В каких координатных четвертях расположен график уравнения

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 6. Контрольные вопросы и задания. Номер №7

В каких координатных четвертях расположен график функции:
y = 6 x;
y = 0,5 x + 4 ;
y = 3 x − 1 ;
y = − 3 ?

Решение

y = 6 x
k > 0 − график функции расположен в первой и третьей координатных четвертей.

y = 0,5 x + 4
k > 0 − график функции расположен в первой и третьей координатных четвертей.

y = 3 x − 1
k > 0 − график функции расположен в первой и третьей координатных четвертей.

y = − 3
k = 0 − график функции параллелен оси x и расположен в третьей и четвертых координатных четвертях.

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Расположение координатных четвертей на графике

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Ответ:Во-первых, речь идёт НЕ о графиках функций, а о нумерации четвертей, или квадрантов, при отсчёте углов вращения вокруг неподвижной точки (начала координат), в частности, в связи с тригонометрическими функциями. Во-вторых, в математике принят (во всём мире!) стандарт: вращение ПРОТИВ часовой стрелки считать в положительном направлении.

Соответственно, нумерация четвертей производится ПРОТИВ часовой стрелки, то есть в ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ направлении.

• Комментарии
• Отметить нарушение

Ответ

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Координатная плоскость — плоскость, в которой построена система координат. Обозначается плоскость как «x0y».

Обращаем ваше внимание на выбор длины единичных отрезков по осям.

Цифры, обозначающие числовые значения на осях можно располагать как справа, так и слева от оси «Oy». Цифры на оси «Ox», как правило, пишут внизу под осью.

Обычно единичный отрезок на оси «0y» равен единичному отрезку на оси «0x». Но бывают случаи, когда они не равны друг другу.

Оси координат делят плоскость на 4 угла, которые называют координатными четвертями. Четверть, образованная положительными полуосями (правый верхний угол), считают первой I.

Отсчитываем четверти (или координатные углы) против часовой стрелки.

Выясним, как в тригонометрии координатные четверти связаны с градусной и радианной мерой углов.

Тригонометрические углы получают в результате поворота луча OP вокруг точки O. Поэтому точка P соответствует углу 0°.

При положительном направлении обхода поворот луча происходит по часовой стрелке. Градусная мера всей окружности равна 360°. Каждая из четвертей занимает угол в 90°.

I координатной четверти соответствуют углы от 0° до 90°,

II — от 90° до 180°,

III — от 180° до 270°,

IV — от 270° до 360°.

Переводя градусную меру в радианную, получим аналогичное разбиение окружности по координатным четвертям в радианах:

Углы 0°, 90°, 180°,270°, 360° не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Отрицательные значения углов получают поворотом луча против часовой стрелки. Соответственно, иллюстрация разбиения по координатным четвертям в этом случае выглядит так:

Определить, углом какой четверти является угол:

а) 47°; -24°; 300°; 185°; -203°;1200°;

а) 47° — угол I координатной четверти, так как 0°

7π/6 — угол II координатной четверти, так как

Сравнение радианной меры угла с 0, π/2, π, 3π/2 и 2π иногда вызывает затруднения. В этом случае можно перевести радианную меру в градусную.

Другой способ: если дробь неправильная, можно найти ближайшее к коэффициенту перед π в числителе число, которое делится нацело на знаменатель, и представить числитель как сумму (или разность) этого целого числа и остатка.

Очевидно, что 7π/6>π. Поскольку π/6 — острый угол, то π/6

откуда 13π/8 — угол IV координатной четверти.

значит — 9π/5 — угол I четверти.

Следовательно, 19π/4 — угол II четверти.

Этот урок посвящен изучению координатной плоскости. Мы рассмотрим, для чего используются координатные плоскости, разберем основные сведения. Также на уроке мы узнаем способ получения координатной плоскости из обычной и решим задачи, в которых научимся строить точки по заданным координатам и определять координаты точек, изображенных на координатной плоскости.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты»

Основные сведения о координатной плоскости

Как известно, на каждом доме указаны его номер и название улицы – это адрес дома. На билете в любой зрительный зал написаны номер ряда и номер места – это адрес кресла. Для определения положения точки на глобусе надо знать долготу и широту – это адрес географической точки (географические координаты). Каждый объект имеет свой упорядоченный адрес (координаты). Таким образом, адрес или координаты – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.

