Условия скрещиваемости двух прямых по параметрическим уравнениям

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

Через каждую пару скрещивающихся прямых может проходить плоскость, параллельная данной, причем только одна.

По условию нам даны скрещивающиеся прямые a и b . Необходимо доказать проходимость единственной плоскости через прямую b , параллельную данной прямой a . Аналогичное доказательство необходимо применять для прямой a , через которую проходит плоскость, параллельная данной прямой b .

Для начала необходимо отметить точку Q на прямой b . Если следовать из определения параллельности прямых, то получаем, что через точку пространства можно провести прямую, параллельную заданной прямой, причем только одну. Значит, через точку Q проходит только одна прямая, параллельная прямой a . Примем обозначение а а 1 .

Раздел способов задания плоскости было говорено о том, что прохождение единственной плоскости возможно через две пересекающиеся прямые. Значит, получаем, что прямые b и а 1 – пересекающиеся прямые, через которые проходит плоскость, обозначаемая χ .

Исходя из признака параллельности прямой с плоскостью, можно сделать вывод, что заданная прямая a параллельна относительно плоскости χ , потому как прямая a параллельна прямой а 1 , расположенной в плоскости χ .

Плоскость χ является единственной, так как прямая, проходящая через заданную прямую, находящуюся в пространстве, параллельна заданной прямой. Рассмотрим на рисунке, предоставленном ниже.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

То есть расстояние между прямой и плоскостью является расстоянием от заданной точки к плоскости. Тогда применима формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых к плоскости, проходящей через другую прямую, параллельную первой прямой.

Произведем подробное рассмотрение прямых a и b . Точка М 1 располагается на прямой a , через прямую b проводится плоскость χ , параллельная прямой a . Из точки М 1 проводим перпендикуляр М 1 Н 1 к плоскости χ . Длина этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми a и b . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения

Расстояния между скрещивающимися прямыми находятся при построении отрезка. Искомое расстояние равняется длине этого отрезка. По условию задачи его длина находится по теореме Пифагора, по признакам равенства или подобия треугольников или другим.

Когда имеем трехмерное пространство с системой координат О х у z с заданными в ней прямыми a и b , то вычисления следует проводить, начиная с расстояния между заданными скрещивающимися при помощи метода координат. Произведем подробное рассмотрение.

Пусть по условию χ является плоскостью, проходящей через прямую b , которая параллельна прямой a . Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равняется расстоянию от точки М 1 , расположенной на прямой a , к плоскости _ χ . Для того, чтобы получить нормальное уравнение плоскости χ , необходимо определить координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) _, расположенной на прямой a . Тогда получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , которое необходимо для определения расстояния M 1 H 1 от точки M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ . Вычисления производятся по формуле M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Необходимое расстояние равняется искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Данная задача предполагает получение координат точки М 1 , которая располагается на прямой a , нахождение нормального уравнения плоскости χ .

Определение координат точки М 1 необходимо и возможно при знании основных видов уравнений прямой в пространстве. Чтобы получить уравнение плоскости χ , необходимо остановиться подробней на алгоритме вычисления.

Если координаты x 2 , y 2 , z 2 будут определены при помощи точки М 2 , через которую проведена плоскость χ , получаем нормальный вектор плоскости χ в виде вектора n → = ( A , B , C ) . Следуя из этого, можно записать общее уравнение плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Вместо точки М 2 может быть взята любая другая точка, принадлежащая прямой b , потому как плоскость χ проходит через нее. Значит, координаты точки М 2 найдены. Необходимо перейти к нахождению нормального вектора плоскости χ .

Имеем, что плоскость χ проходит через прямую b , причем параллельна прямой a . Значит, нормальный вектор плоскости χ перпендикулярен направляющему вектору прямой a , обозначим a → , и направляющему вектору прямой b , обозначим b → . Вектор n → будет равняться векторному произведению a → и b → , что значит, n → = a → × b → . После определения координат a x , a y , a z и b x , b y , b z направляющих векторов заданных прямых a и b , вычисляем

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Отсюда находим значение координат A , B , C нормального вектора к плоскости χ .

