Сходимость. Аппроксимация. Устойчивость
Эти основные понятия теории разностных схем уже обсуждались при построении численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При переходе к уравнениям с частными производными качественно меняется характер рассматриваемых задач, поэтому необходимо снова рассмотреть эти понятия. Разумеется, мы не имеем здесь возможности изложить теорию разностных схем, но попытаемся привести самые необходимые сведения.
Исходную дифференциальную задачу,состоящую в решении уравнения с частными производными при заданных начальных и граничных условиях, запишем в операторном виде:
(2.7)
Заметим, что это операторное уравнение включает не только исходное уравнение с частными производными, но и дополнительные (начальные и граничные) условия. Функция F(x, t) описывает правые части уравнения, а также начальные и граничные условия. Область 
включает расчетную область Gи границу Г.
Дифференциальную задачу (2.7) заменяем разностной задачей относительно сеточной функции uh, определенной в узлах сетки 
. Для простоты будем считать, что сетка зависит от одного параметра h, а шаг по времени τ выражается через h: τ = rh, где r = const. Разностную задачу можно также записать в операторном виде:
(2.8)
Значения сеточной функции 
в узлах сетки 
приближенно заменяют значения искомой функции 
в тех же узлах с погрешностями:
(2.9)
Введем некоторое характерное значение этих погрешностей, например их максимальное по модулю значение на сетке
.
Разностная схема (2.8) называется сходящейся,если при сгущении узлов сетки это значение погрешности стремится к нулю, т.е. если
Если при этом 
, где М = const > 0, то разностная схема имеет k—ый порядок точности. Говорят также, что она сходится со скоростью O(hk).
Можно ввести понятие порядка точности и для случая независимых параметров сетки h, τ. В частности, при выполнении условия 
разностная схема сходится со скоростью 
и имеет р-ый порядок точности по hи q-ый порядок по τ.
Определим сеточную функцию погрешности δhкак разность между решением дифференциальной задачи, рассматриваемом в узлах сетки, и разностным решением: 
. При этом значение δhв узле с номером (i, j)определяется соотношением (2.9). Выразим uh, через Uhи δhи подставим в уравнение (2.8). Имеем
(2.10)
Величина Rhназывается невязкой (погрешностью аппроксимации) разностной схемы. Она равна разности между левой и правой частями (2.8) при подстановке в это уравнение решения дифференциальной задачи (2.7).
Введем некоторую характерную величину невязки R,например
Тогда при R = O(hk) аппроксимация имеет k-ый порядок относительно h. Если значения h и τ независимы, то при 
порядок аппроксимации разностной схемы р-ыйпо пространству и q—ыйпо времени.
Разностная схема (2.8) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (2.7), если при измельчении сетки невязка стремится к нулю, т.е.
Аппроксимация такого типа, т.е. когда невязка стремится к нулю при стремлении к нулю h и τ по любому закону без каких-либо условий, называется безусловной или абсолютной аппроксимацией. В случае условной аппроксимации накладываются некоторые условия на размеры шагов по пространству и времени. Например, если 
, то R→ 0 при 
и 
, т.е. разностная задача аппроксимирует исходную при условии, что τ стремится к нулю быстрее, чем h2. Так, при t = h2аппроксимация в данном примере отсутствует.
Разностная схема (2.8) называется устойчивой,если ее решение непрерывно зависит от входных данных, т.е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Устойчивость характеризует чувствительность разностной схемы к различного рода погрешностям. Она является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей (в отличие от сходимости и аппроксимации).
По аналогии с аппроксимацией устойчивость бывает условной и безусловной в зависимости от того, накладываются или нет ограничения на соотношения между шагами по разным переменным.
В теории разностных схем рассматриваются разные способы исследования аппроксимации исходной дифференциальной и разностной задач и проверки устойчивости разностных схем. Здесь мы лишь отметим, что эти исследования значительно проще, чем доказательство сходимости разностного решения к точному. Поэтому пользуются следующим утверждением.
Теорема. Если решение исходной дифференциальной задачи (2.7) существует, а разностная схема (2.8) устойчива и аппроксимирует задачу (2.7) на данном решении с порядком k, то разностное решение сходится к точному со скоростью O(h(k)).
Короче говоря, из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Поэтому, доказав аппроксимацию и устойчивость разностной схемы, можем быть уверены в ее сходимости.
