Установление вида критериев входящих в уравнение подобия

Критерии подобия

Однородными физическими величинами называются величины, имеющие одинаковые размерности и физический смысл, т.е. отличающийся лишь по численной величине (например, координаты точек тела и его линейные размеры).

Одноименными физическими величинами называются величины, имеющие одинаковую размерность, но различный физический смысл. Примером одноименных величин могут служить коэффициент диффузии и кинематическая вязкость.

Безразмерными называются величины, численные значения которых не зависят от выбора системы единиц измерения. Например, отношение двух однородных или двух одноименных величин является безразмерной величиной. Отношение двух однородных величин называется симплексом.

Аксиомы теории размерностей.

а) Численное значение а физической величины А равно отношению этой величины к единице ее измерения [А]:

б) Физическая величина не зависит от выбора ее единицы измерения, т.е. при увеличении единицы измерения в q раз численное значение данной физической величины уменьшается в q раз.

в) Математическое описание какого – либо физического явления, указывающее функциональную зависимость между численными значениями физических величин, не зависит от выбора единиц измерения этих величин. Следовательно, все члены уравнения, описывающего физический процесс, должны иметь одинаковую размерность, так что они могут быть преобразованы к безразмерному виду путем деления обеих частей уравнения на какую – нибудь постоянную величину, имеющую ту же размерность.

π – теорема: всякое соотношение между n размерными величинами, для измерения которых использовано k основных единиц измерения, можно представить в виде отношения между n- k безразмерными комбинациями π₁,…, этих n величин.

Некоторые следствия π – теоремы: а) если n- k = 0, то это значит, что уравнение составлено неверно, так как его нельзя привести к безразмерному виду; б) если .

Два физических процесса называются подобными, если они подчинены одним и тем же физическим законам и все величины , характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ними величин , характеризующих другой процесс, на постоянные числа , которые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин: .

Критериями подобия называются безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса, составленное с помощью π – теоремы. Для установления вида критериев подобия в каждом конкретном случае необходимо с помощью дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности их решения составить список всех размерных величин А_1,…, Аn, характеризующих этот процесс, а затем применить π – теорему к функциональной зависимости , представляющей собой неизвестный интеграл (решение) задачи.

Определяющими критериями подобия называются критерии, которые составлены только из величин, заданных в условиях однозначности, и независимых переменных.

Первая теорема подобия: для двух подобных процессов все критерии подобия попарно равны друг другу, т.е.

Вторая теорема подобия: критерии подобия связаны друг с другом уравнением подобия, которое является безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.

Третья теорема подобия: для того чтобы два процесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их определяющие критерии – попарно равны.

Качественно одинаковыми называются процессы, математические описания которых отличаются только численными значениями содержащихся в них размерных величин.

Теория подобия является научной основой экспериментальных исследований сложных явлений методом моделирования и методом аналогии.

Метод моделирования состоит в воспроизведении и исследовании на модели процессов, качественно одинаковых с процессами, имеющими место в реальных объектах. Результаты эксперимента могут быть распространены на эти объекты, если соблюдены условия, сформулированные в третьей теореме подобия.

Метод аналогии состоит в изучении какого – либо процесса путем экспериментального исследования качественно других физических процессов, дифференциальные уравнения протекания которых и условия однозначности по своей форме совпадают с таковыми для изучаемого процесса. В настоящее время широко применяются экспериментальные методы исследования различных явлений, основанные на аналогии между электрическими, гидродинамическими, тепловыми, механическими и другими явления. Применительно к тепловым процессам метод аналогии страдает существенным недостатком, так как не позволяет учесть зависимость от температуры физических свойств среды (вязкость, теплопроводности, теплоемкости и т.д.).

Основными критериями подобия в гидродинамике являются число Рейнольдса Re, число Фруда Fr, число Струхаля St и число Маха М.

