Устойчивость пластин общие положения основное разрешающее уравнение

Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Орешко Е.И., Ерасов В.С., Луценко А.Н.

Рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров. Применен метод конечных элементов для расчета устойчивости стержней и пластин . Анализ полученных результатов расчетов позволил определить факторы, влияющие на устойчивость стрежней и пластин . Определены границы применимости формул для расчета критической силы потери устойчивости стержней и пластин .

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Орешко Е.И., Ерасов В.С., Луценко А.Н.

Calculation features of cores and plates stability

Questions of stability of cores and plates depending on their geometrical parameters are considered. The finite element method is applied for calculating the stability of the cores and plates. Analysis of the results of these calculations allowed us to determine the factors affecting the stability of the cores and plates. Limits of formulas applicability for the critical force calculation of the cores and plates stability loss are defined.

Текст научной работы на тему «Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин»

Е.И. Орешко1, B.C. Ерасов1, А.Н. Луценко1

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТОВ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

Рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров. Применен метод конечных элементов для расчета устойчивости стержней и пластин. Анализ полученных результатов расчетов позволил определить факторы, влияющие на устойчивость стрежней и пластин. Определены границы применимости формул для расчета критической силы потери устойчивости стержней и пластин.

Ключевые слова: расчет устойчивости, пластина, стержень, метод конечных элементов, критическая сила потери устойчивости.

Questions of stability of cores and plates depending on their geometrical parameters are considered. The finite element method is applied for calculating the stability of the cores and plates. Analysis of the results of these calculations allowed us to determine the factors affecting the stability of the cores and plates. Limits of formulas applicability for the critical force calculation of the cores and plates stability loss are defined.

Keywords: stability calculation, plate, core, finite element method, critical force for buckling.

^Федеральное государственное унитарное предприятие «Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов» Государственный научный центр Российской Федерации [Federal state unitary enterprise «All-Russian scientific research institute of aviation materials» State research center of the Russian Federation]; e-mail: admin@viam.ru

Для оптимального проектирования машин и конструкций необходимо знание условий, при которых в материале будут достигнуты предельные состояния при статических и циклических режимах эксплуатационного нагружения 2.

Теоретически всякая упругая система при определенных условиях нагружения может перейти в неустойчивое состояние равновесия. Поскольку модуль упругости металлических конструкций велик по сравнению с пределом упругости, то, возможно, что эти элементы становятся неустойчивыми в упругой области только при значительных упругих деформациях. Это имеет место, когда по крайней мере один или два размера сжатого элемента являются малыми по сравнению с третьим размером — как, например, в случае гибких стержней или тонких пластинок. Однако вследствие быстрого уменьшения модуля упругости при переходе через предел упругости, диапазон нагрузок, при которых может возникнуть неустойчивое состояние при обычных условиях нагружения, значительно расширяется. Частично нарушение внутренней структуры материала после перехода предела упругости ускоряет начало критического состояния выпучивания. Этот факт объясняет то важное положение, которое занимают проблемы устойчивости при расчете металлических конструкций [4].

Пластиной называется призматическое тело, ограниченное двумя плоскостями, расстояние ме^ду которыми мало по сравнению с другими

характерными размерами. Это расстояние называется толщиной h. Плоскость, равноудаленная от поверхностей пластины, называется срединной плоскостью. К срединной плоскости привязана одна из координатных плоскостей декартовой координатной системы (рис. 1).

Пластина называется тонкой, если (^Ь)2 фф«авннта и дм . ивид_

CitHa Характер зннрнлкюя киниоЕ L IL |V+:II:I Кмффнииенг □рдвдтвН ЛЛМ Н Ы U

И-i-i Оба ьтониа о m Jt in шарниры ]

1 ‘ Сттржят с однил звдЕлагапы KUHUcai. Бторьш спирита* на шарнир 0.69?

ч ——- P CiqiHitHb С ¿SLDi-nSLKKbO-l 1С ■ вврив Oufih ынои залелац второй свободен М

а N J ftl— 0:м и 1 коней jaie.-i.iH. налиток — n(j&i[+ нал б гполп.тьно>: и поперечит! напраьлеинн валика ]

р ii L ——- К^нин Ht поворачиваются на IIDTVT переде шмтк Jt ВТЖШрСЧНЯ! НаП[.ЧБЛСНИИ 1

0,3 1,3 2,3 3,3 4.3 alb

Рис. 2. Значения коэффициентов K для шарнирного закрепления кромок пластины в зависимости от соотношения alb (длина/ширина) [5]

по формуле Эйлера составляет

1%, что свидетельствует об адекватности математической модели и возможности ее применения для проводимого исследования [15]. Поэтому в программном комплексе ANSYS построили конечно-элементные модели пластин (модуль упругости 79 ГПа, коэффициент Пуассона 0,3) с различными геометрическими параметрами в случае шарнирного закрепления кромок, которые нагружали линейным вектором силы (рис. 3).

