей физической природе световые волны являются волнами электромагнитными. Поэтому волновая оптика непосредственно основывается на уравнениях Максвелла.

Уравнения Максвелла связывают вектор напряженности электрического поля E и вектор электрической индукции D с вектором напряженности магнитного поля H и вектором индукции B . В отсутствие токов и свободных электрических зарядов они имеют вид:

где и — соответственно электрическая и магнитная постоянные, и — относительные соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Подставим величину (1.2.6) в уравнение (1.2.2) и, предполагая, что величина не зависит от пространственных координат, возьмем ротор от левой и правой частей этого уравнения

Используя уравнения (1.2.1) и (1.2.5), а также принимая во внимание, что

можно переписать уравнение (1.2.7) в виде

Присутствующий в соотношениях (1.2.8), (1.2.9) оператор является вектором с компонентами . Если величина постоянна в пространстве, градиент обращается в нуль, и уравнение (1.2.9) принимает вид волнового уравнения

Применяя операцию к обеим частям уравнения (1.2.1), можно получить аналогичное уравнение для

Из (1.2.11) следует, что каждая декартова компонента Y w (x,y,z,t) вектора или B удовлетворяют скалярному волновому уравнению

где величина v имеет физический смысл скорости света в среде с параметрами e и m

Частным решением уравнения (1.2.12) может служить плоская волна произвольной формы, распространяющаяся в направлении n . Если в каждой точке пространства величина меняется во времени по гармоническому закону, то плоская волна может быть описана выражением

где w — циклическая частота, а — амплитуда.

Вводя волновой вектор , модуль которого равен k =2 p / l , выражению (1.2.14) можно придать вид

В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны

В комплексной форме могут быть представлены также расходящиеся и сходящиеся сферические волны, которые имеют соответственно вид

Поскольку нас интересует преимущественно монохроматическое излучение, то есть излучение определенной частоты, мы будем в дальнейшем опускать экспоненциальный множитель

Если зависимость от времени представляется в форме (1.2.19), то дифференцирование по времени заменяется умножением на -i w и волновое уравнение (1.2.12) принимает вид

где под Y следует понимать комплексную амплитуду волны. Уравнение (1.2.20) называется приведенным волновым уравнением Гельмгольца. В нашем курсе это уравнение играет фундаментальную роль. В последующих разделах нам придется неоднократно к нему обращаться в процессе анализа особенностей распространения волновых пучков в различных средах и оптических системах.

До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.2.12), полученного как частный случай уравнения (1.2.9). Поскольку первое из них является существенно более простым и удобным, возникает вопрос о возможности его применения также для случая неоднородных сред. Для ответа на этот вопрос следует определить, в каких случаях можно пренебречь вторым членом в уравнении (1.2.9). Доминирующими членами в уравнении (1.2.9) являются первый член в левой части и член в правой части, порядок величин которых одинаковый. Возьмем отношение второго члена левой части уравнения (1.2.9) к члену, стоящему в правой части

Несложный анализ, выполненный в [8], показывает, что порядок R определяется соотношением

где , — значения относительной диэлектрической проницаемости в двух близких точках, разделенных расстоянием , e — ее среднее значение. Выбирая = l , получаем

Для того чтобы пренебречь вторым членом в левой части уравнения (1.2.9), необходимо потребовать выполнения условия R e на расстоянии длины волны должно быть много меньше 1. Для большинства неоднородных оптических сред такое условие хорошо выполняется, что позволяет ограничиваться решением уравнения (1.2.10) вместо (1.2.9). Только на границе раздела двух областей с различными диэлектрическими проницаемостями, например, на границе между стеклянными линзами и воздухом, величина R становится большой. Однако даже в этих случаях следует решать уравнение (1.2.10) или (1.2.12), так как оно справедливо всюду, кроме границы раздела сред. На практике обычно решают волновое уравнение в различных однородных областях и сшивают эти решения посредством граничных условий.

