Устойчивость по корням характеристического уравнения

Критерии устойчивости (Лекция)

2. Корневой критерий

3. Критерий Стодолы

4. Критерий Гурвица

5. Критерий Михайлова

6. Критерий Найквиста

7. Показатели качества

8. Прямые показатели качества

9. Корневые показатели качества

10. Частотные показатели качества

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

2. Корневой критерий

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения (они обозначены звездочкой) могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости.

Виды корней характеристического уравнения:

положительные (корень № 1);

комплексные сопряженные (4);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s_i = a ± j w ;

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 4.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s 3 + 2 s 2 + 2.25 s + 1.25 = 0.

Следовательно, система устойчива.

3. Критерий Стодолы

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 4.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

4. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид, как показано на рисунке ниже.

W_p — передаточная функция регулятора,

W_y — передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы): W _¥ = W_p W_y .

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W _¥ :

D _з( s ) = A ( s ) + B ( s ).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_{n +1} по a ₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 ( a ₀, a ₂, a ₄… или a ₁, a ₃, a ₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица .

Для этого определяется ХПЗС :

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

,

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

5. Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t — запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D _з (s) = A(s) + B(s) . e — t s .

2) Подставляется s = j w : D _з (j w ) =Re( w ) + Im( w ).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D _з( j w ) и строится кривая на комплексной плоскости.

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n — степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

6. Критерий Найквиста

Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m .

3) Подставляется s = j w : W _¥ ( j w ).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W _¥ ( j w ) m раз охватывала точку (-1; 0), где m — число правых корней разомкнутой системы.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A ( s ) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W _¥ ( j w ) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).

7. Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые — определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,

2) корневые — определяемые по корням характеристического полинома,

3) частотные — по частотным характеристикам,

4) интегральные — получаемые путем интегрирования функций.

8. Прямые показатели качества

К ним относятся: степень затухания y , перерегулирование s , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Рис. 4.4

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рис. 1.38).

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания y определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование s = , где y_max — максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х — у_уст, где х — входная величина.

Время достижения первого максимума t _м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение D = 5% у_уст и строится «трубка» толщиной 2 D . Время t_p соответствует последней точке пересечения y ( t ) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.

9. Корневые показатели качества

К ним относятся: степень колебательности m , степень устойчивости h и др.

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

h = min ,

где Re ( s_i ) — действительная часть корня s_i .

Степень колебательности m рассчитывается через угол g : m = tg g . Для определения g проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. g — угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:

m = min .

10. Частотные показатели качества

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По АФХ определяются запасы: D A — по амплитуде, D j — по фазе.

Запас D A определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения D j строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас D j определяется по точке пересечения с этой окружностью.

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

Связи между показателями качества.Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; t_p = ; ; M = .

Оценка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения

При оценке устойчивости необходимо рассмотреть три возможных случая.

1. Корни вещественны.

2. Пары комплексно-сопряженных корней.

3. Корни чисто мнимые.

Если все корни вещественные и отрицательные, то есть

хсв(t) . (3.6)

Если все корни вещественные и отрицательные, то каждое слагаемое хсв в формуле (3.6) стремится к нулю при t®¥ и, следовательно, хсв(t) ® 0, то есть необходимое и достаточное условие устойчивости (3.2) выполнено и САУ устойчива.

Если все корни вещественные, но среди них имеется хотя бы один положительный корень р _к = a _к > 0 , то соответствующее ему слагаемое в (3.6) будет иметь вид с_к exp(a_кt) и будет стремиться к ¥ при t®¥.

При этом, хотя все слагаемые в хсв(t) , кроме одного, будут затухать, переходный процесс САУ в целом будет расходящимся, а САУ — неустойчивой.

Если все корни вещественные, отрицательные и есть пара комплексно- сопряженных корней р _k =-a+jb . р _k+1=-a-jb. Тогда комплексным корням в Хсв(t) соответствуют слагаемые А= с_к exp[-(a-jb)t] и B= с_к exp[-(a+jb)t]. C учётом формул Эйлера можно записать

А+В= De -a t sin(bt+j). (3.7)

Сумма слагаемых, соответствующих комплексно-сопряжённым корням, представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой b и амплитудой De -a t .

Параметр a — это параметр затухания огибающей k – кривой переходного процесса.

при a 0

Таким образом, если действительная часть комплексного корня a

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица детально рассмотрен в [1] на с. 47-48. Назначение, описание и особенности применения частотных критериев устойчивости линейных САУ приведены на с. 48-54 [1].

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит задача линеаризации уравнения системы автоматического регулирования (САР)?

2. Дайте понятия “устойчивой” и “неустойчивой” САР.

3. Что такое “принцип аргумента”?

4. Сформулируйте и поясните критерий устойчивости Найквиста-Михайлова для замкнутых систем.

5. Какие точки на годографе САР считаются “характерными”? Как они определяются?

6. Как влияет на устойчивость САР звено задержки?

7.Как влияет на устойчивость САР форсирующее звено?

8. Как влияет на устойчивость САР интегрирующее звено?

9. Для чего может использоваться в САР дополнительное интегрирующее звено?

Устойчивость по корням характеристического уравнения

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива «в малом» , если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом» , когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

Здесь yсв(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения , то есть уравнения с нулевой правой частью:

a o y (n) + a 1 y (n-1) + . + a _(n-1) y’ + a _(n) y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y вын (t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения , под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t) . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный . Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р . После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y вын = y(t ) . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P _o sin(t + ) , то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y вын = y _max sin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p _i корни характеристического уравнения D(p) = a ₀ p _n + a 1 p _n -1 + a 2 p _n -2 + . + a n = 0 . Корни могут быть либо вещественными p _i = a _i , либо попарно комплексно сопряженными p _i = a _i ± ji . Постоянные интегрирования А _i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y св (t) _i , каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y св (t) i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i , при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис.64).

Так как после снятия возмущения y вын (t) = 0 , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y св (t) . zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми , с положительными — правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a n = 0 ), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости . Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости .

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости . Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a o p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a _n = a o (p-p ₁ )(p-p ₂ ). (p-p _n ) = 0,

где p ₁ , p ₂ , . p _n — корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a _i = -|a _i | . Подставим их в уравнение:

a ₀ (p + |a 1 |)(p + |a 2 | — j2)(p + |a 2 | + j2). = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a ₀ p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a ₀ ,a 1 . a n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a ₀ > 0, a 1 > 0, . , a n > 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a ₀ > 0 . В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке — с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c _k,i = c _{k+ 1,i — 2} — ric _{k + 1,i — 1} , где ri = c _{1,i — 2} /c _{1,i — 1} , i 3 — номер строки, k — номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.