В результате расчета получали значение критической силы потери устойчивости и определяли погрешность результатов расчетов по формулам (4) и (9) относительно результатов расчетов в программе ANSYS (табл. 2).

Расчеты показали, что в случае шарнирного закрепления кромок при соотношении а/Ь (длина/ ширина) пластины (стержня), равном 2, результаты расчетов критической силы потери устойчивости по формулам (4) и (9) близки по значениям. С увеличением а/Ь от значения, равного 2, погрешность расчетов по формуле (4) уменьшается, а погрешность расчетов по формуле (9) увеличивается. При уменьшении а/Ь от значения, равного 2, наблюдается обратная тенденция.

Таким образом, при соотношении длины к ширине пластины а/Ь 2, то критическую силу потери устойчивости пластины предлагается рассчитывать по формуле (4).

Рис. 3. Первая форма потери устойчивости пластины с различными геометрическими параметрами (ширинахтолщинах длина) при сжатии линейным вектором силы в случае шарнирного закрепления кромок, рассчитанной с помощью метода конечных элементов при толщине 0,1 м, длине 0,002 м и ширине 0,1 (а); 0,05 (б) и 0,0125 м (в)

Сравнение аналитических расчетов стержней и пластин с расчетами с помощью метода конечных элементов (МКЭ)

К а/Ь Ширина Толщина Длина ЛФ, н Погрешность значений Ркр, %, по формуле

м пластины стержня АШУБ (9) (4)

0,99 1 0,1 0,002 0,1 5631 5214 5622 0,2 7,3

0,71 1,18 0,085 0,002 0,1 4751 4432 4722 0,6 6,1

0,54 1,33 0,075 0,002 0,1 4095 3911 4124 0,7 5,2

0,4 1,54 0,065 0,002 0,1 3500 3389 3536 1 4,2

0,23 2 0,05 0,002 0,1 2617 2607 2678 2,3 2,7

0,23 2 0,05 0,007 0,1 112182 111775 112930 0,7 1

0,14 2,5 0,04 0,002 0,1 1991 2086 2123 6,2 1,8

0,076 3,33 0,03 0,002 0,1 1441 1564 1580 8,8 1

0,034 4,76 0,021 0,002 0,1 921 1095 1100 16,3 0,46

Обсуждение и заключения

В работе рассмотрены вопросы расчетов устойчивости стержней и пластин в зависимости от их геометрических параметров.

Проведены расчеты критической силы потери устойчивости пластин по формулам (4) и (9), которые при некоторых геометрических параметрах пластин показали близкие результаты. В связи с

этим для расчетов устойчивости пластин с целью определения границ применимости формул (4) и (9) использовали конечно-элементный программный комплекс ANSYS. Определяли погрешность результатов расчетов по формулам (4) и (9) относительно результатов расчетов в программе ANSYS (табл. 2).

Расчеты показали, что при соотношении длины к ширине пластины, равном 2, результаты расчетов критической силы потери устойчивости по формулам (4) и (9) близки по значениям.

С увеличением соотношения длины к ширине пластины от значения, равного 2, погрешность расчетов по формуле (4) уменьшается, а погрешность расчетов по формуле (9) увеличивается. При уменьшении соотношения длины к ширине

пластины от значения, равного 2, наблюдается обратная тенденция.

Таким образом, при соотношении длины к ширине пластины менее 2 критическую силу потери устойчивости предлагается рассчитывать по формуле (9). При соотношении длины к ширине пластины более 2 критическую силу потери устойчивости предлагается рассчитывать по формуле Эйлера.

1. Каблов E.H., Гращенков Д.В., Ерасов B.C., Анчев-ский И.Э., Ильин В.В., Вальтер P.C. Стенд для испытания на климатической станции ГЦКИ крупногабаритных конструкций из ПКМ // Сб. докл. IX Междунар. науч. конф. по гидроавиации «Гидроавиасалон-2012». 2012. С. 122-123.

2. Каблов E.H. Инновационные разработки ФГУП «ВИАМ» ГНЦ РФ по реализации «Стратегических направлений развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года» // Авиационные материалы и технологии. 2015. №1 (34). С. 3-33. DOI: 10.18577/2071-9140-2015-0-1-3-33.

3. Каблов E.H. Авиакосмическое материаловедение // Все материалы. Энциклопедический справочник. 2008. №3. С. 2-14.

4. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. Пер. с англ. М., 1959. С. 18.