1.2.2. Теория дифракции по Кирхгофу В основе волновых представлений о распространении когерентого излучения лежит теория дифракции. Под дифракцией света обычно понимают отклонения от простых законов распространения света, описываемых геометрической оптикой. Дифракцию можно наблюдать, когда на пути распространения света находятся непрозрачные препятствия или когда свет проходит через отверстия в экранах. С дифракцией непосредственно связан физический механизм, обуславливающий перераспределение интенсивности в поперечном сечении пространственно-неоднородных лазерных пучков при их распространении в свободном пространстве. В большинстве случаев при описании дифракции можно не учитывать поляризации световой волны. Поэтому в основу теории дифракции мы положим скалярное уравнение Гельмгольца (1.2.20).

Пусть в пространстве распространяется монохроматическая волна

амплитуда которой Y ( x,y,z ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1.2.20). Окружим точку наблюдения Р произвольной поверхностью S ( рис . 1.2.1.).

Определим возмущение в точке Р в зависимости от возмущения на границе выделенной области. Воспользуемся для этого известной теоремой Грина

где c — некоторая вспомогательная величина, которая также как и Y имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков внутри объема V , ограниченного поверхностью S , и на самой поверхности S . Потребуем также, чтобы функция c удовлетворяла уравнению (1.2.20). Операция в формуле (1.2.25) означает дифференцирование по внутренней нормали к поверхности S . В качестве вспомогательной функции c рассмотрим функцию , где r — расстояние между произвольной точкой объема V и точкой Р (радиус-вектор r будем считать направленным от точки Р , как от начала координат). Функция c представляет собой функцию изменения амплитуды поля точечного источника (т.е. так называемую функцию Грина свободного пространства). Для того чтобы эта функция удовлетворяла условиям теоремы Грина, нужно исключить из области V точку Р , где функция c обращается в бесконечность. С этой целью окружим точку Р сферой бесконечно малого радиуса R и исключим ее из области V . Тогда формула (1.2.25) примет вид

Здесь означает объем V без объема сферы, — площадь сферы. Поскольку функции Y и c удовлетворяют уравнению Гельмгольца, то объемный интеграл в выражении (1.2.26) равен нулю. Тогда из (1.2.26) следует, что

При выводе соотношения (1.2.27) мы перешли от интегрирования по поверхности к интегрированию по телесному углу W . Таким образом, возмущение в точке Р будет равно

Выражение (1.2.28) известно как дифракционный интеграл Кирхгофа-Гюйгенса.

Дифракционный интеграл (1.2.28) широко используется при решении многих дифракционных задач. Следует, однако, иметь в виду, что возможны и другие математические подходы к анализу дифракции. Они, прежде всего, связаны с выбором другой вспомогательной функции c . В частности, функция c может быть выбрана так, чтобы она обращалась в ноль на поверхности S . Такой подход в какой-то степени упрощает задачу, так как в выражении (1.2.28) обращается в ноль член, содержащий . Однако цена этого упрощения состоит в усложнении функции c .

Для большинства оптических задач выполняется условие

тогда, пренебрегая производной от по сравнению с производной от , формулу (1.2.28) можно записать в виде

Рассмотрим классическую для теории дифракции задачу о прохождении плоской волны через отверстие площадью А в бесконечном непрозрачном экране ( рис. 1.2.2). Будем считать, что поверхность, по которой происходит интегрирование, включает экран и бесконечную

полусферу радиуса , ограничивающую пространство справа от экрана. Обозначим координаты точки Р как , , , угол наклона волнового вектора k плоской волны и оси z через g , а угол, задающий направление на точку Р , через a . Из рис . 1.2.2 следует, что

С помощью формул (1.2.32) и (1.2.33) интеграл (1.2.30) можно переписать в виде

В таком виде этот интеграл известен как формула (интеграл) Френеля-Кирхгофа. В выражении (1.2.34) мы ограничились интегрированием лишь по площади отверстия, считая, что интеграл по бесконечной полусфере обращается в ноль. Последнее утверждение выглядит вполне обоснованным, если предположить, что падающая волна представляет собой очень длинный, но все же конченый цуг волн. Конечный же цуг волн не может достичь бесконечной полусферы за конечное время, тем самым интеграл по поверхности этой полусферы равен нулю.

