Метод сил — расчет статически неопределимых рам
При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:
1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.
Канонические уравнения метода сил
Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.
В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:
где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. 
— это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; 
— перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.
В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:
где 
— единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией 
т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.
Подставляя (2) в (1), получим:
Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.
Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:
Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.
Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы 
и побочные (
). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. 
.
Алгоритм расчета методом сил
Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.
Выбор основной системы
Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.
1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).
2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).
3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).
Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.
Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.
Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через 
, а единичная эпюра – через 
.
Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.
Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.
Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру 
— эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:
Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :
Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:
Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:
Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.
Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:
Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
Окончательные эпюры можно построить двумя способами.
Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:
или, учитывая, что
приходим к выражению:
Аналогично определяется продольные и поперечные силы:
Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.
Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.
В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.
Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.
При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.
Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.
Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:
Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:
Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.
Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:
Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов 
от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:
где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.
Отметим, что при вычислении перемещения 
можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.
Пример расчета
Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).
Степень статической неопределимости рамы:
n = r — s = 4 — 3 = 1
Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).
Грузовая эпюра моментов 
(рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.
Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.
Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:
Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:
откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
В чем смысл канонического уравнения метода сил
Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.
Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.
а-д) модификации основной системы
Рис.1. пример стержневой рамы:
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а), б). которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах, с другой.
Рис.2.Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах в)
После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi-, где i номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi, являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.
а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3. Пять разновидностей основных систем
Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы. На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.
Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.
Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.
Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через 
обозначать взаимное смещение точек системы.
Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)
Первый индекс при 
соответствует направлению перемещения, а второй силе, вызвавшей это перемещение.
В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:
Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2. Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.
Аналогично можно записать:
Так как под величиной 
понимается взаимное смещение точек, то 
обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, 
горизонтальное взаимное смещение тех же точек, 
есть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина 
.
В точках A и D смещения 
являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.
Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений 
Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых 
, входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину 
можно записать в следующем виде:
Что касается перемещений 
, 
и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины 
, 
. в уравнениях оставим неизменными.
Теперь уравнения примут вид:
Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты 
и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).
Если 
, то
Следовательно, коэффициент 
это есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Например, коэффициент 
уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил 
приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет 
, горизонтальное перемещение в точке А будет 
и т. д.
а) 
, б) 
и 
Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:
Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения 
. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.
Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину 
, следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы 
, 
, 
, 
, 
и 
в интегралах Мора заменим на 
, 
, 
, 
, 
и 
, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:
где 
, 
внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты 
получаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то 
представляет собой результат перемножения i-х единичных эпюр на k-е единичные эпюры.
Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для 
, а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения 
и 
возникают под действием одной и той же силы, равной единице.
Величины 
, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2. возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.
Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.
Рис.6. Заданная расчетная схема
Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами 
, 
и моментом 
и определяем эквивалентную систему (рис. 7).
Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р, включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных 
, 
, 
Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:
Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).
Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величина 
определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:
Заметим, что величины 
при 
всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.
Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая эпюры с соответствующими номерами:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:
, 
, 
Решая эти уравнения, находим:
, 
, 
Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.
Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.
Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в 
, 
и 
раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.
Канонические уравнения метода сил
Раскрытие статической неопределимости в неразрезных балках методом сравнения деформаций, как показано в подразд. 3.1, практически целесообразно только в системах с одной лишней связью, при простых загружениях. Для балок с большим числом неизвестных, а также для расчета статически неопределимых рам при формировании разрешающих уравнений используется, по физической сути, тот же метод сравнения деформаций, однако перемещения в статически определимой основной системе определяются по формуле Мора с использованием приемов изложенных в разд. 2.
Рассмотрим конкретный пример формирования разрешающих уравнений для раскрытия статической неопределимости трехпролетной балки, изображенной на рис. 3.7, а. Вариант основной статически определимой системы получен исключением опорных связей на опорах 1, 2 и заменой реактивных усилий в этих связях неизвестными силами X1 и X2 (рис. 3.7, б). Условия эквивалентности изгиба заданной статически неопределимой системы и основной статически определимой балки будут соблюдаться тогда, когда от совместного действия заданной внешней нагрузки и неизвестных сил X1, X2 прогибы основной системы в точках 1 и 2 будут равны нулю (рис. 3.7, б).
