В энергетической интерпретации уравнения бернулли для установившегося

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости

.

Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:

ü z –удельная потенциальная энергия положения – энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;

ü – потенциальная энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением р;

ü — полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;

ü – кинетическая энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью υ;

ü — полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).

3.7Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

Поток идеальной жидкости, как указывалось ранее, можно представить совокупностью элементарных струек жидкости. Скорости по сечению потока неодинаковы, причём в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются (струйная модель потока) (рисунок 3.4). Это означает, что различные струйки в одном сечении имеют различные значения кинетической энергии. Отсюда следует, что кинетическая энергия, посчитанная с использованием скоростей элементарных струек υ_S, и кинетическая энергия, посчитанная с использованием значения средней скорости потока υ, будет иметь разные значения.

Вводят коэффициент кинетической энергии или коэффициента Кориолисаα.Смысл этого коэффициента заключается в отношении действительной кинетической энергии потока в определённом сечении к кинетической энергии в том же сечении потока, но при равномерном распределении скоростей. При равномерном распределении скоростей его значение равно единице, а при неравномерном – всегда больше единицы и для любого потока его значение находится в пределах от 1 до 2 и более.

Учитывая коэффициент кинетической энергии, приведём уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, которое примет вид:

Надо учесть, что в общем случае в разных сечениях потока коэффициент α будет иметь различные значения. При ламинарном режиме движения a=2; при развитом турбулентном режиме a=1,05 ¸ 1,1. Для большинства технических задач обычно принимается a=1.

3.8 Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока H_потока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора Δh составят

,

где — напор в первом сечении потока жидкости,

— напор во втором сечении потока.

В этом случае уравнение Бернулли будет иметь вид

.

3.9Разность напоров и потери напора

Различие в применении терминов «разность напоров» и «потери напора»с одним и тем же обозначением Δh поясним на примерах.

Движение жидкости происходит только при наличии разности напоров(Δh = H₁— H₂), от точки с большим напором H₁к точке с меньшим H₂. Например, если два бака, заполненных водой до разных высотных отметок, соединить трубопроводом, то по нему начнётся перетекание в бак с меньшей отметкой уровня воды под влиянием разности напоров Δh, равной в этом случае разности отметок уровней воды в баках. При выравнивании уровней напоры в обоих баках становятся одинаковыми H₁= H₂, разность напоровΔh=0 и перетекание прекращается.

Потери напора Δh отражают потерю полной энергии потока при движении жидкости. Если в предыдущем примере на трубе установить задвижку и закрыть её, то движение воды прекратится и потерь напора не будет (Δh = 0), однако разность уровней воды будет создавать некоторую разность напоровΔh. После открывания задвижки вода вновь начнёт перетекать по трубе и общие потери напора в трубопроводе при движении из одного бака в другой будут равны разности напоров в баках Δh = H₁— H₂, то есть мы опять пришли к уравнению Бернулли.

Таким образом, «разность напоров»является причиной движения воды, а «потеря напора» — следствием. При установившемся движении жидкости они равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: метрах по высоте.

Обычно в гидравлических задачах при известных скорости или расходе Q определяемая величина Δh называется потерейнапора и, наоборот, при определении скорости или расхода Q известная Δh – разностью напоров.

3.10Кавитация

В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых руслах происходят явления, связанные с изменением агрегатного состояния жидкости, т. с. с превращением ее в пар, а также с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Например, при течении жидкости через местное сужение трубы (сечение 2-2) (рисунок 3.8) увеличивается скорость и падает давление согласно уравнению Бернулли

.

Рисунок 3.8 – Возникновение кавитации

Если абсолютное давление при этом достигает значения, равного давлению насыщенных паров этой жидкости при данной температуре, или давлению, при котором начинается выделение из нее растворенных газов, то в данном месте потока начинается интенсивное парообразование (кипение) и выделение газов. В расширяющейся части (сечение 3-3) скорость потока уменьшается, а давление возрастает, и выделение паров и газов прекращается; выделившиеся пары конденсируются, а газы постепенно вновь растворяются. Эта труба переменного сечения называется трубой Вентури, которая сначала плавно сужает поток, затем еще более плавно расширяет.

Это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке, называется кавитацией.