Более точный математический анализ показывает, что интеграл по бесконечной полусфере стремится к нулю, если выполняется так называемое условие Зоммерфельда, согласно которому

Гораздо боле уязвимым предположением является использованное при получении формулы (1.2.34) второе предположение о равенстве нулю функции Y и ее производной на непрозрачном экране. Дело в том, что равенство нулю решения волнового уравнения и его производной на любом конечном интервале приводит к обращению его в ноль во всем объеме. Однако, несмотря на явный математический изъян, формула (1.2.34) приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными экспериментов.

Во многих практических случаях, когда отверстие в экране мало и точка Р располагается вблизи оси, можно считать, что

Одновременно, если экран освещается волной, падающей на него перпендикулярно, можно положить, что

Тогда формула (1.2.34) преобразуется в выражение

которое является математическим обобщением принципа Гюйгенса-Френеля. Из него видно, что недостаточно просто предполагать, как это делал в свое время Гюйгенс, что падающая волна выполняет роль источника сферических волн с амплитудами, пропорциональными амплитуде падающей волны в каждой точке. Необходимо потребовать, чтобы фаза вторичного источника отставала от фазы падающей волны на (из-за наличия в правой части (1.2.37) множителя -i).

Поскольку в большинстве практических случаев выполняются соотношения

можно построить выражение для величины r , ограничиваясь первыми двумя членами ее разложения в ряд Тейлора

Используя это выражение, получим следующее приближение для формулы Френеля-Кирхгофа (1.2.34):

Принято говорить о двух случаях применения интеграла (1.2.40): дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера. Дифракция Френеля имеет место, когда поле рассчитывается на небольшом расстоянии от отверстия и член , появляющийся в показателе степени экспоненты, следует принимать во внимание. Дифракция же Фраунгофера наблюдается вдали от отверстия, когда этот член пренебрежительно мал.

Вторичные сферические волны, излучаемые каждой точкой в плоскости отверстия, являются в определенном смысле абстракцией и вводятся в приведенном выше подходе к решению дифракционных задач, главным образом, для удобства описания. Более физический подход развит в работах Зоммерфельда. Зоммерфельд рассматривал высказанную еще в 1802 г. Томасом Юнгом идею, заключающуюся в следующем: наблюдаемое поле является суперпозицией падающей волны, прошедшей через отверстие без искажения, и дифрагированной волны, источником которой служит край отверстия. Однако на этом подходе мы подробно останавливаться не будем.

1.2.3. Дифракция Френеля Анализ дифракции Френеля в общем случае или применительно к прохождению света через сколь-нибудь сложные неоднородные структуры представляет собой непростую задачу. Поэтому мы ограничимся рассмотрением дифракции Френеля на квадратном отверстии со стороной l . Представим выражение (1.2.40) в виде произведения двух интегралов, считая углы g и a пренебрежимо малыми:

Интегралы существенно упрощаются после замены переменных

и переходят в следующие интегралы

где пределы интегрирования определяются соотношениями

Интегралы Ф(x’) и Ф(y’) можно выразить через табулированные функции, известные под названием интегралов Френеля. Последние определяются выражениями

Наконец, подставляя (1.2.45) в (1.2.41), получаем распределение комплексного поля

и соответствующее распределение интенсивности

Для интерпретации этих выражений удобно воспользоваться графическим построением, которое называется спиралью Корню; спираль Корню ( рис. 1.2.3) представляет собой совместный график зависимости C( a ) и S ( a ) от параметра a .

Заметим, что величину C( a )+iS( a ) можно считать комплексным фазором, соединяющим начало координат с точкой a на спирали. Следовательно, величина представляет собой фазор, определяемый участком спирали между точками x 1 и x 2. Используя подобный графический метод, можно вычислить значение выражений (1.2.46) и (1.2.47) в каждой точке дифракционной картины.

