В каких случаях используются приближенные (графические) методы решения уравнений?
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,296
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,203
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения
Название: Приближённые методы решения алгебраического уравнения Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 02:58:05 24 марта 2008 Похожие работы Просмотров: 3709 Комментариев: 35 Оценило: 4 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно Скачать |
рис 2.3 геометрическая иллюстрация условия Липшица.
рис 3.3 геометрическая иллюстрация cвязи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции.
Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную:
| f ¢(x)| £ m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной a=m. Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
где x1 , x2 , — произвольные точки отрезка [a, b] x, — некоторая точка отрезка [x1 , x2 ]. Возьмём модуль обеих частей равенства (4.3) и заменим в правой части | f ‘(x)| на m. В результате по- лучим неравенство (4.3) с a=m. Рис.2.3 даёт геометрическую иллюстрацию установленного свойства. Согласно формуле Лагранжа (5.3) каждой секущей графика функции y = f(x) мож- но поставить в соответствие параллельную её касательную. Поэтому наибольший тангенс угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m: |k| £ m.
Познакомившись с условием Липшица, перейдём к изучению итерационной последовательности, предполагая, что уравнение имеет корень x=c. Существование этого корня можно установить с помощью качественного предварительного исследования уравнения с применением теоремы о существовании корня непрерывной функции.
Теорема о существовании корня непрерывной функции
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x).
Теорема о сходимости итерационной последовательности
Пусть с – корень уравнения (2.3) и пусть функция j(x) удовлетворяет на некотором отрезке [c-d, c+d] (d>0) условию Липшица с постоянной a 2 |x0 -c| £ a 2 d
Точка x2 опять принадлежит отрезку [c-d, c+d] и расположена ближе к точке c, чем точка x1 , т.е. мы приблизились к c.
По индукции легко доказать, что последующие итерации также существуют и удовлетворяют неравенствам.
Отсюда следует, что:
, т. е.
Остаётся доказать, что корень x=c (1.3) является единственным решением уравнения на отрезке [c-d, c+d]. Действительно, допустим, что существует ещё один корень x=c1 .
Примем c1 за нулевое приближение и будем строить итерационную последователь- ность (2.3). Тогда с учётом (7.3) получим xn =c1 (n=0, 1, 2, …). С другой стороны, по доказанному , т. е. c1 =c. Никаких других решений уравнение на отрезке иметь не может.
Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения (1.3) может быть использована для приближённого определения корня с любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное количество итераций.
4. Быстрота сходимости процесса итераций
Используем теперь производную функции j(x) для оценки скорости сходимости итераций при решении уравнения х=j(x). Нужно оценить скорость, с которой убывают погрешности an =x-xn приближённых значений х1 , … , хn , … корня x.
Можно заметить, что справедливы равенства x=j(x) и хn+ 1 =j(хn ). Из них вытекает, что:
Но по формуле Лагранжа имеем:
где cn — точка лежащая между точками x и хn . Поэтому:
Из равенства (1.4) вытекает следующий вывод:
Пусть x – корень уравнения x=j (x) — лежит на отрезке [a, b]. Если на этом отрезке выполняется неравенство |j ¢(x)| n ·|a1 | (2.4)
В самом деле, из равенства (1.4) имеем:
Но точка c1 лежит на отрезке [a, b] (рис.1.4), и потому:
Тем самым наше утверждение доказано.
Так само при 0 n ·|a1 |.
Точно так же можно доказать, что если на отрезке [a, b] выполнено неравенство:
то процесс итераций расходится.
Особенно быстро сходится процесс последовательных приближений, если в точке x производная функции j(x) обращается в нуль. В этом случае по мере приближения к x, значение j ¢(x) стремится к нулю. Так как:
то сходимость процесса ускоряется по мере приближения к точке x.
Однако то же самое можно наблюдать в методе Ньютона, при замене f(x)=0 на имеем: и её производная: в точке x: f(x)=0 — в методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений.
5. Метод касательных (метод Ньютона)
Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x):
Графики функции f(x) и её касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка x1 пересечения касательной с осью Ox будет расположена недалеко от корня c (рис. 1.5)
Для определения точки имеем уравнение:
Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x=x1 и найдём для неё точку пересечения x2 с осью Ox (см. рис.1.5) x2 =x1 – f (x1 )/ f ¢(x1 ). Продолжая этот процесс, получим последовательность
Построение последовательности
При исследовании этой последовательности, как и последовательности метода итераций, встают два вопроса:
Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?
Если процесс (3.5) бесконечен, то как ведёт себя последовательность
При анализе этих вопросов предположим, что корень x=c является внутренней точкой отрезка [a, b] (a 0, | f ¢¢(x)|£M, xÎ[a, b], (4.5)
и докажем следующую теорему.
Теорема о сходимости метода касательных.
