В каких случаях телеграфное уравнение сводится к волновому

Волновое и телеграфное уравнения

Уравнение

(2.59)

где скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением. В приведенном уравнении обозначают декартовы координаты точки, время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

.

(2.60)

В одномерной области уравнение (2.60) принимает вид

.

(2.61)

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под понимают поперечное отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени );

б) продольные колебания упругого стержня ( продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;

г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь ( давление или расход).

(2.62)

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах ( сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

Уравнение теплопроводности

Уравнение

(2.63)

где параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности.

Оно имеет вид для плоского случая

(2.64)

.

(2.65)

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неустановившемся режиме распределения тепла (при этом означает коэффициент температуропроводности, а температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени ), о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках ( коэффициент пьезопроводности, давление в любой точке среды), о неустановившейся диффузии ( коэффициент диффузии, концентрация), о течении жидкости в магистральных трубопроводах ( давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением

,

(2.66)

где функция характеризует интенсивность функционирующих источников.

Уравнения (2.63) – (2.66) являются простейшими уравнениями параболического типа.

Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

(2.67)

называется уравнением Пуассонав трехмерном пространстве. Если в этом уравнении , то оно называется уравнением Лапласа:

.

(2.68)

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

2.19 КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией , характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени .

Функция удовлетворяет уравнению

,

(2.69)

где масса единицы длины (линейная плотность струны), сила, действующая на струну перпендикулярно оси и рассчитанная на единицу длины.

Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то уравнение

(2.70)

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

.

(2.71)

Граничные условия определяются поддерживаемым на концах струны режимом на протяжении процесса колебания. Так, если концы струны длины

закреплены, то отклонения в точках и равны нулю:

.

(2.72)

Будем говорить о трех типах граничных условий:

I

II

III ,

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) – однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при , удовлетворяющее начальным условиям

.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I — III при .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму ( ) и скорость каждой ее точки задается функцией . Рассмотреть случаи:

а) концы струны закреплены;

б) концы струны свободны;

в) к концам струны и , начиная с момента , приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

.

Здесь , натяжение, линейная плотность , т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

, , .

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом , т.е.

, , .

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию , определенную при и , являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай б). Если концы струны свободны, то внешние силы, приложенные к ним, равны нулю. И, следовательно, равна нулю сила натяжения , которая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению: , где коэффициент включает модуль упругости материала. Поэтому

, , ,

Задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения

, , ,

удовлетворяющее граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай в). Рассмотрим граничные элементы и . Запишем второй закон Ньютона для правого элемента , на который действует сила и сила натяжения :

Переходя к пределу при , получим

, откуда .

Аналогично получим условия для левого конца:

.

Таким образом, задача ставится так: найти в области , , решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям рода

,

и начальным условиям

, .

Случай г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.

, ,

где — коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим

, ,

иначе , .

Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям III рода

, ,

и начальным условиям

, , .

Телеграфные уравнения, волновое уравнение

Рассмотрим распределенную колебательную систему на примере двух­проводной линии. Если расстояние между проводниками мало в срав­нении с длиной линии l и длиной волны l, передаваемых колебаний в ней, то векторы магнитного и электрического поля лежат в плоскости, перпендикуляр­ной направлению линии, в этой плоскости удовлетворяют уравнению Лапласа и могут считаться потенциальными. Поэтому для малых участков

Рис. 79. Двухпроводная линия.

линии dx (рис. 79) мож­но ввести понятия потенциала, тока, распределенных ёмкостей и индуктивностей. Если система не излучает и не взаимодействует с другими проводниками, то в каждом сечении линии токи в обоих проводниках равны по величине и противоположны по направлению: i₁(x, t) = —i₂(x, t) = i(x, t).

Рассмотрим бесконечно малый элемент dx длины линии, обладающей индуктивностью L и ёмкостью C на единицу длины линии. Для участка dx линии можно записать уравнения Кирхгофа:

, ,

откуда легко получаются телеграфные уравнения:

, .

(9.1)

Из уравнений (9.1) легко получаются и волновые уравнения для тока и напряжения:

, ,

(9.2)

— фазовая скорость.

(9.3)

Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределённую электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую индуктивность и ёмкость, то в пределе система уравнений для цепочки (8.32) перейдёт в волновое уравнение (9.2). Координата x соответствует изменяющемуся номеру ячейки.

Частным решением волнового уравнения (9.2) являются любые функции вида

, ,

соответственно полное решение имеет вид:

.

(9.4)

Первое слагаемое описывает волну, которая распространяется, не меняя своей формы, в направлении возрастания x, а второе — волну, распространяющуюся с той же скоростью в сторону убывания x. Для процессов, синусоидальных во времени, решение (9.4) принимает форму

.

Здесь величина w(t ± x/v) называется фазой волны, а величина k = w/v — волновым числом. Волновое число характеризует пространственную периодичность волнового процесса, т. е. y(x + nl, t) = y(x, t), и связана с длиной волны соотношением: k = 2p/l.

Для токов и напряжений в линии решение уравнения (9.4) имеет вид:

(9.5)

Подставляя эти выражения в телеграфное уравнение (9.1), получим связь между коэффициентами:

, ,

где — волновое сопротивление линии. Учитывая связь между коэффициентами, перепишем (9.5) в виде

(9.6)

Погонные индуктивность и ёмкость линии определяются её геометрией. Для двухпроводной линии в системе СГС получаем

, ,

(9.7)

где r — радиус проводов, b — расстояние между ними.

Учитывая два последних соотношения, получим для волнового сопротивления следующее выражение:

[Ом].

