Условия и уравнения твердого тела

Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

• либо находится в состоянии покоя;
• либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

Сумма моментов относительно точки A:

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

Магия тензорной алгебры: Часть 15 — Движение несвободного твердого тела

Введение

В прошлый раз мы рассмотрели один из способов получения дифференциальных уравнений движения твердого тела исходя из принципа Даламбера. Мы остановились на общей форме уравнений движения

Однако, внимательно взглянув на эти уравнения, меня следовало бы раскритиковать — дело в том, что в данных уравнениях число неизвестных слишком велико. К неизвестным следует отнести ускорение полюса и угловое ускорение тела , а также реакции связей . И если движение тела ограничено хотя бы одной связью, число неизвестных величин в (1) и (2) превышает число уравнений.

Это происходит потому, что левая часть уравнений (1) и (2) содержит ускорения, вычисляемые для случая свободного движения тела, то есть в них имеются избыточные координаты. Поэтому, систему (1), (2) следует дополнить уравнениями связей, описывающими ограничения, налагаемые связями на координаты, скорости и ускорения точек тела.

Этим мы сейчас и займемся — посмотрим, во что превращаются уравнения (1) и (2) при добавлении уравнений связей, и что дают нам полученные уравнения в практическом смысле.

1. Уравнения движения свободного твердого тела

Свободным называют такое тело, движение которого не ограничено связями. Соответственно в уравнениях (1) и (2) пропадают лишние неизвестные и они превращаются в

И для свободного тела нет смысла использовать произвольный полюс — лучше сменить центр приведения систем сил инерции на центр масс тела, записав уравнения движения в более простой форме

Уравнения (5) и (6) — дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела. Они могут быть разрешены относительно ускорений и проинтегрированы численно, при заданных начальных условиях.

2. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой

А теперь предположим, что движение тела ограничено сферическим шарниром, расположенным в точке . Тогда, выбрав полюс в этой неподвижной точке, мы можем добавить уравнение связи

Реакция сферического шарнира, выражается одной силой , поэтому, с учетом (7) уравнения (1) и (2) можно переписать в виде

причем , так как сила приложена в точке , значит, получаем окончательно

Уравнение (8) позволяет определить угловое ускорение тела, исходя из начальных условий задачи и известных активных сил, приложенных к телу, а уравнение (9) дает возможность, зная угловое ускорение, найти реакцию сферического шарнира. Таким образом мы получаем дифференциальные уравнения сферического движения.

3. Вращательное движение тела. Момент инерции тела относительно оси

Вращательным называется движение тела, когда две его точки остаются неподвижными в любой момент времени. Если выразить этот факт с помощью уравнений, то мы можем записать следующие уравнения связей

Условие (10) выражает неподвижность одной из точек тела, а условие (11) — неизменность направления оси вращения тела. Исходя из (11) можно выписать угловую скорость и угловое ускорение тела через параметры конечного поворота

Подставляем (12) и (10) в уравнение (2)

учитывая, что у нас две связи, и соответственно две реакции от подшипников, на которых происходит поворот тела. Причем сразу можно учесть, что , так как первая реакция приложена в точке . Кроме того выполним скалярное умножение последнего уравнения на орт оси вращения

Учтем, что момент второй реакции можно вычислить как , при этом , то есть получаем

Вторые слагаемые в обеих частях данного уравнения — смешанные произведения компланарных векторов и равны нулю, в итоге имеем

— дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси, где

называют моментом инерции твердого тела относительно оси вращения, а

— проекция векторного момента относительно неподвижной точки на ось проходящую через эту точку или — момент силы относительно оси.

Выражение (14) крайне интересно. Если переписать его в тензорной форме, то мы получим формулу

позволяющую, по известному тензору инерции твердого тела определить его момент инерции относительно интересующей нас оси вращения, направление которой в пространстве задано ортом . Момент инерции (16) является скалярной величиной, характеризующей распределение массы тела вокруг оси вращения. Эта величина, равно как и уравнение (13) хорошо известны из общего курса теоретической механики.

4. Поступательное движение тела

При поступательном движении, связи, наложенные на тело препятствуют его вращению. В этом случае мы можем записать очевидные равенства

Полагая идеальность связей, мы можем записать условие, накладываемое на их реакции

где — вектор, касательный к траекториям точек тела. В случае поступательного движения, траектории всех его точек одинаковы, а значит и вектор касательной к траектории одинаков для всех точек. С учетом (17) и (18) можно переписать уравнение (1)

— дифференциальное уравнение поступательного движения тела в проекциях на касательную к траекториям его точек.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели, как преобразуются общие уравнения движения твердого тела (1) и (2) если дополнить их уравнениями связей. При этом, мы легко и непринужденно построили дифференциальные уравнения движения для всех частных случаев движения тела, изучаемых теоретической механикой.

