3.1. Отделение корней нелинейного уравнения
Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.
На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.
В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.
Аналитические методы основаны на функциональном анализе.
Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида
Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)
Верхняя граница положительных действительных корней 
определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):
, (3.3)
Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;
B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.
Нижнюю границу положительных действительных корней 
можно определить из вспомогательного уравнения
(3.4)
Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то
= 
(3.5)
Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале
≤x+≤
.
Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.
и 
.
≤x–≤ 
= 
=
.
Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.
Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.
3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0
K = 1 B = |– 9| an = 3
= 4
9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0
 |
k = 8 B = 3 an = 9
Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4
3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0
= 
9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0
K = 1 B = 6 an = 9
 |
Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6
Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.
Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.
На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.
Графически корни можно отделить 2-мя способами:
1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.
Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).
2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.
На графике 2 корня.
Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).
Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.
Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.
Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.
Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.
Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.
Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.
Аналитические методы отделения корней
Цель работы
Целью работы является изучение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В настоящей работе рассматриваются следующие методы нахождения корней уравнения :
· — Метод деления отрезка пополам.
· — Метод касательных (Метод Ньютона).
Примеры заданий
Найти корни уравнений :
1. x 2 — 0.5 + sin(x) =0;
2. 2 * sin(x) — x 2 + 0.3 * x = 0;
3. 0.1 * sin(x) + x 3 — 1 = 0;
4. 0.1 * x 2 — x * Ln(x) = 0;
5. 0.1 * x 3 — 2 * x 2 + x — 5 = 0;
6. x 3 — 0.39 * x 2 — 10.5 * x + 11 = 0;
8. 2.5 — 3 * sin(x + Pi / 4) = 0 ;
9. abs(x) + cos(x + Pi / 8) — 2.5 = 0.
Найти минимальный положительный корень :
10. sin(x) = P — q * x, 0 0;
13. Ln(x) = P — q * x 2 , P,q > 0.
Теоретические сведения
Пусть уравнение имеет вид f(x) = 0. Функция f(x) определена в некотором конечном или бесконечном интервале a
6.3.4 Метод деления отрезка пополам
Дана функция f(x) непрерывная на отрезке a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) k .
При k ® 
, lim(bk — ak) ® 0. Следовательно, при k ® , lim ak = lim bk = x*, где символом обозначена бесконечность.
Процесс деления отрезка прекращается при условии, что
Противоположная граница будет неподвижной (точка d). Вычисления корня прекращаются при условии, что
Локализация и отделение корня
ЛЕКЦИЯ 3
Постановка задачи
Пусть требуется решить уравнение 
.
Эта задача может быть решена точно лишь для очень узкого класса функций. Уже для многочленов степени выше четырех не существует формул, выражающих их корни через коэффициенты с помощью радикалов. Для большинства же уравнений, встречающихся в различных приложениях математики и технических задачах, приближенные методы решения являются единственно возможными.
Приближенно решить уравнение или вычислить корень уравнения 
с заданной точностью 
— это значит найти такое число 
, для которого выполняется неравенство 
, то есть указать на числовой прямой точку, лежащую на расстоянии не большем, чем допустимая погрешность, от точного значения корня.
Приближенное решение уравнения распадается на несколько задач:
·Локализация и отделение корня.
·Вычисление корня уравнения с заданной точностью .
Локализация и отделение корня
Локализация корней ¾ необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой прямой. Все следующие задачи решаются для каждого корня в отдельности.
Отделение корня ¾ нужно указать отрезок 
, внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения.
Оба шага выполняются с помощью исследования функции методами математического анализа. Обычно строится схема графика функции и на основании первой теоремы Больцано–Коши и признака монотонности функции делается вывод.
Теорема 1. (Первая теорема Больцано–Коши) Если функция 
непрерывна на отрезке 
и на его концах принимает значения разного знака, т.е. 
то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.
Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале 
функция 
возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной 
(неположительной) 
.
Т.о. первая теорема обеспечивает существование корня на отрезке, а вторая его единственность.
Дано уравнение 
. Отделить корень уравнения.
Перепишем уравнение в виде 
и построим графики функций.
Из рисунка видно, что корень принадлежит отрезку 
. Обоснуем это аналитически.
непрерывная.
, 
по теореме 1.1 на отрезке существует корень.
на , значит функция возрастает. Это обеспечивает единственность корня.
Метод половинного деления (бисекции)
Пусть имеется отрезок 
, содержащий единственный корень уравнения 
.
Ограничения. Никаких ограничений для функции нет.
Алгоритм. Обозначим отрезок 
. Делим отрезок пополам точкой 
. Если 
, из двух получившихся отрезков 
и 
выбираем тот, который содержит корень уравнения, т.е. тот на концах которого, функция принимает значения разных знаков, его обозначим 
. Этот новый отрезок делим пополам и т.д. В результате получим последовательность вложенных отрезков 
.
Теорема 3. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Эта точка и есть корень уравнения.
Правило остановки. Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка 
не станем меньше , действительно 
, тогда в качестве 
можно взять 
или любую точку этого отрезка.
Середина 
-го отрезка дает приближение к корню, имеющее оценку погрешности 
. Это показывает, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 
. Это довольно медленно.
· Метод очень прост.
· Не имеет ограничений
· Если есть проблемы с отделением корня и в отрезке их несколько, то не понятно к какому сходимся.
· Метод не применим к корням четной кратности.
· Не обобщается на системы уравнений.
Вычислим корень уравнения с точностью 
.
 |  |  |  |  |  | |||||||||||
| -1 | 1,718 | |||||||||||||||
| 0,5 | -0,101 | 1,718 | 0,5 | |||||||||||||
| 0,5 | 0,75 | -0,101 | 0,68 | 0,25 | ||||||||||||
| 0,5 | 0,625 | -0,101 | 0,259 | 0,125 | ||||||||||||
| 0,5 | 0,563 | -0,101 | 0,071 | 0,063 | ||||||||||||
| 0,531 | 0,563 | -0,016 | 0,071 | 0,032 | ||||||||||||
| 0,531 | 0,547 | -0,016 | 0,027 | 0,016 | ||||||||||||
| 0,531 | 0,539 | -0,016 | 0,005 | 0,008 Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция Алгоритм. Через точки кривой По рисунку видно, что точка пересечения хорды с осью абсцисс лежит правее точки т.е. или Эту точку будем считать первым приближением корня, т.е. Теперь вместо отрезка Таким образом, получим последовательность значений На следующем рисунке Теорема 4. Если функция Как видно, метод дает приближение к корню только с одной стороны и близость друг к другу последовательных приближений не обеспечивает близость к корню. При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом: Если Вычислим корень уравнения Ранее установлено, что корень принадлежит отрезку Т.к. Будем использовать правило остановки 1, для этого вычислим
|
на отрезке 
не имеет точек перегиба, т.е. 
постоянна по знаку.
проведем хорду: 
или после преобразований 
.
, т.е. находится ближе к корню, для нее 
,
.
.
. При этом получим точку 
и т.д.
: если 
, то 
.
, тогда 
.
, то уравнение 
.
, то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие 
. Это правило универсальное и может быть использовано для любого метода. Причем в силу выпуклости функции можно утверждать, что 
.
, 
для всех 
.
, 
.
и 
и возьмем 
.
из условия 
, т.е. конец отрезка противоположенный тому, который использовали в методе хорд.
проведем касательную к функции 
: 
. Положив 
, найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс: 
. Точка 
находится к корню ближе, чем 
.
, т.к. 
.
. Тогда 