Устный способ решения квадратных уравнений

Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. В работе представлены устные приёмы, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения: свойства коэффициентов и способ «переброски» старшего коэффициента. Овладение приемами поможет обучающимся экономить время, эффективно решать уравнения, развить математические, интеллектуальные способности, навыки исследовательской работы. Данный материал можно использовать на уроках, факультативных занятиях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Федеральное государственное казенное

«Средняя общеобразовательная школа №151»

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.

Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических уравнений второй степени и приводимых к ним уравнений. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Желательно научить ребят решать квадратные уравнения несколькими способами. Впоследствии при решении других видов уравнений, сводящихся к квадратным, рационально использовать те способы, которые позволяют находить корни квадратных уравнений устно: свойства коэффициентов и способ «переброски» старшего коэффициента.

Данные приемы устного решения квадратных уравнений заслуживают внимания, поскольку не отражены в школьном учебнике математики. Овладение приемами поможет обучающимся экономить время, эффективно решать уравнения, развить математические, интеллектуальные способности, навыки исследовательской работы.

Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

1. Приведенные квадратные уравнения.

Наиболее распространенное устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки.

Напомним, что приведенное квадратное уравнение это уравнение вида

Корни х 1 и х 2 удовлетворяют теореме Виета

Определить знаки корней без решения уравнения (при условии, D • 0)

Статья по математике «Устный способ решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Устный способ решения квадратных уравнений.

( из опыта работы учителя математики МКОУ Началовская СОШ Россошанского района, Воронежской области Антоновской Аллы Ивановны)

Особое внимание при изучении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе должно быть уделено выработке умений решать квадратные уравнения, разлагать квадратный трехчлен на множители и решать задачи методом составления квадратных уравнений. Вместе с тем достаточно серьезное внимание следует уделить и теоретическим вопросам: учащиеся должны уметь выводить формулу корней квадратного уравнения, доказывать теорему Виета и тождество ax 2 + bx + c = a ( x – x ₁ )( x – x ₂ ). Изучение этой темы продолжается в 9, 10 и 11 классах при решении биквадратных уравнений, неравенств второй степени, при решении тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, а также при решении текстовых и геометрических задач.

Работая много лет в старших классах, я нашла простой (устный) способ решения некоторых квадратных уравнений и назвала его «Решение квадратных уравнений по сумме коэффициентов».

Например: уравнение 24 x 2 +3 x – 27 =0 , используя этот метод, можно решить устно. Но каким образом? Об этом вы узнаете чуть позже.

Мои ученики с удовольствием этим способом пользуются, поэтому я хочу поделиться своим опытом с коллегами.

Рассмотрим примеры устного решения квадратных уравнений, используя теорему Виета.

D = 25 -16 =9, 9 – положительное число, значит уравнение имеет

два различных действительных корня.

Это приведенное квадратное уравнение, значит x ₁ + x ₂ =5, а x ₁ x ₂ = 4, так как произведение корней положительное число, то корни имеют одинаковые знаки, кроме того сумма корней также положительное число, значит, оба корня положительны. Нетрудно догадаться, что x ₁ =1 и x ₂ =4.

Так как -8 четное число, то D ₁ =16 – 15 = 1, 1- положительное число, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.

Чтобы применить теорему Виета, преобразуем данное уравнение к виду x 2 — x + =0.

x ₁ + x ₂ =, а x ₁ x ₂ = , так как произведение корней положительное число, то корни имеют одинаковые знаки, кроме того сумма корней также положительное число, значит, оба корня положительны. Но так как и — дробные числа, то устно подобрать корни уравнения детям сложно.

Однако, решив уравнение обычным способом, т.е. через D ₁ , получаем, что x ₁ = 1, а x ₂ =.

Решая аналогичные приведенные и не приведенные уравнения, в которых сумма всех коэффициентов равна 0 ( a + b + c =0), можно заметить, что D или D ₁ всегда > 0( поэтому такие уравнения всегда имеют два различных действительных корня) и один из корней равен 1, а второй равен коэффициенту c (если уравнение приведенное ) или (если уравнение не приведенное ).

Этот устный метод я предлагаю рассмотреть учащимся после того, как изучены все способы решения квадратных уравнений и, необходимо, как можно быстрее найти только корни квадратного уравнения, а процесс нахождения D или D ₁ и корней квадратного уравнения можно опустить, чтобы сэкономить больше времени на решение данного основного уравнения, неравенства, на решение текстовой или геометрической задачи.

Решить уравнение loq _x (-5 x 2 +8 x -2)=1.

Чтобы решить данное уравнение, сначала надо решить квадратное уравнение -5 x 2 +8 x -2= x или -5 x 2 +7 x -2 = 0. Так как сумма коэффициентов равна 0, т.е. -5 +7 -2 =0 и уравнение не приведенное, то x ₁ =1 и x ₂ =. Но x =1 не может быть решением логарифмического уравнения, т.к. основание логарифма не равно 1. Следовательно, решением данного уравнения является только число . Ответ: .