1.2.4. Дифракция Фраунгофера. Элементы фурье-оптики Скалярную теорию дифракции можно облечь в иную форму, если применить двумерный анализ Фурье. В дальнейшем мы воспользуемся тем, что при фурье-анализе распределения светового поля в любой плоскости пространственные составляющие его фурье-образа можно отождествить с плоскими волнами, идущими в разных направлениях. Складывая амплитуды этих волн и учитывая их фазовые набеги, можно вычислить амплитуду поля в любой интересующей нас точке пространства. Раздел физической оптики, в котором для описания преобразований структуры светового поля используется двумерный анализ Фурье, называется фурье-оптикой. Особенно удобно использовать аппарат фурье-оптики для характеристики дифракции Фраунгофера.

Пусть в некоторой плоскости < x,y,0 >задана комплексная амплитуда световой волны, распространяющейся в положительном направлении оси z. Рассмотрим трансформацию поля волны при ее распространении. Выясним сначала, какой физический смысл имеет фурье-образ функции .

В плоскости < x,y ,0>двумерный фурье-образ функции Y имеет вид

С помощью фурье-образа функцию y можно представить в виде совокупности простых экспоненциальных функций

Из формулы (1.2.16) следует, что для комплексной амплитуды плоской волны справедливо выражение

где a , b , g — направляющие косинусы нормали к фронту плоской волны, причем . Тем самым комплексную экспоненциальную функцию , входящую в выражение (1.2.42), можно рассматривать как плоскую волну с направляющими косинусами

и комплексной амплитудой, равной , где , . Таким образом, можно считать, что выражение (1.2.42) задает угловой спектр возмущения в плоскость, параллельную первоначальной, но смещенную от нее на расстояние z, ее угловые составляющие сохранят свои амплитуды. Все изменения сведутся лишь к изменению фаз угловых составляющих спектра, поскольку плоские волны, распространяясь под разными углами, проходят разные расстояния. Иная ситуация будет иметь место, если на пути распространения волны будут находиться какие-либо препятствия.

Предположим, что на пути распространения волны с угловым спектром находится экран с амплитудным коэффициентом пропускания t(x,y). В плоскости непосредственно за экраном распределение поля можно записать в виде

где — поле падающей волны. По теореме свертки — важнейшей теореме анализа Фурье, — для углового спектра пропущенной экраном волны будет справедливо выражение

где Т — фурье-образ функции t(x,y).

Если на экран перпендикулярно падает плоская волна единичной амплитуды, то ее угловой спектр будет определяться d -функцией

В этом случае (1.2.46) упрощается

Таким образом, для рассмотренного частного случая угловой спектр дифрагированной волны представляет собой фурье-образ функции пропускания t(x,y). Как правило, помещение на пути распространения волны какой-либо ограничивающей апертуры приводит к существенному уширению углового спектра, причем это уширение тем больше, чем меньше размер апертуры.

Применим теперь анализ Фурье для описания дифракции Фраунгофера на отверстии. Разложим квадратичные члены в экспоненте, стоящей под интегралом в выражении (1.2.40), ограничиваясь случаем, когда :

Учтем также, что при дифракции Фраунгофера

Тогда можно считать, что квадратичная фазовая функция приблизительно равна единице по всему отверстию, и в точке с координатами поле равно

Поскольку последний интеграл представляет собой фактически фурье-образ функции с пространственными частотами , то обозначая фурье-образ как , имеем

Отсюда видно, что расчет распределения поля дифрагированной волны фактически сводится к нахождению фурье-образа поля сразу за экраном. Если экран освещается плоской когерентной волной с единичной амплитудой, то . Ниже приводятся фурье-образы функций пропускания для наиболее важных в практическом отношении случаев.

1. Прямоугольное отверстие

— размеры отверстий соответственно в направлении х и у ,

2. Круглое отверстие

D -диаметр отверстия,

где — функция Бесселя первого порядка.

3. Синусоидальная амплитудная решетка

L — размер квадратной решетки, — ее частота, m — разность между максимальным и минимальным пропусканием.