5. Астахов М.Ф., Караваев A.B., Макаров С.Я., Суз-дальцев Я.Я. Справочная книга по расчету самолета на прочность. М.: Гос. изд-во оборонной пром-сти, 1954. С. 411-412.

6. Прочность. Устойчивость. Колебания: справочник в 3-х т. / под общ. ред. H.A. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. С. 94.

7. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Луценко А.Н., Терен-тьев В.Ф., Слизов А.К. Построение диаграмм деформирования в трехмерном пространстве a-s-t // Авиационные материалы и технологии. 2017 (в печати).

8. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков C.B., Базылева O.A., Луценко А.Н., Орешко Е.И. Моделирование упругопластических характеристик монокристаллических интерметаллидных сплавов на основе микроструктурного численного анализа // Математическое моделирование и численные методы. 2015. №2. С. 3-22.

9. Димитриенко Ю.И., Луценко А.Н., Губарева Е.А., Орешко Е.И., Базылева O.A., Сборщиков C.B. Расчет механических характеристик жаропрочных

интерметаллидных сплавов на основе никеля методом многомасштабного моделирования // Авиационные материалы и технологии. 2016. №3 (42). С. 33-48. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-3-33-48.

10. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Луценко А.Н. Математическое моделирование деформирования конструкционного углепластика при изгибе // Авиационные материалы и технологии. 2016. №2 (41). С. 50-59. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-2-50-59.

11. Орешко Е.И., Ерасов B.C., Подживотов Н.Ю., Луценко А.Н. Расчет на прочность гибридной панели крыла на базе листов и профилей из высокопрочного алюминий-литиевого сплава и слоистого алюмостеклопластика // Авиационные материалы и технологии. 2016. №1 (40). С. 53-61. DOI: 10.18577/2071-9240-2016-0-1-53-61.

12. Гусев Д.Е., Коллеров М.Ю., Рудаков С.С., Королев П.А., Орешко Е.И. Оценка биомеханической совместимости имплантируемых опорных пластин из сплавов на основе титана и никелида титана методом компьютерного моделирования // Титан. 2011. №3 (33). С. 39-44.

13. Коллеров М.Ю., Гусев Д.Е., Орешко Е.И. Экспериментально-теоретическое обоснование выбора метода и имплантатов для устранения воронкообразной деформации грудной клетки // Научные труды (Вестник МАТИ). 2012. №19 (91). С. 331-336.

Устойчивость пластин общие положения основное разрешающее уравнение

Электронный научный журнал «ТРУДЫ ВИАМ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ
«ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ АВИАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ»
НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ЦЕНТРА «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Авторизация

Статьи

Представлены результаты теоретических (численных и аналитических) и экспериментальных исследований упругой устойчивости при сжатии прямоугольных стержней и пластин, защемленных по двум поперечным кромкам, при варьировании соотношений размеров и значений упругих постоянных. Оценена степень соответствия численных решений, полученных методом конечных элементов, с данными аналитических и экспериментальных решений для стержней и прямоугольных пластин. Представлена формула для расчета устойчивости пластин по Эйлеру с учетом коэффициента Пуассона.

Введение

Экспериментально и теоретически установлено, что возможность применения того или иного расчетного метода зависит от соотношения размеров тела [1]. Поэтому в строительной механике по геометрическому признаку все элементы расчетных моделей традиционно классифицируются на три типа:

1. Стержень (рис. 1, а) – прямолинейный объект, у которого один из размеров намного больше двух других, т. е. два размера (b и h) находятся в пределах одного порядка, а третий (l) находится в пределах другого (большего) порядка.

Основными характеристиками стержня являются его ось (геометрическая форма оси) и поперечное сечение (геометрические характеристики профиля).

2. Оболочка (рис. 1, б) – объект, у которого один из размеров значительно меньше двух других, т. е. два размера (b и l) находятся в пределах одного порядка, а третий (l) находится в пределах другого (меньшего) порядка. В расчетной схеме оболочку представляют срединной поверхностью и толщиной.

Частным случаем оболочки является пластина (плита) – оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость (рис. 1, в).

3. Трехмерное тело (массив – рис. 1, г) – объект, у которого все три габарита соизмеримы, т. е. находятся в пределах одного порядка.

Рис. 1. Основные типы расчетных моделей:

а – стержень; б – оболочка; в – пластина; г – трехмерное тело

Задачи устойчивости стержней и пластин решаются в рамках классических теорий, основанных на гипотезах Эйлера–Бернулли (стержни) и Кирхгофа (пластины). В частности, классическая теория изгиба стержней основана на гипотезе плоских сечений. Предполагается также, что напряжения в направлениях, перпендикулярных к продольным волокнам, пренебрежимо малы [2, 3]. При построении прочностных моделей тонких пластин обычно используются две основные гипотезы – гипотеза жесткой нормали, аналогичная гипотезе плоских сечений при изгибе и растяжении стержней, и гипотеза двухосного напряженного состояния пластины (нормальными и касательными напряжениями в площадках, перпендикулярных поверхности пластины, можно пренебречь) [4–6].