Рис. 3.7. Пример трехпролетной балки: а – статически неопределимая балка; б – статически определимая основная система, эквивалентная заданной
Запишем эти условия, используя принцип сложения действия сил и принятую форму обозначения перемещений с двумя индексами, первый из которых показывает направление перемещения, второй – причину. Рассмотрим деформацию основной системы раздельно от внешних нагрузок (грузовое состояние – “0”) и от загружения основной системы неизвестными значениями силы X1 (состояние “1”) и силы X2 (состояние “2”) (рис. 3.8).
В заданной расчетной схеме балки в опорных точках 1, 2 прогибы равны нулю.
В принятых обозначениях это условие запишется так:
(3.5)
Физический смысл каждого слагаемого в уравнениях (3.5) ясен из рис. 3.8.
Поскольку для вычисления перемещений 10, 20 по способу Мора в точках 1, 2 прикладываются единичные силы (рис. 3.9), то значения 
, 
, 
, 
можно записать так:
(3.6)
Здесь 11 – перемещение по направлению X1 от силы X1 = 1; 12 – перемещение по направлению X1 от силы X2 = 1; 21 – перемещение по направлению X2 от силы X1 = 1; 22 – перемещение по направлению X2 от силы X2 = 1.
Уравнения (3.5) после подстановки выражений (3.6) примут вид
(3.7)
Это канонические уравнения метода сил. Канонические уравнения метода сил имеют кинематический смысл, так как в каждом из них суммируются перемещения.
Канонические уравнения метода сил отрицают перемещения в основной системе по направлению лишних неизвестных от совместного действия внешней нагрузки и неизвестных сил в отброшенных связях. Этим и отождествляется работа заданной статически неопределимой расчетной схемы балки и ее статически определимой основной системы.
Этот метод раскрытия статической неопределимости называется методом сил, потому что искомые неизвестные есть усилия в отброшенных связях. Искомыми усилиями могут быть и моменты, и перерезывающие силы, и продольные силы в исключаемых связях. Это определяется типом отброшенных связей в основной системе.
Коэффициенты в системе канонических уравнений определяются по формуле Мора (2.11) с использованием описанных в разд. 2 приемов “перемножения эпюр” по правилу Верещагина. При этом следует иметь в виду, что всегда сохраняется равенство 
.
После раскрытия статической неопределимости последующие операции в расчете балки с определением изгибающих моментов во всех сечениях, перерезывающих сил, прогибов выполняются как в статически определимой системе, нагруженной внешними силами и найденными в результате решения системы канонических уравнений значениями лишних неизвестных. При этом используются значения найденных усилий в сечениях основной системы от единичных значений лишних неизвестных и внешней нагрузки. Это будет показано ниже. Однако предварительно обсудим подробнее одну из важных операций во всем алгоритме расчета неразрезных балок – это выбор рациональной основной статически определимой системы из различных возможных для заданной статически неопределимой расчетной схемы.
На рис. 3.10 и 3.11 показаны два варианта основной системы для шестипролетной неразрезной балки с пятью лишними связями. В первом варианте (рис. 3.10) балка преобразована в однопролетную. Все лишние опорные связи заменены неизвестными силами.
Как видно из рис. 3.10, коэффициенты перед неизвестными ij есть прогибы над опорными точками от нагружения основной системы силами Xi =1 (i = 1, 2, 3, 4, 5). Система из пяти канонических уравнений (3.8) будет полной.
Во втором варианте неразрезная балка преобразована в статически определимую систему однопролетных балок введением шарниров над опорными сечениями и заменой усилий в исключенных связях моментами X1, X2, X3, X4, X5 (рис. 3.11).