Математиками была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале). Такая модель получила название координатная плоскость.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо начертить две перпендикулярные прямые, отмечая стрелками направления «вправо» и «вверх» (см. Рис. 1). На прямые наносят деления, как на линейку, причем точка пересечения прямых – это нулевая отметка для обеих шкал. Горизонтальную прямую обозначают и называют осью ординат.

Две перпендикулярные оси с разметкой называют прямоугольной, или декартовой, системой координат. Название «декартова» происходит от фамилии французского философа и математика Рене Декарта, который ее придумал.

Рис. 1. Координатная плоскость

Координаты точки

Для любой точки на координатной плоскости можно указать два числа (координаты). На рисунке 2 показана точка (см. Рис. 2).

Рис. 2. Определение координат точек на координатной плоскости

Можно сделать все и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.

1. Построить точки по заданным координатам

Для построения точки .

Для построения точки . (см. Рис. 3).

Рис. 3. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

2. Построить точки по заданным координатам

Для построения точки (см. Рис. 4).

Для построения точки (см. Рис. 4).

Рис. 4. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

Таким образом, если нулю равна координата .

Задача

1. Выписать координаты точек (см. Рис. 5).

2. Изобразить точки .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

1. Для определения координат точки (см. Рис. 6).

Для определения координат точки .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

2. Для построения точки .

Для построения точки .

Две координаты точки , то есть является точкой пересечения двух осей (начало координат).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Координатные четверти

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части – четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки (см. Рис. 8).

Рис. 8. Нумерация четвертей координатной плоскости

Если точка имеет положительную координату , то она лежит в первой четверти.

Если точка имеет отрицательную координату , то она лежит во второй четверти.

Если точка имеет отрицательную координату , то она лежит в третьей четверти.

Если точка имеет положительную координату , то она лежит в четвертой четверти.

Например, у точки отрицательная, следовательно, эта точка находится в четвертой четверти.

Другие системы координат

Чтобы присвоить точке числовой «адрес» (координаты), используются и другие системы координат.

Причины использования различных систем координат:

На этом уроке мы рассматривали прямоугольную систему координат на плоскости. Размерность такого пространства равна 2, то есть точка задавалась двумя координатами. Однако пространство может иметь другую размерность, например равную единице, когда точка может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад или вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта. Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет означать то расстояние, которое проехал автомобиль (см. Рис. 9), или этаж, на котором находится лифт (см. Рис. 10).

Рис. 9. Координата в данном случае – это расстояние, на которое отъехал автомобиль

Рис. 10. Координата в данном случае – этаж, на котором находится лифт

В математике такая система координат представлена числовой или координатной осью. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчета, масштаб и направление отсчета (см. Рис. 11). По одной координате можно однозначно понять, где находится точка.

Рис. 11. Координатная ось

Размерность пространства может быть равной трем (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны три координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. В математике такая система координат строится точно так же, как на плоскости, только добавляется третья ось (см. Рис. 12).

Рис. 12 Декартова система координат в пространстве

2. Другой метод задания координат точки (использование полярной системы координат на плоскости).

Проводится ось (см. Рис. 13).

Рис. 13. Полярная система координат на плоскости

В трехмерном пространстве строятся аналогичные системы, например сферическая или цилиндрическая система координат.

Таким образом, прямоугольная система координат широко применяется в математике, но не является единственной.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)

2. Интернет-сайт youtube.com (Источник)

3. Интернет-сайт exponenta.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Вопросы в конце раздела 45 (§9), задание 1393, 1394, 1396, 1398 (стр. 245-246) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 (Источник)

2. Выберите точки расположенные выше оси абсцисс: .

3. В координатной плоскости построить следующие точки, соединяющие их последовательно с предыдущей точкой отрезком (получите определенный рисунок): .

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.