4. Дифракционная решетка — непрозрачный экран размером L , имеющий N щелей шириной а (щели располагаются строго периодически в направлении у , на расстоянии b одна за другой, так что период решетки составляет d=a+b )

5. «Мягкая» диафрагма с гауссовым профилем пропускания

На последнем примере следует остановиться особо. Из формул (1.2.60) и (1.2.61) следует, что, если световая волна имеет в поперечном сечении гауссово распределение амплитуды (такую волну можно получить, например, пропуская плоскую однородную волну через диафрагму с профилем (1.2.60), то ее фурье-образ также будет характеризоваться функцией Гаусса. Благодаря этому обстоятельству, «гауссовый» световой пучок, распространяясь в свободном пространстве, будет сохранять неизменной форму распределения амплитуды поля. Более подробно свойства гауссова пучка будут рассмотрены в следующей главе. 1.2.5. Принцип Бабине. Эффект Талбота Рассмотрим в силу практической значимости более подробно два случая дифракции на плоских экранах. Пусть задан некоторый экран. Заменой отверстий на непроницаемые участки и наоборот можно получить так называемый дополнительный экран. Если Y 1 и Y 2 — дифрагированные поля на этих двух экранах, то имеет место следующее соотношение (принцип Бабине)

где — поле в отсутствие экрана. Соотношение (1.2.62) непосредственно следует из (1.2.40), если интегрирование в этом соотношении выполнить по всей плоскости. Остается лишь предположить, что поля и на отверстиях первого и второго экрана совпадают с полем , которое имеет место в отсутствие экрана. Вообще говоря, принцип Бабине выполняется лишь приближенно, так как и не равны , но нарушение (1.2.62) существенно лишь вблизи границ диафрагм.

Второй случай относится к дифракционным полям, имеющим вид периодических функций. Он имеет интересные приложения для теории решеток и теории модульных лазерных систем.

Пусть цилиндрическое поле , фаза которого не зависит от координаты y, в плоскости z=0 записывается в виде

где — периодическая функция координаты x , содержащая столько гармоник N , что . Тогда для ближней зоны дифракции можно использовать дифракционную формулу Френеля (1.2.40), и мы имеем

Следует заметить, что в частном случае ( q =1, 2, . ) имеет место соотношение , так что

Отсюда следует, что во всех плоскостях zq распределение интенсивности поля одинаково. Это свойство называют эффектом Талбота, или эффектом самовоспроизведения. Оно было впервые замечено Талботом в 1836 г. и имеет весьма важные применения в фурье-спектроскопии, интерферометрии и оптике лазеров.

1.2.6. О возможности обобщения метода Кирхгофа на случай векторных полей Математическая не строгость теории дифракции приводит к тому, что она не может быть использована для расчета характеристик поля в непосредственной близости от отверстий в непрозрачных экранах. Кроме того, приемлемая точность расчетов может быть обеспечена лишь в тех случаях, когда размеры отверстий немного превосходят длину волны. Указанные ограничения сужают диапазон возможных приложений скалярной теории. Например, она не может быть использована для расчета характеристик дифракционных решеток высокого разрешения.

Применение скалярных методов для описания дифракции линейно поляризованной волны приводит к еще одному серьезному противоречию. оно состоит в том, что скалярные методы приводят к выводу о наличии продольных компонент поля за экраном (рис . 1.2.4.). Тем самым существует необходимость построения теории дифракции на основе более

последовательного векторного подхода.

Формальное обобщение метода Кирхгофа на случай векторных полей можно осуществить, записав для каждого компонента вектора интеграл Кирхгофа (1.2.25), а затем, сложив их векторно. В результате этой процедуры получается следующее выражение для :

Учитывая, что и , путем математических преобразований, получаем

где m — магнитная проницаемость среды.

Аналогичное выражение можно получить и для вектора .

Определяемый формулой (1.2.67) вектор не будет удовлетворять уравнениям Максвелла. Причина состоит в том, что тангенциальные компоненты векторов и терпят разрыв при переходе через границу контура отверстия. Для того, чтобы удовлетворить условиям непрерывности, необходимо ввести некоторое распределение зарядов и токов на контуре отверстия в экране.

