В каком классе изучают уравнения в задачах

УМК «Школа России» М.И. Моро 2 кл 1ч

Ахмедзянова Л.В. – ЗНО 116

Методика изучения уравнений в начальных классах.

Перед введением понятия «уравнение» необходимо повторить понятия: равенство, верное равенство, значение выражения. А также проверить уровень сформированности навыка читать буквенные выражения.

Изучение уравнений в младших классах должно подготовить учащихся к решению уравнений в средних и старших классах. Решение уравнений способствует формированию знаний о свойствах арифметических действий и формированию вычислительных навыков, а также развитию мышления учащихся.

Задачи обучения в данной теме:

· сформировать у учащихся представление об уравнении на уровне узнавания;

· сформировать умение понимать смысл задания «решить уравнение»;

· научить читать, записывать, решать уравнения той сложности, которая определена программой;

· научить решать задачи с помощью уравнений (алгебраический способ решения).

Основные подходы к обучению решению уравнений:

Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.

Этапы изучения уравнений:

Подготовительный

1. Какие записи верны?

3 + 5 = 8 7 + 2 = 10 10 – 4 = 5

Как изменить результат, чтобы записи стали верными??

2. Почитай выражение: 15 — в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.

3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.

□ — 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

УМК «Школа России» М1М ч1

УМК «Гармония» 1 класс, 2 ч Н.Б Истомина

Введение понятия «уравнение»

Учащимся сообщается, что в математике вместо □ используется латинские буквы (х, у, а, в, с) и такие записи называются уравнением: 3+х=6, 10 : х = 5 и т.п.

Важно на этом этапе закрепить у учащихся умение узнавать уравнение среди математических выражений: «Найди уравнение среди предложенных записей: х+5=6, х-2, 9=х+2, 3+2=5».

УМК «Школа России» М.И. Моро 2 кл 1ч

Рассмотрим одно уравнение:

Дети подбирают число, которое нужно прибавить к 5, чтобы получить 6. Так как число мы меняли, то смысл окошка в данном случае в том, что это переменная величина. Если мы используем другой способ и находим число как неизвестное слагаемое по правилу, то в этом случае число в «окошке» – это неизвестная величина. Говорим, что вместо окошка для обозначения неизвестного числа используют латинские буквы. Получаем запись:

Х+5=6

Уравнение –это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Решить уравнение – значит найти все такие значения X (если они есть), при которых равенство будет верным.То значение переменной, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называетсякорнем уравнения или решением уравнения.

Так же учащимся сообщается, как выполнить проверку при решении уравнения.

В начальных классах простейшие уравнения решают двумя способами:

1-способ подбора;

2-на основе зависимости между компонентами и результатом действий.

В основе способа подбора лежит трактовка понятия «уравнения», как равенства, содержащего переменную. При одних значениях переменной уравнение может обращаться в истинное числовое равенство, при других – нет. То значение переменной, при которой уравнение обращается в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения или решением уравнения.

Решение можно рассматривать в двух смыслах:

1) как корень уравнения;

2) как процесс решения.

Приспособе подборарешение уравнения записывают так:

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

1. Дать детям новое математическое понятие «уравнение». Формировать умение читать и записывать уравнение. Способствовать запоминанию, сознанию, пониманию, составления уравнений;
2. Способствовать развитию внимания, логического мышления, памяти, культуры математической речи.
3. Воспитывать самоконтроль, гигиенические навыки письма, аккуратное ведение записей в тетради.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

• Как называются числа при сложении?
• Как называются числа при вычитании?

• Первое слагаемое – 20, второе слагаемое – 40. Найти сумму?
• Найти сумму чисел 30 и 6.
• Уменьшаемое – 48, вычитаемое 5. Чему равна разность?
• Чему равна разность чисел 70 и 6?
• Увеличить на 4 числа : 15, 20, 61.
• Увеличить на 3 числа : 18, 30, 79.

• Состав числа 12?
• Состав числа 14, 16?

• На празднике было 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько всего детей было на празднике?
• В холодильнике яблок на 6 больше, чем апельсинов. Апельсинов – 9. Сколько яблок в холодильнике?
• В кукольном театре 60 кукол. В утреннем спектакле занято 20 кукол. Сколько кукол не занято в спектакле?

• Как называется это выражение?
• Прочитать выражение.
• Найти значение выражения:
  

  14+d	c-40
  d=23	c=95

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

У.: Вам знакома такая запись: + 4=12 ?

Д.: Это пример с окошечком.

У.: А такая: a +4 ?

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Скачать:

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?