Размеры зоны кавитации возрастают по мере увеличения скорости потока жидкости т. е. при увеличении давления в сечении 1-1, а следовательно, и расхода. Но давление в узком сечении 2-2 постоянно, потому, что постоянно давление насыщенных паров.

Кавитация сопровождается характерным шумом и вибрациями, а при длительном ее воздействии также эрозионным разрушением металлических стенок. Последнее объясняется тем. что конденсация пузырьков пара (и сжатие пузырьков газа) происходит со значительной скоростью, частицы жидкости, заполняющие полость конденсирующегося пузырька, устремляются к его центру и в момент схлопывания пузырька вызывают местные удары, т. е. значительное повышение давления в отдельных точках. Материал при кавитации разрушается не там, где выделяются пузырьки, а там, где они конденсируются. Это явление называется кавитационным износом.

При возникновении кавитации значительно увеличивается сопротивление трубопроводов и, следовательно, уменьшается их пропускная способность, потому что каверны уменьшают живые сечения потоков, скорость в которых резко возрастает.

Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Она может возникать во всех местных гидравлических сопротивлениях, где поток претерпевает местное сужение с последующим расширением, например в кранах, вентилях, задвижках, диафрагмах, жиклерах и др. В отдельных случаях возникновение кавитации возможно также и без расширения потока вслед за его сужением, а также в трубах постоянного сечения при увеличении геометрической высоты и гидравлических потерь.

Кавитация возникает не только при движении жидкости в трубопроводе, но и при внешнем обтекании тел, в частности, на лопастях гребных винтов, рабочих колес насосов и гидравлических турбин.

Для оценки режима течения жидкости в каком-либо сечении потока вводят специальный критерий – число кавитации

,

где p,υ — давление и средняя скорость течения жидкости в данном сечении потока.

3.11Моделирование гидродинамических явлений

Существует два различных метода моделирования:

— физическое моделирование, т.е. на модели воспроизводится изучаемое явление с сохранением его физических свойств;

— математическое моделирование, т.е. исследование натурных состояний или процессов выполняется путем изучения явлений, имеющих иное физическое содержание, но описываемое теми же математическими зависимостями.

Кроме того следует различать две разных категории моделей:

— воображаемые или мысленные, которые не полностью отражают действительность и могут быть также названы идеальными телами или процессами. Эти модели исследуются теоретически и результаты их исследования могут быть применены к реальности с помощью поправочных коэффициентов. Эти модели могут быть описаны чертежами, словами или математическими знаками.

— материальные, которые воспроизводят в определенном масштабе конструкции или процессы, имеющие место в действительности. Эти модели могут быть воспроизведены в лаборатории или в полевых условиях.

Оба видов моделей могут относиться и к математическому и физическому моделированию.

В дальнейшем понятие моделирование будет относиться к «материальному физическому» моделированию.

В процессе проектирования различных гидросистем, трубопроводов, гидротехнических сооружений, гидравлических и газовых систем нередко возникает необходимость не только математического, но и натурного моделирования. В таком случае необходимо, чтобы работа гидросистемы действующей модели соответствовала функционированию реального объекта. Это означает, что различные характеристики потоков жидкости, которые имеют место в модели и в реальной системе, должны описываться одинаковыми закономерностями, хотя их численные значения могут существенно различаться. В натурной модели они меньше (как правило) или больше (встречается реже), чем в действительности. Для этого необходимо иметь критерии, которые позволяли ли бы «масштабировать» реальную систему. Эти критерии устанавливаются в теории подобия потоков жидкости.

Представим себе две геометрически подобные фигуры (рисунок 3.9). Сходственными точками этих фигур называются точки, одинаково расположенные по отношению к границам этих фигур. Причем в сходственных точках фигур на частицы жидкости (сплошной среды) действуют силы одной физической природы.

Рисунок 3.9 – Подобные потоки жидкости

Гидродинамическое подобие— это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки жидкости, т.е. подобие русел или трубопроводов, по которым течёт жидкость.

Например, для двух трубопроводов: .

где δ – линейный масштаб подобия.

Кинематическоеподобие это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей. Это значит, что для кинематического подобия потоков требуется соблюдение геометрического подобия.

Например, для вращающегося движущегося тела

.

Т.о. кинематически подобные системы всегда будут геометрически подобными.

Динамическое подобие заключается в пропорциональности сил, действующих на сходственные элементы кинематически и геометрически подобных потоков, и равенство углов, характеризующих направление действия этих сил.