Электродинамический анализ показывает, что самосогласованное поле дифрагированной волны с учетом дополнительных источников поля, обусловленных указанными зарядами, получается добавлением к поверхностному интегралу (1.2.67) интеграла по контуру отверстия

где t — единичный вектор, касательный к элементу контура отверстия dl . Обход контура диафрагмы осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из точки, в которой определяется поле. С увеличением расстояния от точки наблюдения до отверстия вклад интеграла по контуру в величину поля снижается и на расстояниях многих длин волн им вообще можно пренебречь.

О необходимом условии, при котором решение однородного уравнения Гельмгольца удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шарфарец Б. П.

В работе приводится необходимое условие, при котором решение однородного уравнения Гельмгольца, определяемое заданным краевым условием на плоскости, удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда. Показано, что таковым является условие дважды непрерывной дифференцируемости произведения косинуса угла падения и двумерного фурье-образа значения поля на указанной плоскости в сферических координатах. Это позволяет корректно решать, например, такие задачи, как определение радиационного давления на частицы в произвольном падающем поле.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шарфарец Б. П.

ON THE NECESSARY CONDITION WHEN THE HOMOGENEOUS HELMHOLTZ EQUATION SATISFIES THE SOMMERFELD RADIATION CONDITION

The paper presents the necessary condition providing that the homogeneous Helmholtz equation solution determined by a preset plane boundary condition satisfies the Sommerfeld radiation condition. We have shown that this is a condition of double-continuous differentiability of the product of cosine of angle of incidence by the two-dimensional Fourier-image of field on the specified plane in spherical coordinates. This makes it possible to correctly solve such problems as, for instance, determination of radiation pressure upon particles in an arbitrary incident field.

Текст научной работы на тему «О необходимом условии, при котором решение однородного уравнения Гельмгольца удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2008, том 18, № 1, c. 56-59

= ИССЛЕДОВАНИЯ, ПРИБОРЫ, МОДЕЛИ =

И МЕТОДЫ АНАЛИЗА

УДК 534.874+517.954 © Б. П. Шарфарец

О НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ, ПРИ КОТОРОМ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗОММЕРФЕЛЬДА

В работе приводится необходимое условие, при котором решение однородного уравнения Гельмгольца, определяемое заданным краевым условием на плоскости, удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда. Показано, что таковым является условие дважды непрерывной дифференцируемости произведения косинуса угла падения и двумерного фурье-образа значения поля на указанной плоскости в сферических координатах. Это позволяет корректно решать, например, такие задачи, как определение радиационного давления на частицы в произвольном падающем поле.

В теории волновых задач важное место отводится вопросам корректной постановки краевых задач для уравнения Гельмгольца. Существенную роль при постановке таких задач в неограниченных областях играют условия излучения Зоммерфельда [1], позволяющие выделять единственное решение.

Известно, что решение однородного уравнения Гельмгольца, определенное на всем пространстве x е R, называемое целым решением, условиям излучения Зоммерфельда не удовлетворяет. Решение однородного уравнения Гельмгольца, область определения которого составляет бесконечное подмножество R, называется излученным решением (radiation solution), если оно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда [2]. В различных задачах излучения и рассеяния волн приходится оценивать акустическое поле в полупространстве по заданному его значению на плоскости, граничащей с этим полупространством. При этом необходимо определить по значению поля на плоскости, является ли решение в искомом полупространстве целым или излученным. Или, иными словами, удовлетворяет ли решение условиям излучения Зоммерфельда.

В настоящей работе предлагается довольно простое необходимое условие, позволяющее определить по значению поля на плоскости, удовлетворяет ли решение в полупространстве условиям излучения Зоммерфельда.

Рассматривается стационарный гармонический

процесс в однородном полупространстве г > с

временным фактором е

гМ, впредь опускаемом, удовлетворяющий однородному уравнению Гельмгольца. Пусть на плоскости г = г0 задано поле

u( x, y, z0) =У ( x, y).

