Условия параллельности и перпендикулярности прямых заданных уравнениями

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

угол между ними определяется по формуле

(7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
и
то для того, чтобы

прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
b_2″ />

перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

Но это все можно, я думаю, посчитать в уме.

Зато если прямые заданы общими уравнениями
и
то для того, чтобы

прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
\frac» />

перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

Посчитать в уме тоже можно, конечно. Но можно и сделать калькулятор — вводим коэффициенты, получаем результат!

Урок 8

условия Параллельности и ПерПендикулярности двух Прямых.

расстояние то точки до Прямой.

взаимное расПоложение двух Прямых на Плоскости.

условия Параллельности и ПерПендикулярности двух Прямых.

условием Параллельности двух Прямых является равенство их угловых коэффициентов.

данное условие следует из того, что При Параллельности Прямых, угол между ними равен 0, tg0=0 , а отсюда По формуле (7) k 1 =k 2

условием ПерПендикулярности двух Прямых — Произведение их угловых коэффициентов равно -1.

При ПерПендикулярности двух Прямых в формуле (7) (угол между ними 90 0 , тангенса не существует) следует: сtgf = (1+ k 1 k 2 )/ ( k 2 — k 1 ) =0 или 1+ k 1 k 2 =0.

Пример 1. Показать, что Прямые 4х-2у+7=0 и 20х-10у-11=0 Параллельны.

решение. Приведя уравнение каждой Прямой к виду уравнения с угловым коэффициентом (2), Получаем: у=2х+3,5 и у=2х-5,5. угловые коэффициенты этих Прямых равны (Принимают значение 2). отсюда следует, что Прямые Параллельны.

Пример 2. Показать, что Прямые 4х-2у+7=0 и 10х+20у-3=0 ПерПендикулярны.

решение. Приведя уравнение каждой Прямой к виду уравнения с угловым коэффициентом (2), Получаем: у=2х+3,5 и у=-0,5х+0,15. найдем Произведение угловых коэффициентов: 2(-0,5)=-1. отсюда следует, что Прямые ПерПендикулярны.

Pасстояние то точки до Прямой.

расстояние d от точки а(х 0 ;у 0 ) до Прямой l , заданной уравнением вида Ax + By + C = 0, вычисляется По формуле (8).

Пример 3. Пусть Прямая задана уравнением 3х-4у+10=0 и дана точка а(4;3). найти расстояние от точки до Прямой.

решение. По формуле (8) находим

Bзаимное расПоложение двух Прямых на Плоскости.

рассмотрим две Прямые l 1 и l 2 , заданные уравнениями: а 1 х+в 1 у+с 1 =0 и а 2 х+в 2 у+с 2 =0.

1) Прямые совПадают, если все коэффициенты Первого уравнения ПроПорциональны коэффициентам второго уравнения, т.е.

2) Прямые Параллельны, если

3) Прямые Пересекаются, частный случай — ПерПендикулярны:

1. составьте уравнение Прямой, отсекающей на оси оу отрезок B =3 и образующей с осью ох угол: а) 45 0 , б) 135 0 . Постройте эту Прямую. (ответ: а)у=х+3; б) у=-х+3).
2. оПределите Параметры k и B для каждой из Прямых: а) 2х-3у=6; б) 2х+3у=0; в) у =-3; г) х/4 +у/4 =1. (ответ: а) k =2/3; B = -2; б) k =-2/3; B =0; в) k =0; B =-3; г) k =-3/4; B =3)
3. оПределите Параметры k и B Прямой, Проходящей через точку а(2;3) и составляющей с осью угол 450. составьте уравнение этой Прямой. (ответ: k =1; B =1, у=х+1)
4. Приведите к виду уравнений в отрезках на осях уравнения Прямых: а) 2х-3у=6; б) 3х-2у+4=0. (ответ: а) х/3 — у/2 =1; б) -3х/4 + у/2=1)
5. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точки а(-1;3) и в(4;-2). (ответ: у=-х+2)
6. составьте уравнения Прямых, заданных Параметрами: а) B=-2, a=60 0 , б) B=-2, a=120 0 .Постройте эти Прямые.(ответ: а)у=хv3-2, б)у=-хv3-2)
7. оПределите точки Пересечения Прямой 2х-3у-12=0 с осями координат и Постройте эту Прямую. (ответ: (6;0) и (0;-4))
8. найдите точку Пересечения Прямых 3х-4у-29=0 и 2х+5у+19=0. (ответ: (3;-5))
9. стороны ав, вс и ас треугольника авс заданы соответственно уравнениями 4х+3у-5=0, х-3у+10=0 и х-2=0. оПределите координаты его вершин. (ответ: а(2;-1), в(-1;3), с(2;4))
10. составьте уравнения двух Прямых, Проходящих через точку а(4;5), так, чтобы одна была Параллельна оси ох, а другая — оси оу. (ответ: у=5, х=4)
11. оПределите угол между Прямыми: а) у=2х-3 и у=0,5х+1, б) 5х-у+7=0 и 2х-3у+1=0, в) 2х+у=0 и у=3х-4, г) 3х-4у=6 и 8х+6у=11. (ответ: а) ArCtg0 ,75; б) 45 0 , в) 45 0 , г) 90 0 )
12. составьте уравнения Прямых, Проходящих через точку а(-1;1) Под углом 45 0 к Прямой 2х+3у=6. (ответ: х-5у+6=0 и 5х+у+4=0)
13. составьте уравнение ПерПендикуляра, оПущенного из точки а(6;2) на Прямую х-4у-7=0. (ответ: у+4х-26=0)
14. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку а(-4;3) и Параллельной Прямой х+2у+3=0. (ответ: х+2у-2=0)
15. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку Пересечения Прямых 2х-3у-1=0 и 3х-у-2=0 ПерПендикулярно Прямой у=х+1. (ответ: 7х+7у-6=0)
16. дан треугольник с вершинами а(-2;0), в(2;4) и с(4;0). составьте уравнения сторон треугольника, медианы ае, высоты ан и найдите длину медианы ае. (ответ: ае: 2х-5у+4=0, ее длина v29, ан: х-2у+2=0)
17. найдите расстояние точек а(4;3), в(2;1), с(1;0) и о(0;0) от Прямой 3х+4у-10=0. Постройте точки и Прямую. (ответ: 2,8; 0; 1,4; 2)
18. Покажите, что Прямые 2х-3у-6=0 и 4х-6у-25=0 Параллельны, и найдите расстояние между ними. (ответ: 6,5; указание: на одной из Прямых возьмите Произвольную точку и найдите ее расстояние от другой Прямой)
19. найдите k из условия, что Прямая у=kх+5 удалена от начала координат на расстояние d=v5. (ответ: k =± 2)
20. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку а(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d=2. (ответ: 3х-4у+10=0; х=2)
21. через начало координат Проведена Прямая на одинаковом расстоянии от точек а(2;2) и в(4;0). найдите это расстояние. (ответ: уравнения Прямых: х+у=0 и х-3у=0, расстояния: 2v2 и 0,4v10)
22. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку Пересечения Прямых 4х+3у=7 и 3х+2у=5 и составляющей тот же угол с осью ох, что и Прямая 2х+=5. (ответ: у+2х-3=0)
23. дан треугольник с вершинами а(2;3), в(4;8) и с(3;-8). составьте уравнения его сторон, медиан и высот. (ответ: ав: 5х-2у-4=0, ас: у+11х-25=0, вс: 16х-у-56=0; уравнения медиан: 2х+у-7=0, 7х-у-20=0, х=3; уравнения высот: 11у-х-84=0, 16у+х-50=0, 5у+2х+24=0)

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области