Т.е. можно сказать, что динамически подобными системами будут такие, для которых векторные поля сил, действующих на жидкость, образованы одноименными силами, причем эти поля будут геометрически подобными и одинаково ориентированы относительно границ систем.

В потоках жидкостей (в нашем случае в трубопроводах, в гидромашинах и т.д.) обычно действуют разные силы – силы давления, силы вязкого трения, силы тяжести, инерционные силы. Соблюдение пропорциональности всех сил, действующих в потоке, означает полное гидродинамическое подобие.

На практике полное гидродинамическое подобие достигается редко, поэтому обычно ограничиваются частичным (неполным) гидродинамическим подобием, при котором имеется пропорциональность лишь основных сил.

Записывается подобие следующим образом. Например, пропорциональность сил давления Р и сил трения Т, действующих в потоках I и II, можно записать в виде

.

3.12Теория ламинарного и турбулентного движения жидкости

3.12.1Режимы течения жидкости в трубах

Еще в середине XIX века в результате опытов Гагена (1838 г.), Пуазейля (1841 г.) было установлено, что существуют два принципиально различных режима течения жидкости. Наиболее полно этот вопрос исследовал О.Рейнольдс (1883 г.). Различные режимы течения жидкости можно наблюдать вводя в поток подкрашивающую струйку красителя (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10 – Схема установки О. Рейнольдса.

Замечено, что при небольшой скорости воды струйка красителя вытягивается в тонкую нить, которая, не размываясь, достигает конца трубы. Это свидетельствует о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

Режим движения, при котором поток жидкости движется параллельно, скользящими друг относительно друга слоями или струйками, называется ламинарным. При этом режиме слои потока жидкости между собой не перемешиваются и движение происходит без пульсаций скорости. Ламинарный режим можно наблюдать в капиллярных трубках при движении вязких жидкостей типа нефти, мазута, сахарного сиропа и т. д.

Рисунок 3.11 – Схема развития турбулентности.

Если скорость воды в трубе увеличивать сверх определенного предела, то окрашенная струйка сначала приобретает волнообразное движение (рисунок 3.11), а затем начинает размываться, смешиваясь с водой. Такое неоднородное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по беспорядочным, хаотическим траекториям, налагающимся на осредненное движение, называется турбулентным. В турбулентном потоке происходят пульсации скоростей, под действием которых частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом) направлении, получают поперечные перемещения, приводящие к интенсивному перемешиванию потока по сечению.

Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при определённой средней скорости течения υ_ср, которая зависит от диаметра трубы и вязкости жидкости. Эту скорость называют критической и определяют по формуле

,

где — безразмерный коэффициент равный для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб.

Т.е. изменение режима течения происходит при определённом соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью ν

.

Полученное безразмерное число называется критическим числом Рейнольдса. С физической точки зрения число Рейнольдса есть отношение сил инерции потока к силам трения.

Опытным путём установлено, что критическое число Рейнольдса для круглых труб — 2320для круглых труб, а для других сечений 580.

Для определения режима движения в потоке надо найти фактическое число Рейнольдса Re , которое можно установить для любого потока по формуле

,

и сравнить его с критическим числом Re_кр.

При движении жидкости в прямых круглых трубах на участках, достаточно удаленных от входа, и при отсутствии различных возмущающих условий установлено, что

¾ при Re 2320 – режим движения жидкости – турбулентный.

,

где k_т и k_л – коэффициенты пропорциональности (сопротивления трубопровода).

Различие между ламинарным и турбулентным режимами имеется также и в распределении скоростей в живом сечении потока.

При ламинарном режиме распределение скорости по сечению имеет параболический закон (рисунок 3.12, а); при турбулентном режиме закон распределения более сложный (рисунок 3.12, б).

Рисунок 3.12 – Распределение скорости в поперечном сечении трубы при ламинарном и турбулентном режиме движения жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Определения

Элементарная струйка – струйка жидкости, боковая поверхность которой образована линией тока, проходящей через бесконечно малый замкнутый контур. Распределение скоростей по поперечному сечению элементарной струйки считается равномерным, по причине малости площади поперечного сечения, поэтому коэффициент Кориолиса равен единице.

Идеальная жидкость – модель жидкости, применяемая для расчётов реальных гидродинамических процессов.

Для идеальной жидкости приняты следующие допущения:

· отсутствуют касательные напряжения между слоями жидкости, следовательно,

отсутствует вязкость жидкости, следовательно, отсутствует трение между слоями жидкости, следовательно, в жидкости отсутствуют потери напора;

· жидкость является не сжимаемой;

· в жидкости отсутствует теплопроводность, т.е. жидкость не изменяет свой объём при изменении температуры;

· поток жидкости является сплошным, т.е. в жидкости отсутствуют места пустот или переуплотнений.

Виды уравнения Бернулли

Для элементарной струйки идеальной жидкости

Для элементарной струйки коэффициент Кориолиса равен единице, в идеальной жидкости отсутствуют потери, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

(1)

Для потока реальной жидкости

Для потока жидкости коэффициент Кориолиса будет иметь значение отличное от единицы, и зависеть от режима течения, для ламинарного режима α = 2, для турбулентного режима α = 1,05-1,1. Реальная жидкость имеет вязкость, следовательно, в реальной жидкости будут потери напора, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

Геометрический смысл уравнения Бернулли

Рассмотрим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости (1).

В уравнении (1) все три слагаемых имеют линейную размерность [м]. Соответственно каждую высоту можно представить в виде реальных отрезков:

геометрическая высота, представляет собой расстояние от оси элементарной струйки (трубопровода) до поверхности земли.

пьезометрическая высота, показывает на какую высоту, может подняться жидкость под действием избыточного давления в данной точке, при условии, что на свободную поверхность действует давление внешней газообразной среды (т.е. атмосферное давление).

скоростная высота, показывает высоту, при падении с которой, частица жидкости достигла бы скорости .

Рис. 1 Иллюстрация геометрического смысла уравнения Бернулли.

1 – элементарная струйка; 2 – пьезометр; 3 – трубка Пито (прибор для измерения скоростной высоты).

Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх слагаемых уравнения Бернулли остаётся величиной постоянной и равной величине полного напора Н [м].

(2)

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Умножим каждое слагаемое уравнения (2) на величину ускорения свободного падения:

В итоге получаем слагаемые, который можно описать с точки зрения энергии:

где удельная потенциальная энергия положения, т.е. если поднять жидкость массой 1 кг на высоту , то она будет иметь потенциальную энергию ;

удельная потенциальная энергия давления;

удельная кинетическая энергия;

полная удельная механическая энергия элементарной струйки.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх удельных энергий остаётся величиной постоянной и равной величине полной удельной механической энергии Е [Дж]. Возможна и другая формулировка: уравнение Бернулли – это есть закон сохранения энергии для элементарной струйки (потока) жидкости, который отображает взаимный переход кинетической и потенциальной энергии.

Потери

В потоке реальной жидкости в уравнение Бернулли добавляется слагаемое , которое

представляет собой величину потерь напора. Запишем уравнение Бернулли для двух произвольных сечений потока жидкости:

С геометрической точки зрения потери отображаются отрезком, расположенным над скоростным напором, при этом потери отображаются во втором сечении.

Рис. 2. Иллюстрация потерь напора.

С энергетической точки зрения это величина, показывающая, сколько энергии жидкость тратит на преодоление различных сопротивлений при переходе из первого сечения во второе сечение.

6. Порядок проведения расчётов:

1. Определить величину расхода жидкости:

2. Поскольку диаметры d₁=d₃, дальнейшие расчёты для широких частей трубопровода будут одинаковы. Поэтому будем проводить расчёт для одной широкой части трубопровода, при этом параметры жидкости, обозначая через индекс _1-3

Определить площади поперечного сечения трубопроводов S_1-3, S₂ [м];

3. Определить скорость течения жидкости:

4. Определить режим течения жидкости:

5. Определить величины скоростного напора: ;

6. На листе А4 построить график, зависимости изменения пьезометрического напора от

длины сечения трубопровода.По оси Х откладываются расстояния между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см

Рис. 3 Условное изображение исследуемого

трубопровода с точками подключения пьезометров.

По оси Y откладываются показания соответствующих пьезометров. В результате получится шесть точек, который соединяются ломаной линией. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

7. На листе А4 построить график, зависимость изменения скоростного напора от длины

сечения трубопровода.По оси Х откладывается расстояние между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см.