Число Рейнольдса , где υ – характерная для данной задачи скорость жидкости, l – характерный линейный размер, ν – кинематическая вязкость жидкости. Выбор характерной скорости и характерного размера в зависимости от рассматриваемой задачи можно производить по-разному. Например, при течении несжимаемой жидкости в круглой трубе диаметром d величина , а υ – средняя по сечению скорости жидкости где V_сек – секундный объемный расход жидкости); при поперечном обтекании жидкостью круглого цилиндра диаметром d величина , а υ – скорость невозмущенной жидкости, т.е. ее скорость вдали перед цилиндром. Число Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и силами трения в потоке жидкости.

Число Фруда Fr = , где υ – скорость жидкости вдали от обтекаемого ею тела, l – характерный линейный размер тела, g – ускорение силы тяжести. Число Фруда характеризует соотношение между силами инерции и силами тяжести в потоке жидкости. Оно играет важную роль при моделировании процессов, связанных с работой различных гидротехнических сооружений, движением корабля и т.п. При моделировании газовых потоков этот критерий подобия не играет сколько – либо существенной роли, так как ввиду малой плотности газов влиянием силы тяжести обычно можно пренебречь.

Число Струхаля является критерием подобия неустановившихся движений жидкости. Оно равно St = , где υ – характерная скорость, l – характерный линейный размер, а Т – характерный интервал времени (например, для периодических движений Т – период).

Число Маха М = , где υ – скорость жидкости в рассматриваемой точке, с – скорость звука (в жидкости) в той же точке. Число М является мерой влияния сжимаемости жидкости на ее движение. В тех случаях, когда М « 1, жидкость можно считать несжимаемой. Движение сжимаемой называется дозвуковым, если М 1. Число М является основным критерием подобия для установившихся движений сжимаемой жидкости, совершающихся с большими скоростями.

Основными критериями подобия в случае стационарной теплоотдачи при свободной конвекции несжимаемой жидкости являются критерии Нуссельта Nu, Грасгофа Gr и Прандтля Pr, а в случае стационарной теплоотдачи при вынужденной конвекции – критерии Nu, Re и Pr. Часто применяется также критерий Пекле Ре = Re Pr.

Критерий Нуссельта: где α – коэффициент теплоотдачи, l – характерный размер, К – коэффициент теплопроводности жидкости.

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости. Он равен , где ν – кинематическая вязкость жидкости, а – ее коэффициент температуропроводности, η и с – динамическая вязкость и удельная теплоемкость жидкости (для газов с = с_р).

Критерий Грасгофа: , где – термодинамический коэффициент расширяемости жидкости, ν – ее кинематическая вязкость, g – ускорение свободного падения, l – характерный размер, – температурный напор, равный абсолютной величине разности между температурами жидкости и стенки.

Критерий подобия: определение и примеры

Слово «критерий» греческого происхождения, означает признак, являющийся основой для формирования оценки объекта или явления. На протяжении последних лет широко используется как в научной среде, так и в образовании, управлении, экономике, сфере обслуживания, в социологии. Если критерии научности (это определенные условия и требования, обязательные к соблюдению) представлены в абстрагированной форме для всего научного сообщества, то критерии подобия затрагивают только те области науки, которые имеют дело с физическими явлениям и их параметрами: аэродинамикой, теплообменом и массообменом. Для того чтобы разобраться в практической ценности применения критериев, необходимо изучить некоторые понятия из категориального аппарата теории. Стоит отметить, что критерии подобия использовались в технических специальностях задолго до того, как получили свое название. Самым тривиальным критерием подобия можно назвать нахождение процента от целого. Подобную операцию проделывали все без особых проблем и сложностей. А коэффициент полезного действия, который отражает зависимость потребляемой мощности машины и отдаваемой, всегда являлся критерием подобия и от этого не стал восприниматься как нечто туманно-заоблачное.

Основания возникновения теории

Физическое подобие явлений, будь то природа или рукотворный технический мир, применяется человеком в исследованиях по аэродинамике, массо- и теплообмену. В научной среде неплохо зарекомендовал себя метод исследования процессов и механизмов при помощи моделирования. Естественно, что при планировании и проведении эксперимента опорой является энергодинамическая система величин и понятий (ЭСВП). Следует сделать оговорку, что система величин и система единиц (СИ) не равнозначны. На практике ЭСВП существует в окружающем мире объективно, и исследования лишь выявляют их, поэтому основные величины (или критерии физического подобия) не обязаны совпадать с основными единицами. А вот основные единицы (систематизированные в СИ), отвечая требованиям практики, утверждаются (условно) при помощи международных конференций.

