Устные упражнения показательные уравнения и неравенства

Система устных работ по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Активная умственная деятельность учащихся при получении новых знаний, их закреплении и трансформации в новые области не возможна без устных упражнений.

При работе с устными упражнениями рассматриваются вопросы, позволяющие направить мысль учеников в нужное русло, сделать их активными участниками в открытии новых связей и закономерностей, в овладении новыми алгоритмами, в усвоении новых понятий и свойств. При работе с устными упражнениями учитель получает потенциальные возможности для повышения учебной активности учащихся.

Методика организации и проведения ЕГЭ свидетельствует о том, что роль устных упражнений, способствующих быстрой ориентации в поисках правильного ответа на поставленный вопрос, неоценима. Значит, возникает проблема подготовки учащихся к ЕГЭ совершенствованием методики проведения устных упражнений в процессе усвоения и закрепления материала.

С помощью устных упражнений появляется возможность устанавливать контакт со многими учащимися, получать непрерывную информацию о качестве усвоения ими учебного материала и принимать на этой основе необходимые решения по руководству учебным процессом.

Устным упражнениям уделяли внимание и раньше. В частности, вопросы составления и использования упражнений при обучении математике рассматриваются в работах Я.И. Груденова, Ю.М. Колягина, Е.И. Лященко, Ю.Н. Макарычева, К.С. Муравина, Г.И. Саранцева, С.Б. Суворовой и другие. Работы этих и других авторов, касающихся общих принципов построения системы упражнений, как устных, так и письменных, посвящены преимущественно вопросам о роли упражнений в формировании понятий, обучении математическому языку, расширении фонда знаний и умений учащихся, особенности фронтальной и самостоятельной работы с упражнениями. При этом в современной методике нет исследований, предметом которых является организация системы устных работ по математике, хотя педагогами, психологами и методистами доказано, что для эффективности достижения целей образования необходимо использовать в учебном процессе систему упражнений с научно обоснованной структурой.

Обучение через решение систем устных задач является одним из основных средств повышения качества знаний учащихся, поэтому системы устных задач должны стать главным инструментом учителя при организации образовательного процесса с целью его совершенствования.

Анализ задачного материала показал, что подавляющее большинство упражнений – шаблонные упражнения тренировочного характера. К этому можно добавить, что даже эти шаблонные задачи не приведены, как правило, в определенную методическую систему.

С целью усвоения основных методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств мною была сконструирована система устных упражнений, в которой были использованы следующие формы: «Математическая зарядка», «Равный счет», «Не зевай», «Лучший счетчик», «Графический диктант», «Математический диктант», «Домино», «Математическое лото» и др. Данная система устных упражнений была построена с учетом методических требований. При построении были учтены такие правила, как: правило доступности, правило разнообразия, правило противопоставления, правило учета целей, правило полноты. И с учетом следующих правил происходило упорядочение упражнений: правило усложнения, правило структурности.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Система устных работ по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ СИСТЕМА УСТНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.doc

Ивашура Татьяна Владимировна, учитель математики, информатики и физики МКОУ «Манойлинская СОШ»

СИСТЕМА УСТНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ

«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

Разработка системы устных работ по теме

Характеристика учебного материала: на данную тему отводится 2 часа. На первом уроке дается определение показательного уравнения, и рассматриваются два способа их решения: функционально – графический и метод уравнивания показателей. А на втором уроке рассматриваются еще два способа решения показательных уравнений: метод введения новой переменной и метод разложения на множители [21].

Цели к первому уроку могут быть следующими:

сформулировать понятие «показательное » уравнение;

формирование навыков решения показательных уравнений функционально – графическим методом и методом уравнивания показателей.

Цели ко второму уроку:

формирование навыков решения показательных уравнений методами введения новой переменной и разложения на множители;

формирование умения определять способ решения;

формирование умения работать с переменными.

Система устных упражнений к первому уроку

Актуализация опорных знаний и умений

На данном этапе можно предложить учащимся выполнить следующую систему устных упражнений (задания заранее написаны на доске):

Возведите в степень:

;

;

;

;

;

.

Представьте в виде степени числа:

Примените свойства степеней:

;

;

;

;

.

;

;

;

.

Следует обратить внимание учащихся на 4 задание. Выполнение этого упражнения позволяет ввести понятие показательного уравнения и выделить характеристическое свойство уравнений данного вида – неизвестное содержится в показателе степени.

Формирование новых знаний и умений

Предлагаем учащимся упражнения на распознавание показательных уравнений, в процессе выполнения которых они овладеют действием подведения объекта под понятие.

Среди уравнений выбрать показательные:

;

;

;

;

;

;

;

.

Данное упражнение может быть проведено в форме «Математическая зарядка»: каждое уравнение записано на отдельной карточке. Учитель поочередно показывает классу карточки, а ученики делают определенное движение. Например, если уравнение является показательным – ребята поднимают руки вверх, не является – руки на парте.

«Равный счет». Учитель записывает на доске уравнение

. Ученики должны сначала устно его решить, а затем придумать свои показательные уравнения с тем же корнем. Их примеры на доске не записываются. Ребята должны на слух определить, верно ли составлено уравнение.

Применение знаний и умений

На этом этапе можно предложить учащимся устные упражнения на решение показательных уравнений. Данное задание может быть организовано следующим образом:

«Не зевай». Ученики каждого ряда получают по карточке. У первого ученика задание написано полностью, а у всех остальных есть пропуски. Что скрывается за многоточием, ученик узнает тогда, когда его товарищ, сидящий впереди, сообщит ему ответ своего задания. Этот ответ и будет недостающим числом.

Задание для первого ряда

Задание для второго ряда

Задание для третьего ряда

В таким образом организованном упражнении все должны быть предельно внимательны, поскольку ошибка одного участника зачеркнет работу всех остальных. Подобное задание способствует не только закреплению изученного материала и совершенствованию вычислительных навыков, но и развитию внимательности.

На дом, кроме письменных упражнений, можно также предложить учащимся придумать по 3-4 показательных уравнения для устного счета на следующем уроке.

Система устных упражнений ко второму уроку

Актуализация опорных знаний и умений

На предыдущем уроке в качестве домашнего задания учащимся предлагалось придумать по 3- 4 показательных уравнения для устного решения. Вот с этого упражнения и стоит начать актуализацию. Организация выполнения упражнения может быть следующей:

«Лучший счетчик». Класс делится на 3 команды (можно по рядам). В каждой команде выбирается свой «счетчик», который будет защищать честь своей команды. Уравнения для устного решения предлагают счетчику члены других команд до тех пор, пока он не собьется. Затем его сменяет другой ученик из той же команды, и игра продолжается. Число «счетчиков» определяется по договоренности. Побеждает та команда, в которой наименьшее число «счетчиков», решивших наибольшее количество уравнений.

Данная игра служит своеобразной разминкой для дальнейшей работы.

Так как на данном уроке будут рассмотрены метод введения новой переменной и метод разложения на множители, то целесообразно предложить ребятам следующие упражнения:

Разложите на множители:

;

;

;

;

;

;

.

Составьте квадратное уравнение, если известно, что

Найдите корни, используя теорему Виета и следствия из нее:

;

;

;

.

Сгруппировать показательные уравнения по способам решения:

;

;

;

;

;

.

При выполнении данного упражнения у ребят возникнут трудности, к какой категории отнести уравнения под буквами b и c . Таким образом, будет создана проблемная ситуация: а какими же методами решаются данные уравнения.

Формирование новых знаний и умений

Для начала можно предложить учащимся следующее упражнение:

Найдите ошибку в решении уравнения:

Пусть , тогда . Откуда Так как , то . Проверка показала, что — посторонний корень. Ответ: корней нет.

Восстановите ход решения уравнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Применение знаний и умений

На этом этапе можно предложить учащимся устные упражнения на решение показательных уравнений. Данное задание может быть организовано в форме «Устной цепочки»:

Устно решите следующие уравнения и с помощью ключа составьте слово.

;

;

;

;

;

;

.