Благодарности

при подготовке данной статьи использован метод, предложенный пользователем SeptiM. В связи с очевидным удобством работы, хочу выразить признательность автору, за проделанную им работу.

Условия равновесия твердого тела и системы сил

Термины «равновесие тела» и «равновесие системы сил»

Здесь мы рассматриваем условия, при которых твердое тело находится в состоянии равновесия. Под этим мы подразумеваем, что если тело в некоторый момент времени покоилось, то оно будет покоится и в последующие моменты времени, относительно некоторой инерциальной системы отсчета.

Об этом также говорят как об условиях равновесия системы сил. Под системой сил в статике всегда подразумеваются силы, действующие на абсолютно твердое тело, или на систему, которую, в соответствии с принципом затвердевания, можно считать единым твердым телом. Все законы преобразования сил относятся только к силам, действующим на одно тело. Под равновесием системы сил подразумевается уравновешенная система, которую эквивалентными преобразованиями можно свести к отсутствию сил, то есть к их взаимному уничтожению. Тогда если система сил находится в равновесии, то она эквивалентна отсутствию сил. Такая система не оказывает никакого влияния на движение тела. И если оно вначале покоилось, то будет покоиться и в последующие моменты времени.

Термин равновесие системы сил несколько отличается от термина равновесие твердого тела. Различие связано с тем, что силы, действующие на тело можно разбить на несколько систем. Некоторые из этих систем могут находиться в равновесии, и не оказывать влияния на движение. Их можно исключить. В тоже время могут существовать неравновесные системы, приводящие к изменению скорости движения центра масс и момента импульса тела.

Однако, если в систему сил включены все внешние силы, то эти понятия совпадают. Далее мы будем говорить об условиях равновесия твердого тела. Эти условия есть то же самое, что условия равновесия системы сил, если под системой сил подразумевать все внешние силы, действующие на тело.

Основная форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра C , равнялась нулю:
(1.1) ;
(1.2) .
Доказательство ⇓

Здесь внешние силы приложены к телу в точках .

Если мы выберем прямоугольную систему координат Cxyz с центром в точке C , то условия (1.1) и (1.2) можно выразить через проекции сил и моментов на оси этой системы. Тогда мы получим шесть уравнений:
; ; ;
; ; .
Из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин, определяющих реакции опор тела.

Также мы можем произвольным образом выбрать три вектора, не лежащие в одной плоскости, и спроектировать уравнения (1.1) и (1.2) на их направления. В результате мы также получим систему из шести уравнений.

Вторая форма условий равновесия

Условия равновесия можно записать и в других формах, которые могут оказаться более удобными при решении некоторых задач. Вот вторая форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1) ;
(2.2) ;
(2.3) .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (2.1) и (2.2) на оси координат, то получим три уравнения (2.1), три уравнения (2.2) и одно уравнение (2.3). Всего получается семь уравнений. Однако, как показано ниже, между шестью уравнениями (2.1) и (2.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Таким образом, в условиях (2.1-3) имеется 7-1=6 линейно независимых уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Третья форма условий равновесия

И наконец, имеется третья форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) ;
(3.4) .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (3.1), (3.2) и (3.3) на оси координат, то получим три уравнения (3.1), три уравнения (3.2) и три уравнения (3.3) – всего девять уравнений. Как показано ниже, между шестью уравнениями (3.1) и (3.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Аналогичным образом, между шестью уравнениями (3.1) и (3.3) существует еще одна линейная зависимость. И наконец, между шестью уравнениями (3.2) и (3.3) существует третья линейная зависимость. То есть, в условиях (3.1-3) имеется три линейных зависимости. Тогда число линейно независимых уравнений равно 9–3=6. Также, как и в предыдущих формах, из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин.

Условия равновесия плоского тела

Теперь рассмотрим плоскую систему, в которой тело может совершать движение только вдоль одной плоскости. При этом силы также направлены в этой плоскости. В этом случае мы выбираем систему отсчета так, чтобы оси x и y лежали в рассматриваемой плоскости, а ось z была ей перпендикулярна. Тогда приведенные выше формы условий равновесия сохраняют свой вид. При этом z – компоненты всех сил равны нулю: , а у моментов сил отлична от нулю только z – компонента: .