Критическая сила потери устойчивости Р_кр для стержня при сжатии определяется по формуле Эйлера [7–9]:

(1)

где l – длина стержня; µ – коэффициент приведения длины (при защемленных концах стержня µ=0,5); J_min – минимальный момент инерции стержня (для стержня прямоугольного сечения J_min=bh 3 /12, где b, h – ширина и толщина стержня).

Критическая сила потери устойчивости пластины при сжатии определяется по формуле [10–15]:

(2)

(3)

(4)

где K – усредненный коэффициент устойчивости; D – цилиндрическая жесткость пластины; a, b, h – длина, ширина и толщина пластины; Е, v – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины.

Выбор формулы для расчета устойчивости пластины основывается на анализе ее геометрической формы – в частности, пластину условно можно принять за стержень с тонким прямоугольным сечением и при расчете критической силы потери устойчивости применить формулу Эйлера. Однако некоторые авторы [16] предполагают, что стержень прямоугольной формы может быть условно принят за пластину только в условиях цилиндрического изгиба. К тому же при расчетах устойчивости пластин результаты, полученные по формулам (1) и (2), могут существенно различаться [17–21]. Это связано с тем, что в формуле (2) в отличие от формулы Эйлера учитывается коэффициент Пуассона материала. Причем чем больше ширина пластины, тем больше влияние коэффициента Пуассона на устойчивость пластины при сжатии [22].

В работе проведена оценка степени соответствия численных решений критических нагрузок при сжатии их значениям, полученным по аналитическим формулам, для прямоугольной пластины с защепленными поперечными кромками при различных геометрических и физико-механических параметрах.

Работа выполнена в рамках реализации комплексной научной проблемы 3.3. «Технология прогнозирования свойств, моделирования и реализации современных процессов конструирования и производства изделий из неметаллических и композиционных материалов с использованием цифровых методов, совместимых с CAD/CAM/CAE и PLM системами» («Стратегические направления развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года») [23–25].

Материалы и методы

Для проведения испытаний на потерю устойчивости при сжатии использовались пластины из алюминиевого сплава 1441 (рис. 2).

Рис. 2. Эскиз образца (а) и фотографии пластин из сплава 1441 (б) для испытаний на потерю устойчивости при сжатии

Рассчитывали однородные пластины постоянной толщины с защемленными поперечными кромками. Расчет критических усилий выполнен аналитически по формулам (1), (2) и методом конечных элементов (МКЭ) на основе бифуркационной постановки задачи с использованием программного комплекса ANSYS Mechanical APDL 14.5. Бифуркационная постановка задачи устойчивости базируется на следующих предположениях: начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости; зависимости закона Гука справедливы не только для начального состояния, но и при малых отклонениях от него; изменениями размеров и формы тела в начальном состоянии можно пренебречь (тело напряжено, но не деформировано) [26]. Использование этих предположений дает возможность свести задачу устойчивости к задаче на собственные значения для линейных однородных уравнений нейтрального равновесия пластины при заданных краевых условиях. Из условия существования нетривиального решения этих уравнений определяются критические параметры нагружения и с точностью до произвольной постоянной – конфигурация пластины после потери устойчивости.

При создании модели использовали многослойные оболочечные конечные элементы SHELL181. Данные элементы имеют форму прямоугольника с четырьмя узлами по углам. Нагружение пластины осуществляли заданием распределенных усилий на ее коротких гранях.

Для проверки адекватности математической компьютерной модели полученные с помощью МКЭ результаты сравнивали с результатами расчета по формулам (1) и (2) для четырех значений коэффициента Пуассона. Приняты следующие условия: размеры стержня 2×0,02 м, толщина 0,002 м; материал – алюминий (E=70 ГПа). При разбиении стержня на конечные элементы приняты следующие условия: один конечный элемент – на толщину стержня; 10 конечных элементов – на ширину стержня; 100 конечных элементов – на длину стержня.

Можно отметить совпадение результатов расчетов по МКЭ с результатами расчетов по формуле Эйлера (табл. 1). При увеличении значений v увеличивается разность в расчетах Р_кр по формулам (1) и (2), причем при ν=0,45 она составляет 20,42%.

Результаты расчетов устойчивости тонкого (b/h > 10) стержня

по аналитическим формулам и c помощью метода конечных элементов (МКЭ)