Решить уравнение 4 x – 5*2 x + 4 =0.

Сделаем замену переменной t =2 x , тогда 4 x = (2 x ) 2 = t 2 . Данное уравнение принимает вид t 2 — 5 t + 4 =0. Так как сумма коэффициентов равна 0, т.е. 1 – 5+ 4 =0 и уравнение приведенное, то t ₁ =1 и t ₂ =4. Решая уравнения 2 x =1 и 2 x =4, получаем x =0 и x =2. Ответ: 0; 2.

Используя этот способ решения квадратных уравнений, учителю легко составить задания для самостоятельной работы в 8 классе (когда детям устный способ еще не известен) и проверить работы учеников.

Приведу несколько различных квадратных уравнений, которые можно решить устно.

а) x 2 + 35 x – 36 =0, так как 1+35 -36 =0, то x ₁ = 1 и x ₂ =-36.

б) x 2 — 17 x + 16 =0, так как 1 – 17 + 16 =0, то x ₁ = 1 и x ₂ =16.

в) 41 x 2 + 2 x – 43 =0, так как 41+ 2 – 43 =0, то x ₁ = 1 и x ₂ =-или -1.

Ответ: -1; 1.

г) — 37 x 2 + 19 x +18 =0, так как -37 + 19 + 18 =0, то x ₁ = 1 и x ₂ = — .

Ответ: — ; 1.

д) это уравнение я предлагала решить устно в начале своей статьи

24 x 2 +3 x – 27 =0, так как 24 + 3 – 27 =0, то x ₁ = 1 и x ₂ =-или -1 .

Ответ: -1 ; 1.

Уважаемые коллеги! Я надеюсь, что данные рекомендации помогут вам в дальнейшей работе. Желаю Вам больших творческих успехов!

Реферат: Способы устного решения квадратных уравнений

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 6

на тему: Способы устного решения квадратных уравнений.

ученица 8 «В» класса

Шубина Ирина Николаевна.

2. Определение квадратного уравнения, его виды…………………..5

3. Способы решения неполных квадратных уравнений…………….6

4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена………………………………………………………………..8

5. Решение квадратных уравнений по формуле……………………..9

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………13

9. Закономерность коэффициентов………………………………….14

10. Дидактический материал……………………………………. …16

Список использованных источников…………. ………………. …20

Изучить и показать на примерах способы устного решения квадратных уравнений.

1. Проанализировать учебник алгебры для выявления в нем способов решения квадратных уравнений.

2. Показать виды и способы решения неполных квадратных уравнений.

3. Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений из курса 8 класса.

4. Изучить дополнительный материал.

5. Показать способы устного решения квадратных уравнений.

Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

При изучении в школе квадратных уравнений, я очень заинтересовалась этой темой. Мне стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В данной работе я изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе я показала дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Устное решение квадратных уравнений намного проще и быстрее, так как при решении уравнений не надо находить дискриминант и вычислять корни по формуле.

1. Историческая справка.

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений () умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах= b или Способ решения полных квадратных уравнений не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , где >0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы уравнений вида , (буквами а, b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения

теорема Виета в современных обозначениях выглядела так:

корнями уравнения (а+ b ) являются числа а и b .

2. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение : Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0, один из коэффициентов

b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

3 .Способы решения неполных квадратных уравнений.

1.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения

на а. Получается уравнение

х 2 = –,

равносильное уравнению ах 2 + с = 0.

Так как с ≠ 0, то – ≠ 0.

Если – > 0, то уравнение имеет два корня:

х= – и х=.

Если – 2 + 15=0.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:

Отсюда х = или х = –

и – являются корнями уравнения –3х 2 + 15= 0.

Пример2. Рассмотрим уравнение 4х 2 + 3 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части

получившегося уравнения на 4:

х 2 = –.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение корней не имеет. Следовательно, равносильное ему уравнение 4х 2 + 3 = 0 не имеет корней.

2.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + bx = 0 при b ≠ 0

раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

Произведение х(ах + b )= 0 равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим

х = –.

Следовательно, произведение ах 2 + bx = 0 обращается в нуль при х = 0 и при

х = –. Корнями уравнения ах 2 + bx = 0 являются числа 0 и –. Значит, неполное квадратное уравнение вида ах 2 + bx = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Пример. Рассмотрим уравнение 4х 2 + 9х = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

х = –2.

Ответ: х= 0, х= –2.

3.Неполное квадратное уравнение вида ах 2 = 0 равносильно уравнению х 2 = 0 и поэтому имеет один единственный корень 0.

4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х 2 – х – = 0.