Выпишем условия равновесия для плоской системы, расписав их по компонентам.

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Здесь во всех формах имеется по три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины.

Доказательство условий равновесия

Основная форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра C , равнялась нулю:
(1.1)
(1.2)

Для доказательства воспользуемся законами движения твердого тела. Они описываются уравнениями:
(1.3) ;
(1.4) .
Здесь – ускорение центра масс тела; M – его масса; – момент импульса тела относительно произвольно выбранного центра C ; – внешние силы, действующие на тело, приложенные в точках .

Пусть тело находится в состоянии покоя относительно выбранной инерциальной системы координат. Тогда, в этой системе координат, скорость всех точек равна нулю. Отсюда
, .
Подставляя в (1.3) и (1.4), получаем (1.1) и (1.2).
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия равновесия (1.1) и (1.2). Подставляя их в уравнения движения (1.3) и (1.4), получаем:
;
.
Отсюда получаем, что скорость движения центра масс и момент импульса постоянны, не меняются со временем. Пусть теперь в начальный момент времени тело покоилось. Тогда скорость движения его центра масс и момент импульса равны нулю. А поскольку они не меняются со временем, то они равны нулю и в последующие моменты времени. То есть тело остается в состоянии покоя во все моменты времени.

Вторая форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1)
(2.2)
(2.3)

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Возьмем произвольные точки и и выберем произвольный вектор , не перпендикулярный прямой : . Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, выполняются условия (1.1) и(1.2):
(1.1) :
(1.2) .
Поскольку здесь C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем точку . В результате получим (2.1):
(2.1) .
Далее, в качестве C возьмем точку . Получим (2.2):
(2.2) .
Теперь спроектируем уравнение (1.1) на направление вектора . Получим (2.3):
(2.3) .
Это уравнение выполняется для любых векторов . В том числе и для тех, направление которых не перпендикулярно : .
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3). Докажем, что тогда тело будет находиться в состоянии равновесия. Воспользуемся векторным уравнением:
(2.4) .
Подставим его в (2.1):

.
Поскольку из (2.2), , то .
Отсюда
(2.5) ,
где λ – произвольная постоянная. Умножим это уравнение скалярно на и применим (2.3):
(2.6) .
По условию, . Поэтому .
Тогда, чтобы выполнялось (2.6) нужно положить . В результате из (2.5) получаем уравнение (1.1):
.
Условие (1.2) также выполняется, если положить . Таким образом мы получили, что если выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1) ;
(1.2) .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Линейная зависимость моментов относительно двух точек

Докажем, что уравнения (2.1) и (2.2) линейно зависимы. Для этого из (2.1) вычтем (2.2) и воспользуемся (2.4):

.
Здесь мы ввели обозначение . Умножим это уравнение скалярно на :
.
В правой части стоит смешанное произведение векторов, в которое входит два одинаковых вектора . Поэтому оно равно нулю. В результате получаем линейную зависимость между уравнениями (2.1) и (2.2):
.

Третья форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) ;
(3.4) .

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, при этом выполняется условие (1.2):
(1.2) .
Возьмем произвольные точки , и , не лежащие на одной прямой. Поскольку в (1.2) C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем последовательно точки , и . В результате получим уравнения (3.1), (3.2) и (3.3):
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) .
Эти уравнения выполняются для любых точек , и . В том числе и для тех, которые не лежат на одной прямой:
(3.4) .
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4). Докажем, что тело будет находиться в состоянии равновесия. Как и при доказательстве второй формы, воспользуемся векторным уравнением:
(3.5) .
Подставим его в (3.1):

.
Поскольку из (3.2), , то .
Отсюда
(3.6) ,
где – произвольная постоянная.

Выполняя те же действия с точками и , найдем:
(3.7) ,
где – также произвольная постоянная. Сравнивая (3.6) и (3.7) имеем:
(3.8) .
Поскольку векторы и не параллельны, то уравнение (3.8) может выполняться только при . Тогда из (3.6) следует, что .
Для доказательства того, что , достаточно умножить скалярно уравнение (3.8) на вектор, перпендикулярный и вектор, перпендикулярный .

Если обозначить точку как C , то (3.1) примет вид:
.

Итак, мы получили, что если выполняются условия (3.1), (3.2) и (3.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1) ;
(1.2) .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-09-2019