В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
единственное решение;
бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
Совместна ли система?
Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .
Обозначим через $ \mathbb A_<> $ любое из множеств $ \mathbb Q_<>, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $.
Примеры систем уравнений над $ \mathbb R $.
Относительно числа $ m_<> $ уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных $ n_<> $. Если $ m_<>>n $ то система называется переопределенной. Решением системы уравнений называется любой набор значений переменных $ x_1=\alpha_<1>,\dots, x_n = \alpha_n $, обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Можно доказать (см. результаты ☟ НИЖЕ ), что все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:
1. система совместна и имеет единственное решение;
2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;
3. cистема несовместна.
При этом все решения будут находиться в том же множестве $ \mathbb A_<> $, что и коэффициенты системы.
Матричная форма записи
Для системы линейных уравнений относительно переменных $ x_1,x_2,\dots,x_n $ $$ \left\< \begina_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & & \dots \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_m. \end \right. $$ матрицей системы называется матрица $$ A=\left( \begina_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots &&& \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right)_ \ ; $$ cтолбец $$ <\mathcal B>= \left( \beginb_ <1>\\ b_ <2>\\ \vdots \\ b_ \end \right) $$ называется столбцом правых частей системы, а столбец $$ X= \left( \beginx_ <1>\\ x_ <2>\\ \vdots \\ x_ \end \right) $$ — столбцом неизвестных. Используя правило умножения матриц, систему можно записать в матричном виде: $$ AX= <\mathcal B>\ . $$ Любое решение $ x_1=\alpha_1,\dots,x_n=\alpha_n $ системы можно также записать в виде столбца: $$ X=\left( \begin\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end \right) \in \mathbb A^n \ . $$ Матрица, составленная из всех коэффициентов системы уравнений: $$ [A \mid \mathcal B ]= \left( \begina_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>& b_2 \\ \dots &&& & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ & b_m \end \right)_ \ , $$ т.е. конкатенацией матрицы $ A_<> $ и столбца правых частей $ <\mathcal B>_<> $ называется расширенной матрицей системы л.у.
Решение. Выразим из первого уравнения $ x_ <1>$ $$ x_1=\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3> <2>$$ и подставим в оставшиеся уравнения $$ 4 \left(\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>\right) -3\,x_2-5\,x_3=6 \ <\color\iff > \ 3x_2-3x_3 = 0 $$ $$ \ <\color\iff > \ x_2-x_3=0 \ ; $$ $$ 3 \left(\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>\right) +5x_2+9x_3=-8 \ <\color\iff > \ \frac<19> <2>x_2 +\frac<21><2>x_3=-\frac<25> <2>$$ $$ <\color\iff > 19x_2 +21x_3=-25 \ . $$ Два получившихся уравнения не зависят от неизвестной $ x_ <1>$ — она оказалась исключенной из этих уравнений. Иными словами, мы получили новую подсистему уравнений $$ \left\< \beginx_2&-x_3&=0 \\ 19x_2&+21x_3&=-25, \end \right. $$ которой должны удовлетворять неизвестные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$. Продолжаем действовать по аналогии: выразим из первого уравнения $ x_ <2>$ через $ x_ <3>$: $$x_2=x_3 $$ и подставим во второе: $$ 40 x_3 =-25 \ \iff \ x_3=-\frac<5> <8>\ . $$ Итак, значение одной компоненты решения получено. Для нахождения оставшихся подставим значение $ x_ <3>$ в полученные по ходу решения соотношения: $$ x_2=x_3=-\frac<5> <8>\ \Rightarrow \ x_1=\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>=\frac<1> <4>\ . $$
Ответ. $ x_<1>=1/4, x_2=-5/8, x_3=-5/8 $.
Теперь осталось формализовать изложенную идею метода (сформулировав допустимые правила действия над уравнениями — те, что в принципе, очевидны из здравого смысла ), а также исследовать возможные последствия его применения к системам общего вида.
Исключение переменных
Элементарными преобразованиями системы л.у. называются преобразования следующих трех типов:
1. перестановка двух уравнений;
2. умножение обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число;
Теорема.Любое элементарное преобразование системы л.у. переводит эту систему в ей эквивалентную, т.е. имеющую то же множество решений, что и исходная.
Задача. С помощью элементарных преобразований привести систему л.у. к наиболее простому виду: такому, из которого легко было бы установить множество решений.
Предположим, что первое уравнение системы содержит явно неизвестную $ x_ <1>$, т.е. $ a_<11>^<> \ne 0 $. Исключим эту неизвестную из всех оставшихся уравнений. С этой целью вычтем из второго уравнения первое, домноженное на $ a_<21>/a_<11>^<> $. Получим $$\left(a_<22>— \frac>> a_ <12>\right)x_2 + \dots + \left(a_<2n>— \frac>> a_ <1n>\right)x_n = b_2 — \frac>> b_1 \ , $$ Аналогичное преобразование — вычитание из третьего уравнения системы первого, умноженного на $ a_<31>/a_<11>^<> $, позволяет исключить $ x_ <1>$ из этого уравнения, т.е. заменить его на $$\left(a_<32>— \frac>> a_ <12>\right)x_2 + \dots + \left(a_<3n>— \frac>> a_ <1n>\right)x_n = b_3 — \frac>> b_1 \ . $$ Продолжаем процесс далее. В конечном итоге исключаем $ x_ <1>$ из всех уравнений кроме первого: $$ \left\< \begina_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ &a_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_<2n>^<[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ &\dots & & & \dots \\ &a_^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_^<[1]>x_n &=b_m^<[1]>. \end \right. \ \ npu \ \ \begina_^ <[1]>&= & \displaystyle a_ — \fraca_<1k>>> ,\\ b_j^ <[1]>&= & \displaystyle b_j — \fracb_1>> . \end $$ Полученная система эквивалентна исходной системе, однако она имеет более простой вид: в ней выделилась подсиcтема $$ \left\< \begina_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_<2n>^<[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ \dots & & & \dots \\ a_^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_^<[1]>x_n &=b_m^<[1]>, \end \right. $$ которая не зависит от переменной $ x_ <1>$. К этой новой подсистеме можно применить те же рассуждения, что и к исходной системе, поставив теперь целью исключение переменной $ x_ <2>$.