Знаем, что общее уравнение плоскости χ имеет вид A · ( x — x 2 ) + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Необходимо привести уравнение к нормальному виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . После чего нужно произвести вычисления искомого расстояния между скрещивающимися прямыми a и b , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b , необходимо следовать алгоритму:

• определение координат ( x 1 , y 1 , z 1 ) и x 2 , y 2 , z 2 точек М 1 и М 2 , расположенных на прямых a и b соответственно;
• получение координат a x , a y , a z и b x , b y , b z , принадлежащих направляющим векторам прямых a и b ;
• нахождение координат A , B , C , принадлежащих вектору n → на плоскости χ , проходящей через прямую b , расположенную параллельно a , по равенству n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ;
• запись общего уравнения плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 ;
• приведение полученного уравнения плоскости χ к уравнению нормального вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 ;
• вычисление расстояния M 1 H 1 от M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Пример 1

Имеются две скрещивающиеся прямые в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства. Прямая a определена параметрическим уравнением прямой в пространстве x = — 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 — 3 · λ , прямая b при помощи канонического уравнения прямой в пространстве x 1 = y — 1 — 2 = z + 4 6 . Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

Понятно, что прямая а пересекает точку M 1 ( — 2 , 1 , 4 ) с направляющим вектором a → = ( 0 , 2 , — 3 ) , а прямая b пересекает точку M 2 ( 0 , 1 , — 4 ) с направляющим вектором b → = ( 1 , — 2 , 6 ) .

Для начала следует произвести вычисление направляющих векторов a → = ( 0 , 2 , — 3 ) и b → = ( 1 , — 2 , 6 ) по формуле. Тогда получаем, что

a → × b → = i → j → k → 0 2 — 3 1 — 2 6 = 6 · i → — 3 · j → — 2 · k →

Отсюда получаем, что n → = a → × b → — это вектор плоскости χ , который проходит через прямую b параллельно a с координатами 6 , — 3 , — 2 . Получим:

6 · ( x — 0 ) — 3 · ( y — 1 ) — 2 · ( z — ( — 4 ) ) = 0 ⇔ 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0

Находим нормирующий множитель для общего уравнения плоскости 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0 . Вычислим по формуле 1 6 2 + — 3 2 + — 2 2 = 1 7 . Значит, нормальное уравнение примет вид 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 .

Необходимо воспользоваться формулой, чтобы найти расстояние от точки M 1 — 2 , 1 , 4 до плоскости, заданной уравнением 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 . Получаем, что

M 1 H 1 = 6 7 · ( — 2 ) — 3 7 · 1 — 2 7 · 4 — 5 7 = — 28 7 = 4

Отсюда следует, что искомым расстоянием является расстояние между заданными скрещивающимися прямыми, является значение 4 .

Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.

Условия скрещиваемости двух прямых по параметрическим уравнениям

Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.

§ 71. Скрещивающиеся прямые.
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Как известно (§ 46), прямые l₁ и l₂ называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b — направляющие векторы этих прямых, а точки M₁ и M₂ принадлежат соответственно прямым и l₁ и l₂ (рис. 208).

Тогда векторы а, b, M ₁ M ₂ > не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M ₁ M ₂ > ) =/= 0.

Верно и обратное утверждение:

если (а, b, M ₁ M ₂ > ) =/= 0, то векторы а, b, M ₁ M ₂ > не компланарны, и, следовательно, прямые l₁ и l₂ не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.

Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие

где а и b — направляющие векторы прямых, а M₁ и M₂ — точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие

является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями

Задача. Исследовать взаимное расположение прямых:

а) В данном случае а = (2; 3; 1), b = (—1; 2; 3), M₁(2; 4; 4), М₂(3; — 1; 3). Проверяем условие (3):

Следовательно, данные прямые скрещиваются.

б) Направляющие векторы прямых имеют координаты а = (2; —8; 4), b = (—1; 1; 1). Первая прямая проходит через точку M₁(3; 3; 7), вторая — через точку М₂(2; 5; 7). Проверяем условие (3):

—

Данные прямые лежат в одной плоскости. Направляющие векторы прямых, очевидно, не коллинеарны. Следовательно, прямые пересекаются.

в) За направляющий вектор первой прямой возьмем векторное произведение векторов n₁ = (1; 1; 1) и n₂ = (5; 1; —1), т. е. нормальных векторов плоскостей, задающих первую прямую:

Из уравнения второй прямой видим, что b = (1; —3; 2). Направляющие векторы данных прямых коллинеарны, так как —2 /₁= 6 /_—3 = —4 /₂ . Следовательно, данные прямые параллельны. Так как точка М₂(4; 2; 8), принадлежащая второй прямой, не удовлетворяет уравнениям первой прямой, то данные прямые не совпадают.