Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения по-шагам
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Устойчивость решений ДУ по первому приближению
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
и пусть , есть точка покоя системы (1), т.е. . Будем предполагать, что функции дифференцируемы в начале координат достаточное число раз.
Разложим функции по формуле Тейлора по в окрестности начала координат:
здесь , а — члены второго порядка малости относительно .
Тогда исходная система (1) запишется так:
Вместо системы (2) рассмотрим систему
называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).
Справедливы следующие предложения.
1. Если все корни характеристического уравнения
имеют отрицательные вещественные части , то нулевое решение , системы (3) и системы (2) асимптотически устойчивы .
2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (3) и системы (2) неустойчиво .
Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
В критических случаях, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения (4) неположительны, причем вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно (начинают влиять нелинейные члены ).
Пример 1. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы
Решение. Системы первого приближения
Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение для системы (6):
Корни характеристического уравнения (7) вещественные и 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATBAMAAADYAbjmAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwB1kQYWh8DHg0VFNsKFOAAAA2ElEQVQoz2NgwA+YhbGLszSAqRwDrJJlkWBpHQFssuoGzEUgmvEQXIgjCc6MYWA4Crb4MEKHYwaMNZGBQRJEM51CMtBNBMo4yMAgA2bINCBJq0mDKSaQrAKIZRMA5CGkJ4OdDJJ1ADll+gQG1YUI3aqrkWUt204zKAWiyTJATWY+zXKMgQEhq7oYTBUyMIiDbDVgmK6AkFWDSDLkMDAANTED/RxjAJdVg/nIx4HlCAMDTwIw1ARgso4i8MgpNgeGPwfIcw5QWaSQZFA2QrAD8UVy43RhBpIBABPuJMc3pUukAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, нулевое решение системы (5) неустойчиво.
Пример 2. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя систем
Решение. Точка покоя системы (8) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,
В то же время точка покоя системы (9) неустойчива в силу теоремы Четаева: взяв , будем иметь .
Системы (8) и (9) имеют одну и ту же систему первого приближения
Характеристическое уравнение для системы (10)
имеет чисто мнимые корни, так что действительные части корней характеристического уравнения равны нулю.
Для системы первого приближения (10) начало координат является центром. Системы (8) и (9) получаются малым возмущением правых частей системы (10) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что замкнутые траектории превращаются в спирали, в случае (8) приближающиеся к началу координат и образующие в точке устойчивый фокус, а в случае (9) — удаляющиеся от начала координат и образующие в точке неустойчивый фокус. Таким образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.
Пример 3. Рассмотрим замкнутый контур с линейными элементами (рис. 44); уравнение контура
Здесь — заряд конденсатора и, следовательно, — ток в цепи; — сопротивление; — индуктивность; — емкость; — нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй, .
Решение. Уравнение (11) эквивалентно системе
для которой начало координат , есть точка покоя.
Рассмотрим систему первого приближения
Характеристическое уравнение для системы (13) имеет вид
Если , т.е. , то уравнение (14) имеет комплексные корни с отрицательной действительной частью и, значит, начало координат для системы (13) и (12) асимптотически устойчиво.
Если \frac<4L>
Асимптотическая устойчивость точки покоя видна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с возрастанием ток неизбежно исчезает.
Устойчивость решений ДУ по отношению к изменению правых частей уравнений
Рассмотрим дифференциальные уравнения
где функции и непрерывны в замкнутой области плоскости и функция имеет в этой области непрерывную частную производную .
Пусть в области выполняется неравенство . Если и есть решения уравнений (1) и (2) соответственно, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , то
Из оценки (3) видно, что если возмущение правой части (1) достаточно мало в области , то на конечном интервале изменения разность решений уравнений (1) и (2) будет малой по абсолютной величине. Это позволяет приближенно решать сложные дифференциальные уравнения путем замены их разумно выбранными уравнениями, решаемыми проще. Последнее обстоятельство может быть использовано при решении дифференциальных уравнений, связанных с задачами физики или техники.
Пример 4. В квадрате найти приближенное решение уравнения
http://mrexam.ru/differentialequation
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-pervomu-priblizheniyu