Для коаксиальной линии имеем

[Ом],

где D и d — диаметры внешнего и внутреннего проводников.

Подставляя погонные L и C в (9.3), получим, что фазовая скорость волны в линии равна

.

(9.8)

Для двухпроводной линии с погонным сопротивлением проводников R и погонной утечкой G между ними телеграфные уравнения (9.1) принимают вид:

, .

(9.9)

Для гармонического во времени процесса уравнения (9.9) запишутся следующим образом:

, ,

где Z и Y — комплексные последовательное сопротивление и параллельная утечка, U и I — комплексные амплитуды напряжения и тока. Из этих двух телеграфных уравнений получим уравнение для U

,

.

Его решение имеет вид:

,

причём постоянная распространения g в данном случае является комплексной величиной. Представим её так:

.

Тогда мы вправе записать

.

Теперь и падающая и отражённая волны содержат множитель, характеризующий затухание. Поскольку и мнимая, и действительная части g являются нелинейными функциями частоты, то и фазовая скорость волны v = w/k зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Волновое сопротивление ли­нии с потерями тоже комплекснозначная функция частоты

.

Телеграфные уравнения однородной длинной линий

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Общие сведения

Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это связано с тем, что если длина волны λ электромагнитных колебаний соизмерима с размерами цепи l, то токи и напряжения в этой одномерной цепи являются функциями двух переменных – времени t и координаты x – u(t, x), i(t, x).

Исторически первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. двухпроводные линии передачи сигнала от источника к нагрузке (рис. 6. 1), длина которых l значительно превышает длину волны λ передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому часто эти цепи называют длинными линиями или линиями. При этом будем полагать, что конструктивные данные линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное расположение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются однородными.

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов (характера) изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных и временных характеристик цепи. С этой целью следует рассмотреть электрическую модель отрезка линии малой длины Δx = dx. Эта модель с достаточной точностью исследования может быть представлена электрической цепью с сосредоточенными параметрами (рис. 6.2). Всю линию можно представить как цепи с бесконечно большим числом малых по величине пассивных элементов, распределенных равномерно по ее длине.

На основании физических рассуждений можно составить следующую эквивалентную схему отрезка (рис. 6.2).

При прохождении тока вокруг проводника образуется внешнее магнитное поле, которое можно моделировать индуктивностью L₀. Она препятствует прохождению тока. Вместе с этим проводник обладает сопротивлением материала R₀. Следовательно, эти элементы должны быть соединены последовательно.

Проводники объединены конструктивно диэлектриком, который обладает конечной резистивной проводимостью G₀. Между проводниками линии создается разность потенциалов. Следовательно, вокруг проводников существует электрическое поле, накопление которого моделируется емкостью С₀.

Элементы L₀, C₀, R₀, G₀ называются параметрами линии (отрезка линии). Однако каждый отрезок линии имеет конечную длину Dx, поэтому вводятся понятия погонных параметров:

Телеграфные уравнения однородной длинной линий

Электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i(x, t) и напряжение u = u(x, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты x.

Составим на основе законов Кирхгофа дифференциальные уравнения для мгновенных напряжений и токов на отрезке линии длиной Δx по эквивалентной схеме на рис. 6.2.

(6.1)

Разделив обе части уравнений (6.1) на Δx, переходя к пределу при Δx → 0 и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим дифференциальные уравнения линии

(6.2)

Эти уравнения в частных производных называются телеграфными, так как впервые были получены для линии телеграфной связи.

Пусть к началу линии подключен генератор гармонических колебаний e(t) = E_mcos(ωt + φ₀), а к концу линии – сопротивление нагрузки Z_H (рис. 6.1). Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся гармонических колебаний.

Используя символический метод анализа гармонических колебаний, в котором

преобразуем уравнения (6.2) для мгновенных комплексных значений напряжения и тока

(6.3)

Здесь Z₁ = R₁ + jωL₁, Y₁ = G_{1 +} jωC₁.

Заменим в (6.3) частную производную на полную, т.к. и не зависят от времени. Осуществим разделение переменных, т.е. выразим ток через напряжение, а напряжение через ток. Для этого продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе уравнение. Получатся уравнения второго порядка

(6.4)

Введем обозначение Этот коэффициент называют коэффициентом распространения. Перепишем систему (6.4) в окончательном виде:

(6.5)

Уравнения (6.5) называются телеграфными уравнения однородной линии в комплексной форме. Они являются однородными, 2-го порядка, линейными (т.к. Z₁ и Y₁ не зависят от x).

Корни характеристического уравнения p 2 – γ 2 = 0 системы (6.5) равны

Общее решение первого уравнения системы (6.5) для напряжения в произвольной точке x линии ищем в виде

. (6.6)

Из первого уравнения системы (6.3)

.

Введя еще одно обозначение

– волновое сопротивлении, (6.7)

запишем решение для тока в точке x в форме

. (6.8)

Постоянные интегрирования A₁ и A₂ можно найти из начальных условий:

при x = 0 Ú_x = Ú₁ и Ì_x = Ì₁, где Ú₁ и Ì₁ – напряжение и ток в начале линии. Тогда из (6.6 и 6.8) для x:

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования в (6.6, 6.8) дает следующие уравнения для определения напряжении Ú_x и тока Ì_x в произвольной точке x длинной линии

(6.11)

Выражения (6.11) называют уравнениями передачи длинной линии.Они позволяют рассмотреть распределение напряжений и токов в однородной длинной линии в произвольной точке x.

Дата добавления: 2016-11-02 ; просмотров: 4547 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