Проиллюстрируем исследование разностных схем на примере рассмотренных выше двух схем для уравнения теплопроводности — явной схемы (2.3) и неявной схемы (2.4). Будем считать, что решение U(x,t) дифференциальной задачи (2.2) существует, а частные производные ¶2U/¶t2и ¶4U/¶x4 непрерывны и ограничены в расчетной области. Тогда в соответствии с формулами численного дифференцирования для каждого узла 
можно написать следующие соотношения:
;
. (2.11)
Найдем погрешность аппроксимации 
исходного уравнения (2.2) с помощью разностной схемы (2.3) для произвольного узла сетки 
:
.
Подставим в это равенство соотношения (2.11). При этом заметим, что поскольку U(x, t) является точным решением уравнения (2.2), то
(2.12)
Следовательно, максимальное значение невязки с учетом (2.11), (2.12) имеет порядок
Аналогичную оценку невязки можно получить и для разностной схемы (2.4).
Таким образом, разностные схемы (2.3) и (2.4) аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение (2.2) со вторым порядком по h и с первым порядком по τ. Начальное и граничные условия задачи (2.2) аппроксимируются на границах точно, поскольку здесь значения сеточной функции равны значениям решения: 
Г – граница расчетной области (t= 0, х = 0, х = 1).
Исследуем теперь устойчивость данных разностных схем. Начнем с явной схемы (2.3) при граничных условиях (2.5) и начальном условии (2.6). Найдем из (2.3) значение 
сеточной функции на верхнем слое:
(2.13)
Допустим, что имеет место ограничение в виде неравенства
(2.14)
Тогда 
. Эти соотношения используем для оценки сеточного решения (2.13):
(2.15)
Введем теперь обозначение для наибольшего по модулю значения сеточной функции на j—омслое
и с учетом граничных условий (2.5) запишем неравенство (2.15) для значений решения на всем (j+ 1)-ом слое, включая границы:
. (2.16)
Отсюда при j= 0 получаем
(2.17)
Из (2.5), (2.6) следует, что
поэтому неравенство (2.17) можно записать в виде
(2.18)
При j= 1 из (2.16), (2.18) получаем
Аналогично, для некоторого j = Jимеем
(2.19)
Таким образом, значения сеточного решения на (J + 1)-ом слое не превосходят по модулю известных значений сеточного решения на нулевом слое (j= 0) и на границах i= 0, i = I[по (J+1)-ый слой включительно].
Неравенство (2.19) означает устойчивость разностной схемы (2.3). Покажем это. Разностная схема была выше названа устойчивой, если малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Рассмотрим разностную задачу, входные данные которой, например начальное условие, подверглись малому изменению 
:
(2.20)
Решением этой задачи будет сеточная функция
(2.21)
где 
— решение исходной разностной задачи (2.3), (2.5), (2.6), а 
— некоторая поправка к решению. Подставим (2.21) в (2.20):
Отсюда с учетом (2.3), (2.5), (2.6) получаем разностную задачу относительно поправки
Эта задача совпадает с исходной, но при других начальных и граничных условиях. К ее решению применимо неравенство (2.19), которое в данном случае имеет вид 
и означает малость поправки к решению при малом изменении начального условия. Таким образом, схема (2.3) устойчива при выполнении условия (2.14). Можно показать, что при нарушении этого условия схема (2.3) будет неустойчивой, т.е. явная схема (2.3) условно устойчива. Из аппроксимации и устойчивости следует ее сходимость со скоростью O(h2+τ).
Исследуем теперь устойчивость неявной разностной схемы (2.4). Запишем, с помощью (2.4), (2.5) систему уравнений для нахождения неизвестных значений сеточной функции на верхнем слое:
(2.22)
Эта система может быть решена методом прогонки. Безусловная устойчивость неявной схемы (2.4) обеспечивается выполнением условий устойчивости метода прогонки для системы (2.22).
Устойчивость и сходимость разностных схем можно оценить путем расчетов с измельчением сетки 
. Однако это приводит к существенному увеличению объема вычислений и возрастанию суммарных погрешностей.
Многолетняя практика использования численных методов для решения инженерных задач на компьютерах показывает, что применение той или иной разностной схемы, даже если она исследована теоретически, требует ее тщательной апробации при решении конкретной задачи. Для этого проводятся методические вычислительные эксперименты, состоящие в расчетах с разными значениями шагов при разных исходных данных. Полезно также отладить методику с помощью тестовых задач, для которых либо удается получить аналитическое решение, либо имеется численное решение, найденное другим численным методом.