Если функция f(x) удовлетворяет условиям, сформулированным п.1., то найдётся такое d: 0 2 /(2M)
Тогда в силу (8.5) для данного e можно указать такое d: 0 ас, так как ас 2 — b — 1 = 0 (3.7)
Только положительный корень b квадратного уравнения (3.6) соответствует убыванию ошибки, т. е. сходящемуся процессу. Следовательно, в методе секущих
,
в то время как в методе Ньютона ошибка убывает быстрей (соответствуя b=2). Но в методе на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих – только функцию. Поэтому при одинаковом объёме вычисления в методе секущих можно сделать вдвое больше итераций и получить более высокую точность. Что является более приемлемым при численных расчётах на ЭВМ, чем метод касательных.
В знаменателе формулы (1.7) стоит разность значений функции. Вдали от корня это несущественно; но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы и очень близки. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счёта. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень; для простых корней это ограничение невелико. Приводить к общему знаменателю уравнение (1.7) не следует: может увеличится потеря точности в расчётах.
От «разболтки» страхуются так называемым приёмом Гарвика. Выбирают не очень малое e, ведут итерации до выполнения |xn + 1 -xn | 0, a f(x), a > x > b
В частности, если х0 корень уравнения (1.1): f(x0 ) = 0, отсюда следует, что
C (3.8) и (4.8) получаем:
поэтому из (5.8) следует x1 0, a 0,
, f(a1 ) 0
Если случайно окажется, что точка а3 , вычисленная по формуле (1.9), лежит за пределами отрезка [a, b], то на следующем шаге надо вместо этой точки взять ближайший к ней конец этого отрезка (рис. 1.9, б). Оказывается, что сходимость усовершенствованного метода хорд гораздо быстрее, чем у обычного. Именно, если x — корень уравнения f(x)=0, то:
|an + 1 | S , где
10. Комбинированный метод решения уравнений
При решении уравнений часто комбинируют методы хорд и Ньютона. Если график функции y=f(x) обращён вогнутостью вверх, то находят точки а1 и х1 по формулам:
(1.10)
(2.10)
Если же график функции y=f(x) обращён вогнутостью вниз, то точку а1 находят по формуле (1.10), а точку х1 – по формуле:
(3.10)
Как видно из рис.1.10 а) и б), корень x уравнения f(x)=0 лежит обычно между полученными точками а1 и х1 . Применяя снова к этим точкам формулы метода хорд и метода Ньютона, получают новую пару точек а2 и х2 и т. д.
Таким путём получают две последовательности точек а1 , а2 , а3 , …, an , … и x1 , x2 , x3 , … , xn , …, приближаются с разных сторон к искомому корню x. Преимущество описанного метода состоит в том, что при нём получаются приближённые значения как с избытком так и с достатком.
11. Заключительные замечания
Ситуация, когда одну и ту же задачу можно решить многими способами, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает необходимость сравнения их между собой.
При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:
простота организации вычислительного процесса и контроля над точностью;
Наиболее универсальным является метод деления пополам (дихотомии): он только требует непрерывности функции. Остальные методы накладывают более сильные ограничения. Во многих случаях это преимущество метода вилки может оказаться существенным.
С точки зрения организации вычислительного процесса все виды численного нахождения корней уравнения очень просты. Однако и здесь метод деления пополам обладает некоторым преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a, b], на концах которого непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков. Процесс будет сходится к корню уравнения f(x)=0, причём на каждом шаге он даёт для корня двустороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.
Приближенное вычисление корней в уравнениях
Приближенное вычисление корней в уравнениях
- Приближённое решение уравнений :
1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
- Способ касательных (или способ Ньютона).
- Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).
Приближённое решение уравнений.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений — алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)
C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) «зажат» между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а
Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.
Уравнение хорды имеет вид:
Поэтому в точке С:
Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f«(х).
Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f«(х)>0 (рисунок №3), — в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:
x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)
( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а 0
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
так как f(1,588)=-0,817 0
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).
В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f«(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2 (f`(x)>0, f«(x)>0), — в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:
и поэтому в точке Д:
Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`] поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате для нового приближённого значения корня получим:
х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).
Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим последовательность:
все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)
Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к значению Е
Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения
с точностью до 0,01.
В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f«(х)=12x^2.Так как f(х) и f«(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:
f(1,7)=0,952>0 и f«(1,7)>0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
1.3 Комбинированный способ
(комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е. принимаем:
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1 0 изображён на рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный единственный корень, лежащий на отрезке 1 0,f«(x)>0 т. е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:
Формулы (10) дают:
При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг:
При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:
Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми
Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!
http://www.bestreferat.ru/referat-95561.html
http://studyport.ru/referaty/tochnyje-nauki/3800-priblizhennoe-vychislenie-kornej-v-uravnenijah