Понятийный аппарат подобий

Теория подобия — понятия и правила, целью которых является определение подобия процессов и явлений и обеспечение возможности переноса исследуемых явлений с опытного образца на реальный объект. Основу терминологического словаря составляют такие понятия, как однородные, одноименные и безразмерные величины, константа подобия. Для облегчения понимания сути теории следует рассмотреть значение перечисленных терминов.

• Однородные — величины, которые имеют равные физический смысл и размерность (выражение, показывающее, каким образом единица измерения данной величины составляется из единиц основных величин; скорость имеет размерность длины, разделённой на время).
• Одноименные — процессы, которые различаются по значению, но имеют одинаковую размерность (индукция и взаимоиндукция).
• Безразмерные — величины, в размерность которых основные физические величины входят в степени, равной нулю.

Константа — безразмерная величина, в которой базовой является величина с фиксированным размером (например, элементарный электрический заряд). Она позволяет произвести переход от модели к натуральной системе.

Основные виды подобия

Подобными могут быть любые физические величины. Принято выделять четыре вида:

• геометрическое (наблюдается при равенстве отношений сходных линейных размеров образца и модели);
• временное (наблюдается на сходных частицах подобных систем, двигающихся по подобным путям за определенный промежуток времени);
• физических величин (можно наблюдать на двух сходных точках модели и образца, для которых соотношение физических величин будет постоянным);
• начальных и граничных условий (можно наблюдать при соблюдении трех предыдущих подобий).

Инвариант подобия (обычно обозначается idem в расчетах и обозначает инвариантно или «такой же») – это выражение величин в относительных единицах (т. е. отношение сходных величин в рамках одной системы).

В том случае, если инвариант содержит отношения однородных величин, его называют симплексом, а если разнородных величин, то критерием подобия (им присущи все свойства инвариантов).

Законы и правила теории подобия

В науке все процессы регулируются при помощи аксиом и теорем. Аксиоматическая составляющая теории включает три правила:

• значение h величины H такое же, как отношение величины к единице ее измерения [H];
• физическая величина независима от выбора единицы ее измерения;
• математическое описание явления не подчиняется конкретному выбору единиц измерения.

Основные постулаты

При помощи теорем описаны следующие правила теории:

• Теорема Ньютон-Бертрана: для всех подобных процессов все исследуемые критерии подобия попарно равны друг другу (π₁*=π₁**; π₂*=π₂** и т. д.). Отношение критериев двух систем (модели и образца) всегда равно 1.
• Теорема Бэкингема-Федермана: критерии подобия связаны при помощи уравнения подобия, которое представляется безразмерным решением (интегралом) и называется критериальным уравнением.
• Теорема Киринчен-Гухмана: для подобия двух процессов необходимы качественная их равнозначность и попарная равнозначность определяющих критериев подобия.
• Теорема π (иногда именуется Бэкингема или Ваши): взаимосвязь между h величинами, которые измеряются при помощи m единиц измерения, представляется в виде отношения h – m безразмерными сочетаниями π₁,…, π_h-m этих h величин.

Критерий подобия – это комплексы, объединенные при помощи π–теоремы. Вид критерия можно установить при помощи составления списка величин (A₁,…, A_n) описывающих процесс, и применить рассматриваемую теорему к зависимости F(a₁,…,a_n)=0, являющейся решением задачи.

Критерии подобия и методы исследования

Бытует мнение, что наиболее точно описывающее название теории подобия должно звучать как метод обобщенных переменных, поскольку она является одним из способов обобщения в науке и экспериментальных исследованиях. Основными сферами влияния теории являются методы моделирования и аналогии. Использование основных критериев подобия как частной теории существовало задолго до введения этого термина (ранее назывались коэффициентами или степенями). В качестве примера можно привести тригонометрические функции всех углов подобных треугольников – они безразмерны. Они представляют пример геометрического подобия. В математике самым известным критерием является число Пи (отношение размеров окружности и диаметра круга). На сегодняшний день теория подобия является широко распространенным орудием научных исследований, которое качественно преобразовывается.

