В каком классе изучают уравнения с модулем

Изучение модуля числа в средней школе

Разделы: Математика

Модуль является существенной характеристикой действительного числа. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. Так, в математическом анализе одно из первых фундаментальных понятий — понятие предела — в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности, также определяемое через понятие модуля. В механике одним из основных понятий является вектор, одной из характеристик которого служит его абсолютная величина.

С понятием модуля обучающиеся знакомятся в 6 классе. Модуль числа используется при формулировке правил действий над числами. И далее ни в одной теме нет планомерного изучения данного вопроса, поэтому необходимо, где только появляется возможность для более глубокого и осмысленного изучения модуля, включать задания, содержащие знак абсолютной величины.

В 6 классе можно решать с обучающимися уравнения вида |кх+в|=а, к|х|+в=к₁|х|+в_1. При изучении линейной функции в 7 классе целесообразно рассмотреть построение графиков, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, например, у= к|х|+в, у=|кх+в|, у=|к|х|+в| и т.д. Также имеется возможность рассматривать уравнения вида |к|х|+в|=с, |кх+в|=ах+с, а также некоторые системы уравнений. В 8 классе при изучении свойств арифметического квадратного корня находит свое приложение понятие модуля: vа 2 =|а|, vав=v|а|v|в|, где ав?0, а также приложения понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратичной функции и др. В 10-11 классах решение уравнений, неравенств и построение графиков с модулем рассматриваются для тригонометрических, степенных, показательной и логарифмической функций.

Для более глубокого изучения данного вопроса я разработала программу факультативного курса “Модуль числа”, где рассматриваются уравнения и неравенства с модулем, построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. В данной статье я рассматриваю основные виды уравнений с модулем и методы их решения.

Уравнения с модулем

1. Уравнения вида |f(х)|=а, где а 0

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(х)=а, и f(х)=-а, все решения которой являются решениями данного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: |х-3|=4.

По определению модуля имеем совокупность уравнений: х-3=4, х-3=-4. Откуда имеем х₁=7; х₂=-1.

Пример 2. Решить уравнение: |sin х+cos x|=1.

Решению подлежат два уравнения: sin х+cos x=1и sin х+cos x= -1. После преобразования получим:

cos(x-)=и cos(x-)=-. Следовательно, х₁= х₂=или х=

По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

В силу четности функции у=f(|х|)-а ее корни будут существовать парами противоположных чисел. Следовательно, достаточно решить одну из этих систем и добавить противоположные решения.

Пример. Решить уравнение: х 2 -|х|=6.

х 2 -х=6. Корни уравнения: х₁=-1(посторонний корень), х₂=3 (удовлетворяет условию х 0). Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3.

Для решения уравнений, в которых два и более модулей, лучше использовать метод интервалов. Для применения метода интервалов числовую ось надо разбить на промежутки так, чтобы на каждом из них подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом. Алгоритм решения выглядит следующим образом: найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части уравнения, т.е. х₁=-; х₂=-; …;х_п=-, пусть х₁ 2 -18|х|+5=0.

Ответ: х₁= — ; х₂= — ; х₃= ; х₄= .

5. Уравнения вида: |f(х)|= |g(х)|.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Пример. Решить уравнение: |х 2 -8х+5|= |х 2 -5|.

Ответ: х₁= 0; х₂= 1; х₃= 4.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241365 0