Уточнение корня уравнения численными методами

Методы уточнения корней

Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:

— погрешность метода решения;

— погрешности округлений в действиях над числами.

Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собой бесконечный процесс, который в пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.

Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.

Решение нелинейных уравнений

Постановка задачи

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:

где f ( x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число x₀ , при котором f (x₀) ≡ 0, называется корнем уравнения f ( x) = 0.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Локализация корней

Для отделения корней уравнения f ( x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [ a, b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.

Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.

должно отличаться от точного x₀ не более чем на величину ε:

Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню x₀ Î[ a, b] и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , x₁ x₂ и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией, а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня
x₀ , x₁ , . . . , x_k, . . . , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня x₀, то говорят, что итерационный процесс сходится :

Методы уточнения корней

Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 3269 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .