Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости.
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых, так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости — признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 — 11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть — направляющий вектор прямой a , а — нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие коллинеарности векторов и : , где t – некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве, а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, — направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, — нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Перпендикулярны ли прямая и плоскость .
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является векторное произведение нормальных векторов плоскостей и . То есть, , откуда (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).
Заданное уравнение плоскости в отрезках эквивалентно общему уравнению плоскости вида . Нормальным вектором этой плоскости является вектор .
Проверим коллинеарность векторов и : .
Итак, направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости, следовательно, прямая не перпендикулярна к плоскости .
нет, прямая и плоскость не перпендикулярны.
Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости |
Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости |
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Определение . Прямой, перпендикулярной к плоскости , называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство . Рассмотрим сначала следующий случай.
Предположим, что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α и проходящим через точку O . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей на плоскости α и проходящей через точку O .
С этой целью отметим на прямой a произвольную точку A , а на прямой b произвольную точку B (рис. 1).
Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P’ точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP’ . Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP’ , то справедливы равенства
Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP’B , заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP’B равны. Следовательно,
Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P’BС ( BP = BP’ , , сторона BС — общая). Следовательно,
Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
Теперь перейдем к общему случаю.
Предположим, что что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей плоскости α (рис. 2).
С этой целью проведем через точку O прямые a’ , b’ и c’ соответственно параллельные прямым параллельные прямым a , b и c .
По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым a’ и b’ , проходящим через точку O, и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.
Замечание . Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.
Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α .
Свойства перпендикуляра к плоскости
Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.
Рисунок | Свойство |
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α. | |
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны | |
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны. | |
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. | |
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β. |
Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α.
Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны
Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство:
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β.
Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости
Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения
Прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.
Перпендикулярность обозначается « ⊥ ». Если в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ , тогда запись имеет вид с ⊥ γ .
Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.
При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.
Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности
Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.
Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10 — 11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.
При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.
Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ .
При a → = ( a x , a y , a z ) являющимся вектором прямой a , при n → = ( n x , n y , n z ) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a → = ( a x , a y , a z ) и n → = ( n x , n y , n z ) . Отсюда получаем, что a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z , t является действительным числом.
Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.
Доказать перпендикулярность заданной прямой x 2 — 1 = y — 1 2 = z + 2 2 — 7 с плоскостью x + 2 2 + 1 y — ( 5 + 6 2 ) z .
Знаменатели канонических уравнений являются координатами направляющего вектора данной прямой. Отсюда имеем, что a → = ( 2 — 1 , 2 , 2 — 7 ) является направляющим вектором прямой x 2 — 1 = y — 1 2 = z + 2 2 — 7 .
В общем уравнении плоскости коэффициенты перед переменными x , y , z являются координатами нормального вектора данной плоскости. Отсюда следует, что n → = ( 1 , 2 ( 2 + 1 ) , — ( 5 + 6 2 ) ) — это нормальный вектор плоскости x + 2 2 + 1 y — ( 5 + 6 2 ) z — 4 = 0
Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что
2 — 1 = t · 1 2 = t · 2 ( 2 + 1 ) 2 = t · ( — ( 5 + 6 2 ) ) ⇔ t = 2 — 1 , тогда векторы a → и n → связаны выражением a → = ( 2 — 1 ) · n → .
Это и есть коллинеарность векторов. отсюда следует, что прямая x 2 — 1 = y — 1 2 = z + 2 2 — 7 перпендикулярна плоскости x + 2 ( 2 + 1 ) y — ( 5 + 6 2 ) z — 4 = 0 .
Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.
Определить, перпендикулярны ли прямая y — 1 = 0 x + 4 z — 2 = 0 и плоскость x 1 2 + z — 1 2 = 1 .
Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.
Из прямой y — 1 = 0 x + 4 z — 2 = 0 видно, что направляющий вектор a → — это произведение нормальных векторов плоскости y — 1 = 0 и x + 4 z — 2 = 0 .
Отсюда получаем, что a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → — k → .
Координаты вектора a → = ( 4 , 0 , — 1 ) .
Уравнение плоскости в отрезках x 1 2 + z — 1 2 = 1 является эквивалентным уравнению плоскости 2 x — 2 z — 1 = 0 , нормальный вектор которой равен n → = ( 2 , 0 , — 2 ) .
Следует произвести проверку на коллинеарность векторов a → = ( 4 , 0 , — 1 ) и n → = ( 2 , 0 , — 2 ) .
Для этого запишем:
4 = t · 2 0 = t · 0 — 1 = t · ( — 2 ) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2
Отсюда делаем вывод о том, что направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости. Значит, y — 1 = 0 x + 4 z — 2 = 0 — это прямая, не перпендикулярная к плоскости x 1 2 + z — 1 2 .
Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolvesh.htm
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/perpendikuljarnye-prjamaja-i-ploskost-priznak-i-us/