По функции у(х, у) необходимо определить является ли решение и(х) при г > г0 излученным либо целым, т. е удовлетворяет или нет решение и(х) условию излучения Зоммерфельда при

х = (х, у, г) = (г, в, р) соответственно в декартовых и сферических координатах.

Краевое условие (1) позволяет однозначно построить решение и в полуплоскости г > г0. Пусть существует преобразование Фурье функции у(х, у) в обычном или обобщенном смысле [1] (см. также Приложение)

у(х, у) = ] | У (кх, ку )е (кхХ+куУ^кхdky, (2)

Y(kx,ky) = 4-2 J J y(x, y)e ‘(kxX+kyy)dxdy . (3)

Тогда решение при z > z0 равно

i(kxX+ kyy + kz (Z-Z0 ))

sv^ik ( x sin« cos b+y sin a sin b + z cosa)

где Yj(a, b) = Y(kx, ky).

Для принятия решения о том, удовлетворяет ли (5) условиям излучения Зоммерфельда, воспользуемся тем, что излученное решение может быть представлено в виде [2]:

u(r,9 j) = k£ X С^чkr)y:(9j),

9 e [0,p], j e [0,2p], а также следующим разложением [3, 4]:

п m (x)=h1 (kr )i: (9 j)=

ik ( x sina cos b+y sin a sin b + z cosa)

где ^ (кг) — сферические функции Ханкеля первого рода; а™ — постоянные коэффициенты;

Ynm (9, j) — сферические функции на единичной сфере, равные

т. к. (4) удовлетворяет краевому условию (1), уравнению Гельмгольца и физическому условию ограниченности решения (4) при г ®да, что достигается выбором знака плюс в радикале

к2 = .^к2 -кх2 -ку2 (к = (О/с — волновое число в однородном полупространстве г > г0). Не снижая общности, можно принять г0 = 0. Тогда (4) перепишется в виде

и(х,у, г) = | | т,куУ(кхх+куУ+^к^ . (4а)

Пусть волновой вектор имеет компоненты к = (кх, ку, к2) = (к ,а, () соответственно в декартовых и сферических координатах. Тогда (4а) в сферических координатах перепишется в виде

Далее воспользуемся теоремой разложения функций /(в,ф), в е[0,р], ф е[0,2р] в ряд Фурье по сферическим функциям [1, 5, 6]:

f (9 j) = XZ bn’Yn» (9 j).

Известно, что существуют две крайние по степени жесткости требований версии теоремы разложения функции /(в,ф) по сферическим функциям (8). По первой версии [1], функция /(в,ф) должна принадлежать множеству /(в,ф) е Ь2[в, ф], в е [0,р], ф е [0,2р] интегрируемых по модулю во второй степени функций. По второй версии [5], требования к функции /(в ,ф) жестче — она должна быть дважды непрерывно дифференцируемой по своим аргументам в , ф.

Разложим по сферическим функциям в ряд (8) функцию ^(а, () 008 а из (5) на множестве а е [0, р], ( е [0,2р] (область видимости), полагая, что она удовлетворяет одному из приведенных выше требований:

^(а,()оо8а = ЕЕ ап^пт(а,(). (9)

Далее, подставляя (9) в (5) и воспользовавшись тождеством (7), получаем

и(г,в,ф) = 2рк2Егп Е а^(кг)7т(в,ф). (10)

Как видно, (10) имеет вид (6) излученного решения, т. е. функция и(г,в,ф) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда, если справедливо разложение (9).

Чтобы выбрать требование, которому должна удовлетворять функция ^1(а, ()оо8а , применим к интегралу (5) метод стационарной фазы. Получаем

2Р к ек и(г,в,ф) = —’% (в,ф)оо8в-+ о(г). (11)

Получен ожидаемый результат: функция 2р к

-^1(в, ф) 008 в представляет собой фактор уг-

лового распределения (или амплитуду рассеяния, или диаграмму направленности) поля и(г,в,ф),

про которую известно, что она является целой аналитической функцией комплексных перемен -ных в и р [7]. Отсюда следует более жесткое требование к функции ^1(в,р) при разложении произведения ^1(в ,р )со8в в ряд (9) по сферическим функциям: она должна быть дважды непрерывно дифференцируемой по своим аргументам в, р. В этом случае ряд (9) является равномерно и абсолютно сходящимся, и это позволяет его почленно интегрировать, что не оговаривалось при подстановке ряда (9) в интеграл (5).