Понятно, что процесс исключения может быть продолжен и далее. Теперь посмотрим, где он может прерваться. Может так случиться, что очередная, $ \ell_<> $-я подсистема имеет коэффициент $ a_<\ell \ell>^ <[\ell-1]>$ равным нулю, что не позволит алгоритму идти дальше — т.е. исключить переменную $ x_<\ell>^<> $ из оставшихся уравнений (в принципе, такое могло случиться уже на первом шаге, если бы коэффициент $ a_<11>^<> $ был бы равен нулю). Возможные варианты дальнейших действий:
1. если хотя бы один коэффициент при $ x_<\ell>^<> $ в одном из оставшихся уравнений отличен от нуля: $ a_^<[\ell-1]>\ne 0^<> $, то это уравнение переставляется с $ \ell_<> $-м;
2. если при всех $ j\ge \ell^<> $ коэффициенты $ a_^ <[\ell-1]>$ равны нулю, то переменная $ x_<\ell>^<> $ не входит ни в одно оставшееся уравнение, и можно перейти к исключению переменной $ x_<\ell+1>^<> $.
Поскольку число переменных конечно, то алгоритм исключения должен завершиться за конечное число шагов. Чем он может завершиться? Окончательная система должна иметь вид: $$ \left\< \begina_<11>x_1 +&a_<12>x_2&+ \ldots& +a_<1 <\mathfrak r>>x_<\mathfrak r>& +a_ <1 ,<\mathfrak r>+1>x_<<\mathfrak r>+1>&+ \ldots + & a_<1n>x_n &=b_1,\\ &a_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots& +a_<2 <\mathfrak r>>^ <[1]>x_<\mathfrak r>& +a_<2 ,<\mathfrak r>+1>^ <[1]>x_<<\mathfrak r>+1>&+ \ldots + & a_<2n>^ <[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ & & \ddots & & & & & \dots \\ & & & a_ <<\mathfrak r><\mathfrak r>>^<[<\mathfrak r>-1]>x_ <\mathfrak r>& + a_ <<\mathfrak r>, <\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>x_<<\mathfrak r>+1>& + \ldots + & a_ <<\mathfrak r>,n>^<[<\mathfrak r>-1]>x_n &=b_<\mathfrak r>^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ & & & & & & 0 &=b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ & & & & & & \dots & \\ & & & & & & 0 &=b_^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ \end \right. $$ при $ <\mathfrak r>\le n_<> $. Заметим, что все коэффициенты этой системы будут принадлежать тому же множеству, что и коэффициенты исходной системы.
Предположение . Мы будем считать, что каждое из первых $ <\mathfrak r>_<> $ уравнений системы содержит в своей левой части хотя бы одну переменную с ненулевым коэффициентом.
Процесс получения системы такого вида из исходной системы уравнений называется прямым ходом метода Гаусса.
Исторический комментарий о Гауссе ☞ ЗДЕСЬ.
Установление множества решений
Теорема.Если хотя бы одно из чисел $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>,\dots , b_^<[<\mathfrak r>-1]> $ отлично от нуля, то исходная система линейных уравнений будет несовместной.
Для простоты мы будем иллюстрировать наши рассуждения на системах л.у. над $ \mathbb R_<> $, в этом же множестве искать решения. Каждое из преобразований метода Гаусса будем обозначать $ \to_<> $.
Пусть теперь $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_^<[<\mathfrak r>-1]>=0 $. Возможны два случая: $ <\mathfrak r>=n_<> $ и $ <\mathfrak r>предположения , имеем $ a_^ <[n-1]>\ne 0 $. Но тогда, поскольку система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то и все коэффициенты $ a_^<[n-2]>, \dots, a_<22>^<[1]>, a_ <11>$ должны быть отличны от нуля — в противном случае метод Гаусса не остановился бы на системе такого вида; он называется треугольным: Из последнего уравнения системы можно однозначно установить значение $ x_ $: $$x_n=b_n^ <[n-1]>\big/ a_^ <[n-1]>\ .$$ Далее, подставляя это значение в $ (n-1) $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $: $$ x_= \frac^ <[n-2]>— a_^<[n-2]>x_>< a_^<[n-2]>>= \frac< b_^ <[n-2]>— a_^ <[n-2]>b_n^ <[n-1]>\Big/ a_^<[n-1]>>< a_^<[n-2]>> . $$ Подставляем полученные значения для $ x_ $ и $ x_ $ в $ (n-2)_<> $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $, и т.д., в конце концов приходим к первому уравнению, из которого выражаем $ x_ <1>$ если ранее уже получены выражения для $ x_2,\dots,x_ $.
Теорема.Если прямой ход метода Гаусса заканчивается треугольной системой, т.е. $ \mathfrak r = n_<> $ и $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_^<[<\mathfrak r>-1]>=0 $, то исходная система линейных уравнений имеет единственное решение.
Исследуем теперь случай $ <\mathfrak r>1) : На основании предположения , в $ <\mathfrak r>$-м уравнении этой системы имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части, пусть $ a_ <<\mathfrak r><\mathfrak s>>^<[<\mathfrak r>-1]>\ne 0 $ — первый из них. Если $ <\mathfrak s>=n $, то из этого уравнения однозначно определится $ x_ $ $$ x_n=\alpha_n = b_<\mathfrak r>^<[<\mathfrak r>-1]> \big/ a_ <<\mathfrak r>n>^<[<\mathfrak r>-1]> \ . $$ Если же $ <\mathfrak s>предположения , в этом уравнении имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части; пусть $ a_<<\mathfrak r>-1, <\mathfrak k>>^<[<\mathfrak r>-2]>\ne 0_<> $ — первый из них. Поскольку мы преположили, что система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то $ <\mathfrak k>по крайней мере две переменные, значения которых еще не были зафиксированы на предыдущих шагах. Это следует из предположения, что число уравнений $ <\mathfrak r>_<> $ меньше числа неизвестных $ n_<> $. Такое уравнение допускает бесконечное число решений, любое из которых в ходе дальнейших шагов может быть «доделано» до решения системы.
Теорема.Если прямой ход метода Гаусса заканчивается трапециевидной системой, т.е. $ \mathfrak r 2) матрицы $ A_<> $ (третьего порядка). Понятие определителя распространяется и на квадратные матрицы бóльших порядков; образно говоря, определитель — это функция элементов матрицы, отвечающая за единственность решения системы уравнений.
Дальнейший матричный анализ метода Гаусса ☞ ЗДЕСЬ.
Формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Теорема.Cистема
$$ \left\<\begina_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&b_1\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_n \end\right. $$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $$ \left| \begina_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots &&& \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| \ne 0 \ . $$ В этом случае решение можно вычислить поформулами Крамера 3) : $$ x_k =\frac<\det \left[ A_<[1]>|\dots|A_<[k-1]>|<\mathcal B>|A_<[k+1]>|\dots|A_ <[n]>\right]> <\det A>\quad npu \quad k\in \ < 1,\dots,n \>\ . $$ Для получения значения $ x_ $ в числитель ставится определитель, получающийся из $ \det A_<> $ заменой его $ k_<> $-го столбца на столбец правых частей ( здесь $ <> | $ означает конкатенацию).
Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ \det A_<> \ne 0 $.
Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.
Еще один способ решения системы основан на построении обратной матрицы: $$ AX= <\mathcal B>\quad \Rightarrow \quad X=A^<-1> <\mathcal B>\ . $$ Этот способ малоэффективен при фиксированных числовых $ A_<> $ и $ <\mathcal B>_<> $.
Найти достаточное условие существования общего решения систем уравнений:
$$ A_1 X = <\mathcal B>_1 \quad u \quad A_2 Y = <\mathcal B>_2 \ , $$ при квадратных матрицах $ A_1 $ и $ A_2 $ одинакового порядка.
Теорема [Кронекер, Капелли].Система $ AX= <\mathcal B>$ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:
$$ \operatorname\, A = \operatorname\, [ A| <\mathcal B>] \ . $$ При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных $ n_<> $ совпадает с общим значением ранга $ \mathfrak r_<> $, и бесконечное множество решений, если $ n_<> $ больше этого значения.
Доказательство необходимости. Пусть существует решение $ x_1=\alpha_1,\dots,x_n=\alpha_n $ системы, тогда $$\alpha_1 A_<[1]>+\dots+\alpha_n A_<[n]>= <\mathcal B>\ ,$$ т.е. столбец $ <\mathcal B>$ линейно выражается через столбцы $ A_<[1]>,\dots,A_ <[n]>$. Но тогда $$ \operatorname \,\dots,A_<[n]>\>=\operatorname \,\dots,A_<[n]>,<\mathcal B>\> .$$ Следовательно $ \operatorname\, A = \operatorname\, [ A| <\mathcal B>] $.
Доказательство достаточности проводится в следующем пункте. ♦
Пример. Исследовать совместность системы уравнений
Решение. В этом примере число уравнений совпадает с числом неизвестных. Это обстоятельство несколько облегчает рассуждения. Обратимся к замечанию из предыдущего пункта: система л.у. с числом уравнений, совпадающем с числом неизвестных, как правило, совместна. Тогда попробуем установить условия, обеспечивающие противоположное свойство — несовместность. Оно, фактически, единственно: за все отвечает определитель системы $ \det A_<> $. Если он отличен от нуля — система совместна. $$\det A = \left| \begin<\color<\lambda>> &1&1&1 \\ 1&<\color<\lambda>>&1&1 \\ 1&1&<\color<\lambda>>&1 \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right|= \left| \begin(<\color<\lambda>>-1) &(1-<\color<\lambda>>)&0&0 \\ 0&(<\color<\lambda>>-1)&(1-<\color<\lambda>>)&0 \\ 0&0&(<\color<\lambda>>-1)&(1-<\color<\lambda>>) \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right| =(<\color<\lambda>>-1)^3 \left| \begin1 &-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right|= $$ $ =(<\color<\lambda>>-1)^3(<\color<\lambda>>+3) $. По теореме Крамера при $ <\color<\lambda>>\ne 1 $ и при $ <\color<\lambda>>\ne -3 $ решение системы единственно: $$x_1=x_2=x_3=x_4=1/(<\color<\lambda>>+3) \ .$$
Осталось исследовать критические случаи: $ <\color<\lambda>>=1_<> $ и $ <\color<\lambda>>= -3 $: определитель системы обращается в нуль, но система может оказаться совместной. Придется вычислять ранги, но, к счастью, уже числовых матриц (а не зависящих от параметра, как исходная!). При $ <\color<\lambda>>= 1_<> $ имеем $$ \operatorname \left( \begin1 &1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end \right)= \operatorname \left( \begin1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \end \right)=1 \ , $$ и система совместна. Она эквивалентна единственному уравнению $$x_1+x_2+x_3+x_4=1 \ ,$$ которое имеет бесконечно много решений.
Ответ. Система несовместна при $ <\color<\lambda>> = -3 $; она имеет бесконечное множество решений при $ <\color<\lambda>> = 1_<> $ и единственное решение при $ <\color<\lambda>> \not\in \ <-3,1\>$.
Система однородных уравнений
$$ \left\< \begina_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=0,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=0,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=0 \end \right. $$ всегда совместна: она имеет тривиальное решение $ x_1=0,\dots,x_n=0 $. Для того, чтобы у нее существовало еще и нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы был равен нулю.
Пример. Найти условие, при котором три точки плоскости с координатами $ (x_1,y_1), (x_2,y_2) $ и $ (x_3,y_<3>) $ лежат на одной прямой.
Решение. Будем искать уравнение прямой в виде $ ax+by+c=0 $ при неопределенных коэффициентах $ a,b,c_<> $. Если точки лежат на прямой, то получаем для определения этих коэффициентов систему линейных уравнений: $$ \left\< \beginax_1+by_1+c & =0\\ ax_2+by_2+c & =0\\ ax_3+by_3+c & =0 \end \right. $$ Получившаяся система является однородной, условие существования у нее нетривиального решения (т.е. набора $ (a,b,c)_<> $ при хотя бы одном из чисел отличном от нуля): $$ \left|\beginx_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end \right|=0 . $$ ♦
Доказать, что для совместности системы
$$ \left\< \begina_<11>x_1+a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=& b_1 \\ a_<21>x_1+a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=& b_2 \\ a_<31>x_1+a_<32>x_2+a_<33>x_3 &=& b_3 \\ a_<41>x_1+a_<42>x_2+a_<43>x_3 &=& b_4 \end \right. $$ необходимо, чтобы было выполнено условие $$ \left| \begina_<11>&a_<12>& a_ <13>& b_1 \\ a_<21>&a_<22>& a_ <23>& b_2 \\ a_<31>&a_<32>& a_ <33>& b_3 \\ a_<41>&a_<42>& a_ <43>& b_4 \end \right|=0 \quad . $$ Является ли это условие достаточным для совместности?