Выделим из трехчлена х 2 – х – квадрат двучлена. Для этого разность

х 2 – х представим в виде х 2 – 2·х , прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х 2 – 2·х + –– = 0.

Отсюда х 2 – 2·х + = + ,

= .

Следовательно, х – = – или х – = ,

х – = – или х – = ,

х = – или х = 1.

Уравнение имеет два корня: – и 1.

5. Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение

Разделив его обе части на а , получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х 2 +х += 0.

Выделим из трехчлена х 2 +х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х 2 +х представим в виде х 2 +2х∙ , прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

х 2 +2х∙+ –+= 0,

х 2 +2х∙+ = –,

= –,

=.

Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а –положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D , т.е.

D = b – 4ас.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 – выражение

b – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D .

1) Если D >0, то уравнение имеет два корня:

х= и х= .

Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.

D = b – 4ас =(–3)– 4ас = 9–8= 1; 2 корня.

х==== 0,5

х==== 1

2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень:

х = –.

Пример. Рассмотрим уравнение 9х 2 +6х+ 1= 0.

D = b – 4ас= 6– 4ас =36–36= 0; 1 корень.

х = –== – 0,3

D = b – 4ас= 1– 4ас = 1 – 16= – 15; корней нет.

6. Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Приведенное квадратное уравнение х 2 – 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством.

Теорема : Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Обозначим второй коэффициент буквой р , а свободный член буквой q :

Дискриминант этого уравнения D равен p 2 – 4q .

Пусть D > 0. тогда это уравнение имеет два корня:

х= и х=.

Найдем сумму и произведение корней:

х+ х=+== –p ;

х∙ х=∙==== q .

х+ х= –p , х∙ х= q .

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.

По теореме Виета х+ х= – p , значит 2 + 1= 3;

х∙ х= q , значит 2 ∙ 1= 2.

Следовательно х₁ = 2 и х₂ = 1 являются корнями уравнения х 2 – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

х = и x = .

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х и х . равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

х+ х= –, х∙ х= .

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема : Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p , а произведение

равно q , то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.

По условию т + п = – p , а т п = q . Значит, уравнение х 2 + px + q = 0 можно записать в виде х 2 – (т + п) х + т п= 0.

Подставив вместо х число т, получим:

Значит, число т является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 + 3х – 40=0.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х= ; х=.

Отсюда х= –8; х= 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х 2 + 3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х 2 + 3х – 40=0.

Способы устного решения квадратных уравнений.

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b + c = 0, то х= 1, х=.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

а+ b + c = 0, х= 1, х=. 1+ 4+(–5)= 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36.

х=== – 5.

х=== 1.

Отсюда следует, что если а+ b + c = 0,то х= 1, х=.

2) Если b = а+ c , то х= –1, х=.

Пример. Рассмотрим уравнение 2х 2 + 8х +6 = 0.

Если b = а+ c , то х= –1, х=. 8 =2 +6.

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4ас= 8– 4∙2∙6= 16.

х=== –3.

х=== –1.

Отсюда следует, что если b = а+ c , то х= –1, х=.

8. Способ переброски.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ±b + c ≠0, то используется прием переброски:

х= 10; х= 1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а , то его корни равны

х= –а ; х= –.

ax 2 + (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 + 37х +6 = 0.

х= –6; х= –.

2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= а ; х= .

ax 2 – (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х= 15; х= –.

3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= –а ; х= .

ax 2 + (а 2 – 1)∙ х – а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х= –17; х= .

4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= а ; х= –.

ax 2 + (а 2 – 1)∙ х – а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 –99 х – 10 = 0.

х= 10; х= –.

10. Дидактический материал.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

а) 4х 2 – 100= 0, б) 2х 2 + 10х = 0,

х 2 =25, х = 0 или 2х +10 = 0,

х = –5.

2. Решение квадратных уравнений по формуле:

D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D > 0; 2 корня;

х== = ;

х== = –1.

б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,

х=

3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

а) х 2 – 9х + 14 =0. б) х 2 +3х – 28 = 0.

х =2; х = 7.

4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

а) 4х 2 – 12х +8х = 0. б) х 2 – 6х + 5= 0.

а+ b + c = 0, х= 1, х=. а+ b + c = 0, х= 1, х=.

х= 1, х= 2. х= 1, х= 5.

5. Решение квадратных уравнений способом переброски.

а) 6х 2 – 7х –3= 0.

х=== = –2;

х===

Делим числа 9 и (–2) на 6:

х= х₂ =

б) 2х 2 – 11х +15= 0,

х==

х==

Делим числа 5 и 6 на 2:

х= х₂ = 3.

6. Закономерность коэффициентов:

а) 5х 2 + 26х + 5= 0. б) 7х 2 + 48х –7 = 0.

х= –5; х= – х= –7; х=