Физические явления, изучаемые посредством теории подобия

В современном мире трудно представить изучение процессов гидродинамики, теплообмена, массообмена, аэродинамики в обход теории подобий. Критерии выводятся для любых явлений. Главное, что между их переменными существовала зависимость. Физический смысл критериев подобия отражается в записи (формуле) и предшествующих ей вычислениях. Обычно критерии, как и некоторые законы, называются в честь знаменитых ученых.

Изучение теплообмена

Критерии теплового подобия состоят из величин, которые способны описать процесс теплоотдачи и теплообмена. Наиболее известных критериев четыре:

В формуле представлены следующие величины:

• с – скорость носителя тепла;
• l – геометрический параметр (размер);
• v – коэффициент кинематической вязкости

При помощи критерия установлена зависимость сил инерции и вязкости.

В него входят такие составляющие:

• α – является коэффициентом теплоотдачи;
• l – геометрический параметр (размер);
• λ – является коэффициентом теплопроводности.

Данный критерий описывает зависимость между интенсивностью теплоотдачи и проводимостью теплоносителя.

• Критерий Прандтля (Pr)

В формуле представлены следующие величины:

• v – является коэффициентом кинематической вязкости;
• α – является коэффициентом температуропроводности.

Данный критерий описывает соотношение температурных и скоростных полей в потоке.

Формула составлена при помощи таких переменных:

• g – обозначает ускорение земного притяжения;
• β – является коэффициентом объемного расширения теплоносителя;
• ∆T – обозначает разность температур между теплоносителем и проводником.

Данный критерий описывает соотношение двух сил молекулярного трения и подъемной силы (происходит благодаря разной плотности жидкости).

Критериями подобия теплообмена при свободной конвенции обычно называются критерии Нуссельта, Грасгофа и Прандтля, а при вынужденной конвенции – Пекле, Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля.

Изучение гидродинамики

Критерии гидродинамического подобия представлены следующими примерами.

В формуле представлены следующие величины:

• υ – обозначает скорость вещества на расстоянии от обтекаемого ею предмета;
• l – описывает геометрические (линейные) параметры предмета;
• g – обозначает ускорение силы тяжести.

Данный критерий описывает соотношение сил инерции и тяжести в потоке вещества.

• Критерий подобия Струхаля (St).

Формула содержит такие переменные:

• υ – обозначает скорость;
• l – обозначает геометрические (линейные) параметры;
• Т – обозначает интервал времени.

Данный критерий описывает неустановившиеся движения вещества.

В формуле представлены следующие величины:

• υ – обозначает скорость вещества в конкретной точке;
• с – обозначает скорость звука (в жидкости) в конкретной точке.

Данный критерий гидродинамического подобия описывает зависимость движения вещества от его сжимаемости.

Кратко об остальных критериях

Перечислены наиболее встречающиеся критерии физического подобия. Не менее важными являются такие как:

• Вебера (We) – описывает зависимость сил поверхностного натяжения.
• Архимеда (Ar) – описывает зависимость подъемных сил и инерции.
• Фурье (Fo) – описывает зависимость скорости изменения температурного поля, физических свойств и размеров тела.
• Померанцева (Po) – описывает соотношения интенсивности внутренних источников теплоты и температурного поля.
• Пекле (Pe) – описывает соотношения конвективного и молекулярного переносов теплоты в потоке.
• Гидродинамической гомохронности (Ho) – описывает зависимость переносного (конвективного) ускорения и ускорения в данной точке.
• Эйлера (Eu) — описывает зависимость сил давления и инерции в потоке.
• Галилея (Ga) – описывает соотношение сил вязкости и тяжести в потоке.