An elementary treatise on determinants
в следующей формулировке.
Теорема.Для того чтобы система $ n_<> $ неоднородных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы порядок наибольшего отличного от нуля минора был одинаков в расширенной и нерасширенной матрице системы.
Додсон — один из самых знаменитых математиков мира. Назовите его псевдоним.
Ответ ☞ ЗДЕСЬ
Общее решение
Пусть выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: $ \operatorname (A)=\operatorname[A\mid \mathcal B ] =\mathfrak $. По определению ранга матрицы, в матрице $ A $ существует минор порядка $ \mathfrak $, отличный от нуля; этот же минор останется и минором расширенной матрицы $ [ A\mid \mathcal B ] $. Пусть, для определенности, ненулевой минор находится в левом верхнем углу матрицы 4) : $$ \Delta = A\left( \begin1 & 2 & \dots & \mathfrak \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak \end \right) = \left| \begina_ <11>& a_ <12>& \dots & a_<1\mathfrak> \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_<2\mathfrak> \\ \dots &&& \dots \\ a_<\mathfrak1> & a_<\mathfrak2> & \dots & a_ <\mathfrak\mathfrak> \end \right| \ne 0 \ . $$ Тогда первые $ \mathfrak $ строк матрицы $ A $ линейно независимы, а остальные будут линейно выражаться через них. Это же утверждение будет справедливо и для строк матрицы $ [A\mid \mathcal B] $. Умножая первые $ \mathfrak $ уравнений системы на соответствующие числа и складывая их, получим любое оставшееся уравнение. Таким образом, система уравнений может быть заменена эквивалентной ей системой из первых $ \mathfrak $ уравнений: $$ \left\< \begina_<11>x_1+\dots+a_<1\mathfrak>x_<\mathfrak>&+a_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+ \dots +a_<1n>x_n&=&b_1, \\ \dots & & & \dots \\ a_<\mathfrak1>x_1+\dots+a_<\mathfrak\mathfrak>x_<\mathfrak>& +a_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<\mathfrakn>x_n&=&b_\mathfrak \end \right. \quad \iff \quad A^ <\prime>X=<\mathcal B>^ <\prime>$$ Если $ \mathfrak=n $, то матрица $ A^ <\prime>$ квадратная. По предположению $ \det A^ <\prime>\ne 0 $. По теореме Крамера решение такой системы единственно.
Пусть теперь $ \mathfrak произвольных фиксированных значениях $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_n $: $$ x_j=\frac< \left| \begina_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>&\left[ b_1-(a_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<1n>x_n) \right] &a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & \left[ b_<\mathfrak>- (a_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<\mathfrakn>x_n) \right] &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right| > <\Delta>$$ $$ \mbox <при>\ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> . $$ Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений. Используя свойство линейности определителя по столбцу (см. свойство 5 ☞ ЗДЕСЬ ), формулы можно переписать в виде $$ x_j=\beta_j + \gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \ <1,\dots, \mathfrak\> \ . $$ Здесь $$ \beta_j =\frac<1> <\Delta>\left| \begina_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>& b_1 &a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \vdots &&&\vdots&&& \vdots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & b_<\mathfrak> &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right|\, , $$ $$ \gamma_ = -\frac<1> <\Delta>\left| \begina_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>& a_ <1k>&a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \vdots &&&\vdots&&& \vdots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & a_<\mathfrakk> &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right| \ . $$ Эти формулы называются общим решением системы $ A X=\mathcal B $. Участвующие в них переменные $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_n $ называются основными (или свободными), а $ x_1,\dots,x_<\mathfrak> $ — зависимыми. Решение, получающееся из общего решения фиксированием значений основных переменных, называется частным решением системы уравнений.
Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы уравнений:
Решение проведем двумя способами, соответствующими двум способам вычисления ранга матрицы. Вычисляем сначала ранг матрицы $ A $ по методу окаймляющих миноров: $$ |2| \ne 0,\quad \left| \begin2 & 1 \\ 6 & 2 \end \right| \ne 0, \quad \left| \begin2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|=2 \ne 0 \ , $$ а все миноры, окаймляющие последний, равны нулю. Итак, $ \operatorname (A) =3 $. Для нахождения ранга расширенной матрицы $ [A\mid \mathcal B] $ достаточно проверить окаймление найденного ненулевого минора третьего порядка с помощью элементов взятых из столбца правых частей. Имеется всего один такой минор, и он равен нулю. Следовательно $ \operatorname[ A\mid \mathcal B ] =3 $, система совместна, и имеет бесконечное множество решений.
Ненулевой минор третьего порядка (базисный минор) находится в первой, второй и четвертых строках, что означает линейную независимость соответствующих уравнений. Третье уравнение линейно зависит от остальных, и может быть отброшено. Далее, указанный базисный минор образован коэффициентами при $ x_1,x_3 $ и $ x_4 $. Следовательно оставшиеся уравнения могут быть разрешены относительно этих переменных, т.е. они — зависимые, а $ x_2 $ и $ x_5 $ — основные. Использование формулы дает общее решение $$ \beginx_1&=&\frac<\left| \begin2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin-1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin3 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>=-\frac<1><2>+\frac<1><2>x_2+\frac<1><2>x_5, \\ & & \\ x_3&=&\frac<\left| \begin2 & 2 & 2 \\ 6 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin2 & -1 & 2 \\ 6 & -3 & 4 \\ 4 & -2 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin2 & 3 & 2 \\ 6 & 5 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \end \right|><\displaystyle 2>=3-4x_5, \\ & & \\ x_4 &=&\frac<\left| \begin2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin2 & 1 & -1 \\ 6 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin2 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 2 \end \right|> <\displaystyle 2>= 0. \end $$ Решим теперь ту же задачу, воспользовавшись методом Гаусса исключения переменных в системе линейных уравнений: $$ \left\< \begin2x_1&-x_2&+x_3&+2x_4&+3x_5&=&2, \\ &&x_3&+2x_4&+4x_5&=&3, \\ &&&x_4&&=&0 \end \right. $$ Используя обратный ход метода Гаусса, снова приходим к полученным формулам.
Ответ. Общее решение системы: $ x_1=1/2 (x_2+x_5-1),\ x_3=3-4\,x_5,\ x_4=0 $.
