Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Эллипс.
Эллипс с каноническим уравнением $\frac
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.
Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)
Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<5^2-3^2>=\sqrt<16>=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$
г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac<4><5>;$ г) $D_1: x=-\frac<25><4>$ и $D_2: x=\frac<25><4>.$
2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><2/3>=-\frac<9> <2>$ и $D_2: x=\frac<3><2/3>=\frac<9><2>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac<2><3>.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.
Решение.
Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$
Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac
Таким образом, уравнение эллипса $\frac
Далее найдем координаты фокусов:
$c=\sqrt=\sqrt<16-4>=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$
Отсюда находим $\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$
расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.
Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).
Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<3^2+4^2>=\sqrt<25>=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$
г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\fracx:$
д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac<5><3>;$ г) $y=\pm\frac<4><3>x;$ д ) $D_1: x=-\frac<9><5>$ и $D_2: x=\frac<9><5>.$
2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$
Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\fracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac(x-x_0),$
$$y+3=\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$
$$y+3=-\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><5/3>=-\frac<9> <5>$ и $D_2: x=\frac<3><5/3>=\frac<9><5>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac<5><3>,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$
2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Решение.
Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:
Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:
Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<4><5/4>\Rightarrow x=-\frac<16><5>\Rightarrow 5x+16=0;$
$D_2: x=\frac<4><5/4>\Rightarrow x=\frac<16><5>\Rightarrow 5x-16=0;$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$
расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$
Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac<41><4>;$ $d_1=\frac<41><5>;$ $d_2=\frac<9><5>.$
2.273. Найти точки гиперболы $\frac
Решение.
Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt<9+16>=\sqrt <25>=5.$
Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$
Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$
Чтобы н айти точки гиперболы $\frac
Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$
Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt<24-2,4^2-10\cdot 2,4>=\sqrt<-5,76>$ — нет корней .
Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$
Парабола.
Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.
Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.
Точка $F\left(\frac
<2>, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline
Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.
Примеры.
2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.
Решение.
Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $
$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$
Ответ: $p=3.$
2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$
Решение.
Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:
Ответ: $y^2=-x.$
2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$
Решение.
Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$
Приведем заданное уравнние к такому виду:
Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$
Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$
2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$
Решение.
Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$
Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$
Далее находим фокальный параметр точки:
Ответ: $6.$
2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tg\alpha=\frac<3><4>.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
Решение.
Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$
Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$
Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac<3><4>$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac<3><4>.$
Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$
$0=\frac<3><4>\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac<9><4>.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>.$
Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:
Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac<18^2><12>=\frac<324><12>=27.$
Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$
Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
$y-18=\frac<1><3>(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$
Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac
$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac<1><3>x+9\Rightarrow k_2=\frac<1><3>.$$
Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$
Зная $tg\beta=\frac<1><3>$ и $tg\alpha=k_1=\frac<3><4>$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$
$$tg(2\beta-\alpha)=\frac
Установить что каждое из следующих уравнений определяет окружность
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
Установить какие кривые определяются следующими уравнениями
I. Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями. Построить чертеж.
4х 2 +9у 2 +16х-18у-119=0
Решение. Приведем к каноническому виду данные кривые:
Введем новую систему координат:
Это каноническое уравнение эллипса.
График приведен на рисунке 1.
II. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС.
Решение. ВС будет вектором нормали (т.е. вектором перпендикулярным плоскости), а уравнение имеет вид: a(х-х )+b(у-у )+c(z-z )=0 где a,b,c координаты вектора ВС (в нашем случае это (-4;1;4) ), а х ,у ,z координаты точки через которую походит плоскость, в нашем случае это точка А. Подставляем и получим:
Раскроем скобки и получим:
III. Найти угол между плоскостями.
Решение. Угол между плоскостями находится по формуле:
где А, В и С – направляющие вектора наших плоскостей. В нашем случае
Направляющие вектора будут: (1,2,2) и (2,-1,2). Тогда
Выполните над матрицами указанные действия: 2В-3АС
Решение. Будем выполнять действия по частям, сначала найдем 2В
Теперь найдем К=АС
Вычислим элементы матрицы |К|:
к1,1 = 4 * 1 + 6 * 1 + 5 * 1 = 4 + 6 + 5 = 15
к1,2 = 4 * 4 + 6 * 4 + 5 * 3 = 16 + 24 + 15 = 55
к1,3 = 4 * 3 + 6 * 2 + 5 * 1 = 12 + 12 + 5 = 29
к2,1 = 2 * 1 + 4 * 1 + 1 * 1 = 2 + 4 + 1 = 7
к2,2 = 2 * 4 + 4 * 4 + 1 * 3 = 8 + 16 + 3 = 27
к2,3 = 2 * 3 + 4 * 2 + 1 * 1 = 6 + 8 + 1 = 15
к3,1 = 2 * 1 + 1 * 1 + 0 * 1 = 2 + 1 + 0 = 3
к3,2 = 2 * 4 + 1 * 4 + 0 * 3 = 8 + 4 + 0 = 12
к3,3 = 2 * 3 + 1 * 2 + 0 * 1 = 6 + 2 + 0 = 8
Результирующая матрица |АС|:
II. Решить систему линейных уравнений:
- – по формулам Крамера;
- – матричным способом;
- – методом Гаусса.
По формулах Крамера. Запишем систему в виде:
? = 3 * (-3 * 3-(-1 * 4))-2 * (1 * 3-(-1 * (-5)))+5 * (1 * 4-(-3 * (-5))) = -66 = -66
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
?2 = 3 * (-4 * 3-(-4 * 4))-2 * (-6 * 3-(-4 * (-5)))+5 * (-6 * 4-(-4 * (-5))) = -132
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
Матричным способом. Запишем матрицу в виде:
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.
Кривые 2-го порядка: решения онлайн
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.
Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.
Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.
Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.
Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.
Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.
Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.
Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt $. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.
Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.
Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 – 20 = 0.
Решение.Пример 2
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение
Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 – 9y 2 -64x – 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение
http://reshka.feniks.help/vysshaya-matematika/analiticheskaja-geometrija/ustanovit-chto-kazhdoe-iz-sledujushhih-uravnenij-opredeljaet-jellips-i-najti-koordinaty-ego-centra-s-poluosi-jekscentrisitet-uravnenija-direktris
http://4systems.ru/inf/ustanovit-kakie-krivye-opredeljajutsja/