Заключение

Критерии подобия могут состоять из определенных величин, но могут выводиться и из других критериев. И такая комбинация также будет являться критерием. Из приведенных примеров видно, что принцип подобия является незаменимым в гидродинамике, геометрии, механике, существенно упрощая в некоторых случаях процесс исследования. Достижения современной науки стали возможными во многом благодаря возможности моделировать сложные процессы с большой точностью. Благодаря теории подобия, было сделано не одно научное открытие, отмеченное затем Нобелевской премией.

Критерии подобия

Пусть х_1А, х_2А, …, х_nА— переменные, значения которых непрерывно изменяются в пределах системы А, а х_1В, х_2В, …, х_nВ — те же переменные для системы В. Заметим, что переменные х_iА или х_jB являются размерными.

Известно, что никакие реальные закономерности, существующие в природе, не могут зависеть от выбора системы единиц измерения. Поэтому всякая реальная закономерность может быть предста­влена в виде зависимости между безразмерными величинами- критериями подобия.

При установлении подобия систем рассматриваются критерии подобия:

Различают два вида критериев подобия — симплексы и ком­плексы:

· Симплекс — отношение двух каких-либо параметров одной и той же физической природы. Например, отно­шение двух линейных размеров (длины к диаметру) — L/D. Или, при моделировании двухфазной системы (шлак- металл) примером критерия- симплекса может служить отношение поверхностного натяжения шлака, к поверхностному натяжению металла- S_шл / S_ме

· Комплекс — отношение более чем двух параметров. Примеры — комплексов:

1. Критерий Фурье , где — некоторое время, характеризующее скорость изменения внешней обстановки, с; а— коэффициент температуропроводности, м 2 /с; l — характерный размер, заданный по условию, м (для плиты l равно половине ее толщины, для цилиндра — его радиусу). Число Фурье имеет смысл обобщенного времени.

2. Критерий Био где — коэффициент теплообмена (теплоотдачи), Вт/(м 2 _*К); l — характерный линейный размер, м; — коэффициент теплопроводности, Вт/(м_*K). Физический смысл критерия Bi состоит в том, что его можно считать показателем массивности тела. Если Bi = 0,50 тело является массивным; если 0,25 2 /с. Критерий Рейнольдса рассматривают как показатель ре­жима течения жидкости или газа. Если рассма­тривать относительное движение частички, диаметр которой ра­вен l, в жидкости или газе, то при Re > 500 — турбулентным.

Пусть Z _j (x₁, х₂, . . ., х_n) — закономерность, интересующая исследователя. От Z _j перейдем к безразмерной величине Z * _j = Z _j / Z₀ (здесь Z₀ — масштаб модели). Каким-то способом установим зависимость

Случаи подобия систем:

· Согласно физической теории подобия система В будет по­добна системе А в том случае, когда будут одинаковы значения Z * _j у двух систем при одинаковых критериях подобия П₁, П₂, . П_k. Равенство критерия подобия для модели и исходной системы обозначают знаком idem «одно — и то же». Например, если выполняется соотношение F₀ = idem , то протекание процесса в системе В гомохронно его протеканию в системе А. Если же для систем В и A величина а/l 2 имеет одно и то же значение, то для них, очевидно, гомохронность переходит в синхронность.

· В случае, когда не осуществляется переход к безразмерным критериям подобия, подобие двух систем определяется следующим образом — системы A и B называют подобными, если в любые сходственные моменты вре­мени значения соответствующих выходных переменных, для этих систем пропорциональны друг другу. Очевидно, что при этом значения соответствующих входных переменных x_i не обязаны совпадать.

Требования теории физического подобия об аналогии между моделью и образцом:

1) модель должна быть геометрически подобна образцу;

2) явления в модели и образце должны принадлежать к одному и тому же классу, т. е. описываться одной системой диф­ференциальных уравнений;

3) начальные и краевые условия в модели должны быть реали­зованы таким образом, чтобы безразмерные начальные и краевые условия модели тождественно совпадали с такими же условиями образца;

4) одноименные безразмерные параметры (критерии подобия), входящие в систему дифференциальных уравнений, описывающую моделируемые явления, в модели и в образце должны быть соответ­ственно равны.