Проанализируем теперь полученные общие формулы для общего решения. В этих формулах $ \beta_j $ представляет решение системы, получаемое при $ x_<\mathfrak+1>=0,\dots,x_n=0 $. Величины же коэффициентов $ \gamma_ $ вовсе не зависят от правых частей системы и будут одинаковыми при любых значениях $ b_1,\dots,b_m $. В частности, если $ b_1=0,\dots,b_m=0 $, то в формулах величины $ \beta_j $ обращаются в нуль и эти формулы превращаются в $$ x_j=\gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> \ . $$
Вывод. Формула общего решения системы $ A X=\mathcal B $: $$ x_j=\beta_j + \gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \ <1,\dots, \mathfrak\> $$ состоит из двух частей: слагаемые, не содержащие свободных переменных, определяют частное решение неоднородной системы: $$ x_1= \beta_1,\dots, x_<\mathfrak>= \beta_<\mathfrak>,x_<\mathfrak+1>=0,\dots,x_n=0 \ ; $$ оставшиеся после их отбрасывания формулы задают общее решение системы $ AX=\mathbb O $. Этот результат обобщается в следующей теореме.
Теорема.Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.
Доказательство тривиально если система $ A X=\mathcal B $ имеет единственное решение. Если же решений бесконечно много, то выбрав какое-то одно частное $ X=X_1 $ мы получаем, что любое другое частное решение $ X=X_2 $ должно быть связано с первым соотношением $$ A(X_2-X_1)=\mathbb O , $$ т.е. разность частных решений неоднородной системы обязательно является решением однородной системы уравнений $ AX=\mathbb O $. ♦
Теперь посмотрим как можно описать общее решение однородной системы.
Система однородных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю: $$ \left\< \begina_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=0,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=0,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=0. \end \right. $$ или, в матричном виде: $$ A_X=<\mathbb O>_ $$
Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрица $ A_<> $ системы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие $ \det (A_<>) = 0 $ является и достаточным для существования нетривиального решения.
Теорема 1.Для того, чтобы система однородных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $ \det (A_<>) = 0 $.
Для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_<> $ имеет место следующий общий результат.
Теорема 2.Если $ \operatorname (A)=\mathfrak r 5) $ A_^<> $.
Теорема 3.Множество решений системы однородных уравнений образует линейное подпространство пространства $ \mathbb A^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-\mathfrak r $, а фундаментальная система решений образует его базис.
Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и
$$ \operatorname (A) =n_<>-1 \, .$$ Доказать, что если ненулевой минор матрицы порядка $ n_<>-1 $ соответствует какому-нибудь элементу $ j_<> $-й строки, то система алгебраических дополнений к элементам $ a_,\dots,a_^<> $ этой строки составляет ФСР для $ AX=\mathbb O_<> $. Например, для системы $$ \left\< \begina_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3&=0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3&=0 \end \right. $$ ФСР состоит из решения $$ x_1=\left| \begina_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| , \ x_2=-\left| \begina_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right| , \ x_3=\left| \begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \ , $$ если только хотя бы один из миноров отличен от нуля.
Теперь обсудим способы нахождения ФСР.
1. Первый из них получается из общего метода решения системы линейных уравнений, рассмотренного в предыдущем пункте. Так же, как и в том пункте, сделаем упрощающее обозначения предположение, что зависимыми переменными являются первые $ x_<1>,\dots,x_ <\mathfrak r>$, т.е. общее решение задается формулами $$ x_j=\gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> \ . $$ Иными словами, вектор столбец $$ X=\left(\begin\gamma_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<1n>x_n \\ \gamma_<2,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<2n>x_n \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<\mathfrakn>x_n \\ x_<\mathfrak+1> \\ x_<\mathfrak+2> \\ \vdots \\ x_ \end\right) $$ будет решением однородной системы при любых наборах значений основных переменных $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_ $. Представим этот вектор в виде суммы векторов: $$ =x_<\mathfrak+1> \underbrace< \left(\begin\gamma_<1,\mathfrak+1> \\ \gamma_<2,\mathfrak+1> \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+1> \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end\right)>_ + x_<\mathfrak+2> \underbrace<\left(\begin\gamma_<1,\mathfrak+2> \\ \gamma_<2,\mathfrak+2> \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+2> \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end\right)>_+\dots+ x_ \underbrace<\left(\begin\gamma_ <1n>\\ \gamma_ <2n>\\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrakn> \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end\right)>_> \ . $$ Таким образом, любое решение однородной системы представимо в виде линейной комбинации $ n_<>— \mathfrak r $ фиксированных решений. Именно эти решения и можно взять в качестве ФСР — их линейная независимость очевидна (единицы в нижних частях каждого вектора $ X_ $ расположены на разных местах, и ни какая линейная комбинация столбцов $ \ < X_1,\dots,X_\> $ не сможет обратить их одновременно в нуль).
Оформим этот способ построения ФСР в теорему:
Теорема 4.Если система уравнений $ AX=\mathbb O $ имеет структуру матрицы $ A_<> $ вида:
$$ A = \left[ E_ <\mathfrak r>\mid P_ <\mathfrak r \times (n-\mathfrak r)>\right] \ , $$ то ееФСРсостоит из столбцов матрицы $$ \left[ \begin— P^ <\top>\\ \hline E_ \end \right] \ . $$
Пример. Найти ФСР для системы уравнений
Решение. Приводим систему к трапециевидному виду: $$ \left\< \beginx_1-&x_2+&x_3-&x_4=&0, \\ &&x_3+&4x_4=&0 \end \right. $$ В качестве зависимых переменных можно взять, например, $ x_ <1>$ и $ x_ <3>$. $$ \beginx_1 & x_3 & x_2 & x_4 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 1 \end $$
3. Еще один способ построения ФСР основан на теореме Гамильтона-Кэли.
Теорема.Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и $ \operatorname (A) = <\mathfrak r>$. Тогда характеристический полином матрицы $ A_<> $ имеет вид:
Блок-схемы зависимости множества решений системы уравнений $ AX= \mathcal B $ от комбинации чисел $ n, \mathfrak r $ ☞ ЗДЕСЬ.
Геометрическая интерпретация
Геометрический смысл введенных определений поясним на примере $ \mathbb R^ <3>$. Уравнение $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b $$ — при фиксированных вещественных коэффициентах $ a_1,a_2,a_3 $ (хотя бы один из них считаем отличным от нуля) и $ b_<> $ — задает плоскость. Если, к примеру, $ a_1\ne 0 $, то из уравнения получаем выражение для $ x_ <1>$ как функции $ x_2,x_3 $: $$ x_1=\frac-\fracx_2-\fracx_3 \ . $$ В этом представлении переменные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$ могут принимать любые вещественные значения независимо друг от друга, а вот переменная $ x_ <1>$ полностью определяется заданием $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$. С одной стороны, последняя формула определяет общее решения системы линейных уравнений (которая в нашем частном случае состоит из одного-единственного уравнения); переменные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$ выбраны основными, а $ x_ <1>$ оказывается зависимой. Строго говоря, координаты любой точки плоскости можно представить формулами $$x_1=\frac-\fract-\fracu,\ x_2=t,\ x_3=u \quad npu \quad \\subset \mathbb R \ , $$ которые называются параметрическим представлением плоскости. Таким образом, получили геометрическую интерпретацию общего решения системы уравнений. Идем далее: представим последние формулы в векторной форме: $$ \left( \beginx_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)= \left( \beginb/a_1- t\, a_2/a_1- u\, a_3/a_1 \\ t \\ u \end \right)= \left( \beginb/a_1\\ 0 \\ 0 \end \right)+ t \left( \begin-a_2/a_1\\ 1 \\ 0 \end \right) + u \left( \begin-a_3/a_1\\ 0 \\ 1 \end \right) \ . $$ Какой геометрический смысл имеет каждое из слагаемых? Первое слагаемое $$ X_0=\left( \beginb/a_1\\ 0 \\ 0 \end \right) $$ получается при задании $ t=0,u=0_<> $ в общем решении. Это — частное решение нашего уравнения и определяет точку, через которую проходит плоскость. Два оставшихся столбца $$ X_1=\left( \begin-a_2/a_1\\ 1 \\ 0 \end \right) \quad u \quad X_2=\left( \begin-a_3/a_1\\ 0 \\ 1 \end \right) $$ не задают решения нашего уравнения — если только $ b\ne 0_<> $. Но оба удовлетворяют однородному уравнению $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 , $$ Последнее также определяет плоскость — параллельную исходной и проходящую через начало координат. Первая плоскость получается из второй сдвигом (параллельным переносом) на вектор $ \vec $: и этот факт составляет геометрическую интерпретацию теоремы, сформулированной в конце ☞ ПУНКТА:
Теорема.Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.
Координаты произвольной точки плоскости $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 $ задаются соотношениями $$ \left( \beginx_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)=tX_1+uX_2 \ . $$ Векторы пространства $ \vec $ и $ \vec $ являются базисными векторами плоскости — любой вектор $ \vec $, лежащий в плоскости, через них выражается и они линейно независимы. Но $ X_ <1>$ и $ X_ <2>$ определяют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Таким образом, мы получили геометрическую интерпретацию для ФСР: она задает базисные векторы плоскости, проходящей через начало координат.
Теперь рассмотрим систему из двух уравнений: $$ \left\<\begina_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&b_1,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&b_2. \end\right. $$ Ее можно интерпретировать как пересечение двух плоскостей в $ \mathbb R^ <3>$. Здесь уже возможны варианты: пересечение может оказаться как пустым так и непустым. От чего это зависит? — В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, надо сравнить два числа $$ \operatorname \left( \begina_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\end \right) \quad u \quad \operatorname \left( \begina_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& b_2 \end \right) \ . $$ Очевидно, ни одно из них не может быть большим $ 2_<> $. Если оба равны $ 2_<> $ и этот факт обеспечен, например, условием $$ \left| \begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \ne 0, $$ то решения системы определяют прямую в пространстве. Действительно, при таком условии систему можно разрешить относительно неизвестных $ x_ <1>$ и $ x_ <2>$ и представить общее решение в виде: $$ x_1= \frac<\left|\beginb_1 & a_ <12>\\ b_2 & a_ <22>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>+ \frac<\left|\begina_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>x_3 \ , \quad x_2= \frac<\left|\begina_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>- \frac<\left|\begina_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>x_3 \ . $$ В этих формулах переменная $ x_ <3>$ принимает любое значение, а значения переменных $ x_ <1>$ и $ x_ <2>$ линейно выражаются через $ x_ <3>$. Общее решение фактически задает прямую в параметрическом виде: координаты произвольной ее точки определяются формулами $$ \left( \beginx_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)=X_0+tX_1 \ , $$ где вектор $$ \quad X_0 = \left(\frac<\left|\begina_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|> , \ \frac<\left|\begina_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>,\ 0\right)^ <\top>$$ задает координаты точки, лежащей на прямой (т.е. принадлежащей пересечению плоскостей), а вектор $$ X_1= \left(\frac<\left|\begina_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>,\ — \frac<\left|\begina_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>, \ 1 \right)^ <\top>$$ является направляющим для прямой. С тем же успехом мы могли бы взять в качестве направляющего вектор, получающийся растяжением $ X_ <1>$: $$ \tilde X_1 = \left(\left|\begina_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|,\ — \left|\begina_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|, \ \left|\begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \right)^ <\top>\ . $$ Очевидно, что любой из векторов $ X_ <1>$ или $ \tilde X_1 $ задает фундаментальную систему решений однородной системы уравнений 10) $$ \left\<\begina_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&0. \end\right. $$ Последняя определяет прямую в $ \mathbb R^3 $, проходящую через начало координат. Мы снова получаем интерпретацию теоремы: общее решение неоднородной системы получается сдвигом (параллельным переносом) общего решения однородной системы на вектор $ \vec $.