По оси Y откладываются значения скоростного напора. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

8. Вывод о работе с описанием графиков

Таблица 1. Результаты опыта

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для установившегося движения

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для установившегося движения

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для установившегося движения. Рассмотрим уравнение Бернулли для стационарного движения невязкой несжимаемой жидкости под действием силы тяжести и давления (4.13） 2 + п! Ре + У2 / 2§ копз!。 Где r-высота поперечного сечения элементарного потока на горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения. Эта высота легко дает ощущение energy. In дело в том, что когда плоскость сравнения является плоскостью потенциальной энергии нуля, то можно сказать, что потенциальная энергия mg передавалась при подъеме массы жидкости M на высоту r.

В результате r-Mrg / Mr представляет собой потенциальную энергию на единицу веса, а r называется удельной потенциальной энергией позиции. значение p / ryo также может иметь энергетическое значение. Рассмотрим основную струйку с площадью поперечного сечения u>0, давлением p, скоростью u. давление прикладывается к ПУ (.o. если частицы в этом сечении выходят за пределы расстояния u Людмила Фирмаль

• Эта работа относится к массе вытесненной жидкости ui1, Т объема. e.by деление ©кнана на исисиси, влияние давления на основе единицы веса жидкости Частица массой M и массой C = Mo, движущаяся со скоростью M и обладающая кинетической энергией mi2 / 2.Разделив эту кинетическую энергию на массу частиц, получим удельную кинетическую энергию (на единицу массы) U2 / 2d. Поэтому каждый член уравнения Бернулли представляет собой определенную потенциальную или кинетическую энергию. 86.

Сумма всех членов в уравнении Бернулли представляет собой сумму (потенциально положительное движение) энергии отношения жидкости в сечении потока. В приведенном выше примере удельная энергия была связана с удельным весом жидкости.Энергия также может быть отнесена к единицам массы[справочное уравнение（4.12）、（4.14）、（4.19）]или единичный объем. Общий потенциал и кинетическая энергия на единицу массы §Р+ п! п + » 72. Общая энергия на единицу объема §г + п + п » 72.

• Кроме того, если мы говорим об определенной энергии, то имеем в виду энергию, выделяемую на единицу веса. Удельная энергия определяется для произвольно выбранной горизонтальной опорной плоскости. Бернулли интерпретирует уравнение Бернулли для стационарного движения невязкой несжимаемой жидкости из энергетического положения следующим образом: в потенциальном движении и спиральном движении полная удельная энергия распределяется равномерно по всему потоку.

То есть она одинакова для любой пары точек в области, занимаемой движущейся жидкостью. При вихревых движениях (кроме спиралей) определенные энергии различаются в разных точках потока и постоянны только на каждой отдельной линии потока или линии вихря. Для Удельной (на единицу веса) энергии гидравлики используется термин напор. r + P’re + » 72 ^ = I.(4.22） Кроме того, r + p /p§называется пьезометрикой [(4.22) P = RPC case], или гидростатическим давлением. «2/25-скоростное давление.Я гидродинамическое давление.

Члены уравнения Бернулли имеют линейный размер, который можно интерпретировать как высоту.Р ■ геометрическая высота, или высота положения. p / p§ высота, соответствующая давлению, » 72 ^ высота скорости. Если вытянуть вертикальные сегменты r, p / p§и u2 / 2§из плоскости сравнения, то можно увидеть геометрическое положение ребер суммы этих сегментов. 。 4.3 его след представлен горизонтальной линией в верхней части, называемой линией давления или конкретной энергетической линией.

Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости. Людмила Фирмаль

• Если соединить концы отрезка r + p /ё, то получится пьезоэлектрический провод. Разница между высотой, соответствующей давлению, и высотой, соответствующей избыточному давлению Настройка Rat1re.Затем, в показанных 2 случаях (p или risb), как положение напорной головки, так и пьезометрическая линия являются rat/ p. Обычно под пьезометрической линией понимают линию, соединяющую концы сегмента, представляющего в общей сложности 2.

Пьезометрический наклон / n-это изменение пьезометрической головки r + p / p§ или изменение метки пьезометрической линии из-за общего случая, единицы длины. При движении потенциального шнека в данном потоке напорная поверхность равна 1, а при движении вихря каждая линия потока и вихревая линия имеют свою собственную напорную поверхность (след на рисунке-напорная линия). Линия пьезометра может быть уменьшена. Длина (r H ^

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института