Отсюда следует искомое необходимое условие удовлетворения функции и( х, у, г) условиям излучения Зоммерфельда: произведение ^1(в,р)со$,в, где ^1(в,р) — двумерный фурье-образ в сферических координатах функции у(х,у) = и(х,у, г0), должно быть дважды непрерывно дифференцируемым по своим аргументам в, р.

Полученное условие рассмотрим применительно к случаю плоской бегущей волны с гауссовым распределением амплитуды по фронту. Пусть плоская волна е,ь при г = 0 пропускается через маску с функцией прозрачности у (х, у), т. е. амплитуда падающей волны при г = 0 равна

и( х, у,0) = у (х, у). (12)

Потребуем, чтобы выполнялось условие гаус-совости амплитуды и( х, у,0):

Функция ^ (а, //) является целой аналитической функцией своих аргументов, и по необходимому условию решение (15) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда.

Контрпримером является случай распростране-

ния плоской волны е со стороны отрицательных г и условии прозрачности маски. Тогда имеем

т,ку) = ^ 11 е-‘(‘хх+’уу^у = 5(кх)5(ку),

и, следовательно, в сферической системе координат

что легко проверяется подстановкой (18) в (5):

В дальнейшем примем для упрощения условие радиальной симметричности законов (13), (14):

Переходя к сферическим координатам в (14) получаем:

В работе приведено достаточно простое необходимое условие того, удовлетворяет ли условиям излучения Зоммерфельда решение однородного уравнения Гельмгольца, определяемое своим значением на плоскости. А это в свою очередь позволяет корректно решать, например, такие задачи, как определение радиационного давления на частицы в произвольном падающем поле.

Пусть и(х) является излученным решением. Известно [7], что значение этого поля у(х,у) = = и(х, у, г0) на плоскости г = г0 не является абсолютно интегрируемой функцией. Более того, она не является квадратично интегрируемой функцией, т. е. функция у (х, у) не имеет классического фурье-образа. Однако, если в интеграле (3) перейти к полярной системе координат, то порядок ин-

тегрирования, вследствие того что у(x, у) не является абсолютно интегрируемой функцией, играет существенную роль. А именно, верный спектр (3) получается только при интегрировании вначале

по ф = агс*ап(у / x), а затем по г = ^x2 + у2 [7].

Настоящая работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-03-33108) и целевой научно-технической программы Российской Федерации «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы» (лот 2, шифр «2007-2-2.2-04-08»).

3. Devaney A.J., Wolf E. Multipole Expansions and Plane Wave Representations of the Electromagnetic Field // J. Math. Phys. 1974. V. 15, N 2. P. 235-244.

4. Шарфарец Б.П. О некоторых свойствах амплитуды рассеяния // Научное приборостроение. 2007. Т. 17, № 4. С. 55-60.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

6. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

7. Hansen T.B., Yaghjian A.D. Plane-Wave Theory of Time-Domain Fields. New York: IEEE Press, 1999. 367 p.

1. Владимиров В. С. Уравнения математической

физики. М.: Наука, 1981. 521 с. Сшкт-Штербург;

2. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Springer, New Материал поступил в редакцию 30.11.2007. York, 1998. 331 p.

ON THE NECESSARY CONDITION WHEN THE HOMOGENEOUS HELMHOLTZ EQUATION SATISFIES THE SOMMERFELD RADIATION CONDITION

The paper presents the necessary condition providing that the homogeneous Helmholtz equation solution determined by a preset plane boundary condition satisfies the Sommerfeld radiation condition. We have shown that this is a condition of double-continuous differentiability of the product of cosine of angle of incidence by the two-dimensional Fourier-image of field on the specified plane in spherical coordinates. This makes it possible to correctly solve such problems as, for instance, determination of radiation pressure upon particles in an arbitrary incident field.