Мы рассмотрели пока только случай пересекающихся плоскостей в пространстве. Его можно считать общим, т.е. случаем «как правило»: две случайным образом выбранные плоскости в $ \mathbb R^ <3>$ пересекаться будут. Исследуем теперь исключительный случай — параллельности плоскостей. Исключительность этого случая может быть проверена и аналитикой. Для несовместности системы из двух уравнений необходимо, чтобы ранг ее матрицы $$ \left( \begina_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\end \right) $$ оказался меньшим $ 2_<> $. Это равносильно тому, что все миноры второго порядка этой матрицы обращаются в нуль: $$ \left| \begina_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|=0,\ \left| \begina_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| =0,\ \left| \begina_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|=0 \ . $$ Эти условия можно переписать в виде $$ \frac>>=\frac>>=\frac>> \ ; $$ и, если обозначить общую величину последний отношений через $ \tau_<> $, то получаем: $$ (a_<11>,a_<12>,a_<13>)=\tau (a_<21>,a_<22>,a_<23>) . $$ Если вспомнить, что каждый из этих наборов коэффициентов задает вектор $ \vec> $ в $ \mathbb R^ <3>$, перпендикулярный соответствующей плоскости, то, в самом деле, плоскости, определяемые уравнениями, оказываются параллельными. Пересекаться они, как правило, не будут: для пересечения необходимо, чтобы расширенная матрица системы $$ \left( \begina_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& b_2 \end \right) $$ имела ранг меньший $ 2_<> $. Это возможно только при условии когда коэффициенты правых частей удовлетворяют соотношению $$ b_1 = \tau b_2 $$ при величине $ \tau_<> $ определенной выше. При выполнении этого условия второе уравнение получается из первого домножением на $ \tau_<> $ и соответствующие плоскости попросту совпадают.
Перейдем теперь к системе из трех уравнений: $$ \left\< \begina_<11>x_1 +&a_<12>x_2+&a_<13>x_3=&b_1, \\ a_<21>x_1 +&a_<22>x_2+&a_<23>x_3=&b_2, \\ a_<31>x_1 +&a_<32>x_2+&a_<33>x_3=&b_3. \end \right. $$ Вариантов взаимного расположения трех плоскостей в $ \mathbb R^ <3>$ уже значительно больше. Какой из них будет самым распространенным, то есть случаем «как правило»? Геометрически ответ очевиден: если пересечение двух плоскостей определяет, как правило, прямую, то эта прямая пересекается с третьей плоскостью, как правило, в одной-единственной точке. И алгебра подтверждает геометрию: в комментарии к теореме Крамера говорится, что система, число уравнений которой совпадает с числом неизвестных, как правило, имеет единственное решение. Условие для этого случая «как правило» дается той же теоремой Крамера: $$ \left| \begina_ <11>& a_ <12>& a_<13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>\end \right| \ne 0 . $$
Теорема Кронекера-Капелли в этом случае не нужна — нет, она остается справедливой! — но проверка условия на ранги матриц тривиальна: они оба равны $ 3_<> $. Если же указанный определитель обращается в нуль, то этот факт эквивалентен тому, что три строки определителя линейно зависимы. Например, возможно, что строка $ (a_<31>,a_<32>, a_<33>) $ может быть представлена в виде линейной комбинации первых двух строк. Вспомним геометрический смысл этих строк: они задают координаты векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям. Если система уравнений $$ \left\<\begina_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&b_1,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&b_2 \end\right. $$ определяет прямую в $ \mathbb R^ <3>$, то оба вектора $ \vec> $ и $ \vec> $ при $ A^<[1]>= (a_<11>,a_<12>, a_<13>) $ и $ A^<[2]>= (a_<21>,a_<22>, a_<23>) $ перпендикулярны этой прямой; любая их комбинация также перпендикулярна этой прямой, а, следовательно, плоскость $$ a_<31>x_1 +a_<32>x_2+a_<33>x_3 =b_3 $$ будет ей параллельна.
Статья не закончена!
Ортогональность
Геометрические соображения из предыдущего пункта могут быть обобщены на случай когда размерности рассматриваемых пространств увеличиваются, и мы говорим о точках и векторах многомерных пространств. В последующих пунктах нам потребуются понятия линейной оболочки, линейного пространства, размерности, базиса и координат применительно к векторам-столбцам или векторам-строкам. Их можно найти ☞ ЗДЕСЬ.
Задача решения системы линейных уравнений $$ \left\< \begin3x_1&+4x_2&-x_3&=2, \\ x_1&-2x_2&+3x_3&=1 \end \right. $$ может быть рассмотрена с двух точек зрения. С одной стороны, переписав систему в виде $$ x_1\left(\begin3 \\ 1 \end \right)+ x_2\left(\begin4 \\ -2 \end \right)+ x_3\left(\begin-1 \\ 3 \end \right)= \left(\begin2 \\ 1 \end \right) \ , $$ можно говорить о поиске линейной комбинации столбцов $$ \left(\begin3 \\ 1 \end \right),\ \left(\begin4 \\ -2 \end \right),\ \left(\begin-1 \\ 3 \end \right) $$ равной заданному столбцу $$ \left(\begin2 \\ 1 \end \right) \ . $$ В случае произвольной системы, записанной в матричном виде $$ A_X=\mathcal B_ \ $$ совместность системы интерпретировать в смысле принадлежности столбца $ \mathcal B $ линейной оболочке столбцов $ A_<[1]>,\dots,A_ <[n]>$: $$ \mathcal B=x_1 A_<[1]>+\dots+x_nA_ <[n]>\quad \iff \quad \mathcal B \in \mathcal L (A_<[1]>,\dots,A_<[n]>) \ . $$ В случае положительного ответа числа $ x_<1>,\dots,x_n $ интерпретируются как координаты столбца $ \mathcal B $ в системе столбцов 11) $ \,\dots,A_<[n]>\> $.
С другой стороны, к той же задаче решения системы уравнений, в предыдущем ПУНКТЕ мы подошли с другой стороны. Первое из уравнений системы $$ 3\,x_1+4\,x_2-x_3=2 $$ можно интерпретировать так: скалярное произведение векторов $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OX>> $ равно фиксированному числу $ 2_<> $. Здесь вектора рассматриваются в пространстве строк $ \mathbb R_<>^ <3>$; считается, что каждый вектор имеет начало в начале координат $ \mathbf O=[0,0,0] $, а конец — в точке с координатами $ [3,4,-1] $ или, соответственно, $ [x_1,x_2,x_3] $. Если скалярное произведение векторов обозначать скобками $ \langle <> \mbox < >\rangle $, то систему уравнений можно переписать в виде $$ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=2,\ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=1 \quad npu \quad A^ <[1]>= [3,4,-1], A^<[2]>=[1,-2,3] $$ — строках матрицы $ A_<> $. И задачу решения такой системы понимать в смысле: найти координаты всех векторов-строк $ [x_1,x_2,x_3] $ которые обеспечат нам заданные значения скалярных произведений с двумя фиксированными векторами.