Коэффициенты канонических уравнений в этом варианте есть взаимные углы поворота двух смежных сечений над опорными точками, т.е. углы раскрытия шва n над опорными сечениями в расчлененной балке (рис. 3.11, 3.12), какой является основная статически определимая система. По рис. 3.11 видно, что в этом варианте основной системы угол раскрытия шва над первой опорой зависит от неизвестных X1 и X2, на пятой опоре – от X4, X5, на второй опоре – от X1, X2 и X3, на любой n-й опоре от неизвестных опорных моментов Xn-1, Xn, Xn+1. Угол раскрытия шва от внешней нагрузки над любой n-й опорой n0 определяется заданной внешней нагрузкой на пролетах, примыкающих к n-й опоре.
Система канонических уравнений в этом варианте состоит из трехчленных уравнений (3.9) (первое и пятое – двухчленны), решение которых значительно проще решения системы полных пяти уравнений с пятью неизвестными (3.8) по первому варианту.
Кроме этого, вычисление всех коэффициентов при использовании основной системы по первому варианту значительно сложнее, так как все единичные эпюры 
и распространяются на всю длину балки L, равную сумме пролетов li. Такая основная система при раскрытии статической неопределимости неразрезной балки была первой в истории развития теории расчета неразрезных балок, однако, как не рациональная, в настоящее время не используется.
 | Трехчленное каноническое уравнение, из входящих в систему (3.9), для раскрытия статической неопределимости неразрезной балки является рекуррентным и называется уравнением трех моментов. Получим его в общем виде для фрагмента неразрезной балки с пролетами ln, ln+1, примыкающими к n-й опоре (рис. 3.13, а). |
Эпюра изгибающих моментов в основной системе (рис. 3.13, б) от заданных нагрузок M0 приведена на рис. 3.13, в; эпюры 
, 
, 
от единичных значений лишних неизвестных Xn-1=1, Xn =1, Xn+1=1 – на рис. 3.13, г,д,е.
Рис. 3.13. К составлению канонического уравнения: а – фрагмент неразрезной балки; б – основная система; в – эпюра моментов от внешней нагрузки; г, д, е – эпюры моментов от единичных неизвестных
Каноническое уравнение для n-й опоры имеет вид:
. (3.10)
Определим коэффициенты n,n-1, n,n, n,n+1, n0, используя интеграл Мора и правило Верещагина для перемножения эпюр изгибающих моментов.
Единичные коэффициенты уравнения (3.10):
, (3.11)
(3.13)
Грузовой коэффициент n0 – свободный член уравнения (3.10):
. (3.14)
Обозначения величин в этих выражениях показаны на рис. 3.13. Уравнение (3.10) с учетом полученных значений коэффициентов по выражениям (3.11)–(3.14) будет иметь вид:
. (3.15)
Здесь 
; 
.
Значение J0 может быть принято равным моменту инерции сечения балки в любом пролете.
Если сечения балки во всех пролетах одинаковы (J0=Jn= =Jn+1=const), то 
, 
и уравнение трех моментов принимает вид:
. (3.16)
Если неразрезная балка оканчивается шарнирными опорами (рис. 3.14), то первое и последнее уравнения в системе (3.9) будут двухчленными, так как M0 = 0, M5 = 0.
Рис. 3.14. Схема формирования четырех уравнений трех моментов для балки с шарнирными крайними опорами
При наличии загруженных консолей в неразрезной балке изгибающий момент в опорных сечениях от нагрузки может быть вычислен и включается в уравнение (3.15), (3.16) в левую или правую часть.
Если неразрезная балка на крайних опорах имеет жестко защемленную опору, то в основной статически определимой системе жестко защемленная опора заменяется дополнительным пролетом с бесконечной изгибной жесткостью EJ = 
или 
(рис. 3.15).
http://toehelp.ru/theory/sopromat/38.html
http://pouznaval.ru/kanonicheskie-uravneniya-metoda-sil/