Геометрическая интерпретация еще более упрощается если рассмотреть случай однородной системы уравнений. Так, решить систему уравнений $$ \left\< \begin3x_1&+4x_2&-x_3&=0, \\ x_1&-2x_2&+3x_3&=0 \end \right. $$ означает подобрать вектор $ \vec<<\mathbf OX>> $ перпендикулярный (ортогональный) одновременно обоим векторам $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> $. Очевидно, что таких векторов в $ \mathbb R^ <3>$ бесконечно много — найдя хотя бы один такой вектор $ \vec<<\mathbf OX>> $, другие получим его растяжением: $ \alpha \cdot \vec<<\mathbf OX>> $ остается перпендикулярным векторам $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> $ при $ \forall \alpha \in \mathbb R $.
Все эти геометрические соображения обобщаются в произвольное пространство $ \mathbb R_<>^ $ строк или столбцов, состоящих из $ n_<> $ вещественных чисел (компонент). Для этого приходится обобщать понятие скалярного произведения. В общем случае оно вводится аксиоматически (и, более того, в одном и том же множестве может быть определено разными способами, см. ☞ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ). Мы сейчас не будем залезать так глубоко в эту аксиоматику, а просто определим скалярное произведение двух строк $ X=[x_1,x_2,\dots,x_n] $ и $ Y=[y_1,y_2,\dots,y_n] $ формулой $$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ $$ и продекларируем без обоснований, что все привычные нам по случаям $ \mathbb R^ <2>$ и $ \mathbb R^ <3>$ свойства скалярного произведения будут выполнены.
В терминах скалярного произведения, задачу решения системы линейных уравнений можно переформулировать как поиск строки $ X=[x_1,x_2,\dots,x_n] $, ортогональной всем строкам матрицы $ A_<> $: $$ \langle A^<[1]>,X \rangle=0, \langle A^<[2]>,X \rangle=0,\dots, \langle A^<[m]>,X \rangle=0 \ . $$ Множество таких строк образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^ $, это подпространство является ортогональным дополнением линейной оболочки $ \mathcal L ( A^<[1]>, A^<[2]>,\dots, A^ <[m]>) $ в пространстве $ \mathbb R_<>^ $. Это подпространство называется нуль-пространством матрицы или ядром матрицы $ A_<> $ и обозначается 12) $ <\mathcal K>er (A) $. Фундаментальная система решений системы $ AX=\mathbb O $ составляет базис этого подпространства. Для произвольного линейного пространства количество векторов его базиса называется размерностью пространства и обозначается $ \operatorname $. Во введенных обозначениях теорема из ☞ ПУНКТА переформулируется так:
Теорема. $ \operatorname \left( <\mathcal K>er (A) \right)=n- \mathfrak r $, где $ n_<> $ — количество столбцов матрицы $ A_<> $, а $ \mathfrak r=\operatorname (A) $ — ее ранг.
Системы линейных уравнений с примерами решений
Содержание:
Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используют для решения сложных и необходимых задач. Системы уравнений бывают с двумя, тремя и более переменными. В этой главе вы ознакомитесь с простейшими системами двух уравнений с двумя переменными. Основные темы лекции:
уравнения с двумя переменными;
график линейного уравнения;
системы уравнений;
способ подстановки;
способ сложения;
решение задач составлением системы уравнений.
Уравнения с двумя переменными
До сих пор мы рассматривали уравнение с одной переменной. Однако существуют задачи, решение которых приводит к уравнениям с двумя переменными.
Пример:
На 22 руб. купили несколько книжек по 5 руб. и географических карт — по 3 руб. Сколько купили книжек и карт?
Решение:
Пусть купили х книжки у карт. За книжки заплатили 5х руб., а за карты — 3у руб. Всего заплатили 22 руб., то есть, 5х + Зу = 22.
Это уравнение с двумя переменными. Приведём и другие примеры таких уравнений с двумя переменными:
Уравнение вида ах + by = с, где а, b, с — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Если
Примеры линейных уравнений:
два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.
Паре чисел х = -1 и у = 9 удовлетворяет уравнение 5х + Зу -= 22, так как А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку
Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнение с двумя переменными, т. е. обращающая это уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.
Обратите внимание: одно решение состоит из двух чисел, на первом месте записывают значение х, на втором — у. Корнями их не называют.
Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой неременной и, решив полученное уравнение, найти соответствующее значение второй переменной.
Для примера найдем несколько решений уравнения
Если х = 1, то отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, . , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), . Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.
Уравнение также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).
Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.
Для уравнения с двумя переменными остаются справедливыми свойства, сформулированные для уравнений с одной переменной.
Обе части уравнения с двумя переменными можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Любой член такого уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате получается уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение можно преобразовать так: . Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.
Иногда возникает потребность решить уравнение с двумя переменными во множестве целых чисел, то есть определить решения, являющиеся парами целых чисел. Способы решения таких уравнений определил древнегреческий математик Диофант (III в.), поэтому их называют диофантовыми уравнениями. Например, задача о книжках и картах сводится к уравнению где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.
Переменную у из этого уравнения выразим через х:
Будем подставлять в равенство вместо х первые натуральные числа до тех пор, пока не получим целое значение переменной у. Это можно делать устно. Если х = 2, то у = 4. Других натуральных решений уравнение не имеет. Поэтому задача имеет единственное решение: 2 книги и 4 карты.
Пример:
Решение:
а) При любых значениях х и у значения выражения не может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.
б) Значение выражения равно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.
Пример:
Составьте уравнение с двумя переменными, решением которого будет пара чисел (1; -5).
Решение:
Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение удовлетворяет условие задачи.
Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеющих такое же решение (1; -5).
График линейного уравнения с двумя переменными
Рассмотрим уравнение Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3. найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3),
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Из последнего уравнения системы можно однозначно установить значение $ x_ 
На основании предположения , в $ <\mathfrak r>$-м уравнении этой системы имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части, пусть $ a_ <<\mathfrak r><\mathfrak s>>^<[<\mathfrak r>-1]>\ne 0 $ — первый из них. Если $ <\mathfrak s>=n $, то из этого уравнения однозначно определится $ x_ 
Координаты произвольной точки плоскости $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 $ задаются соотношениями $$ \left( \begin
Очевидно, что любой из векторов $ X_ <1>$ или $ \tilde X_1 $ задает фундаментальную систему решений однородной системы уравнений 10) $$ \left\<\begin
два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.
А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку 
отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, . , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), . Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.
также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).
можно преобразовать так: 
. Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.
где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.
не может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.
равно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.
Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение 
удовлетворяет условие задачи.
Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3. найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3),