В каком классе изучают уравнения высших степеней

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Учебная:

Развивающая:

1. Развитие внимания учащихся.
2. Развитие умения добиваться результатов труда.
3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

Воспитывающая:

Оборудование: компьютер, проектор.

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

1) Решение линейного уравнения.

Линейным называется уравнение вида , где по определению. Такое уравнение имеет единственный корень .

2) Решение квадратного уравнения.

Квадратным называется уравнение вида , где . Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения . Для уравнение корней не имеет, для имеет один корень (два одинаковых корня)

, для имеет два различных корня .

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение -й степени имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена на множители или с использованием замены переменной.

3) Решение кубического уравнения.

Решим кубическое уравнение

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: ; ;.

4) Решение биквадратного уравнения.

Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид (т.е. уравнения, квадратные относительно ). Для их решения вводят новую переменную .

Решим биквадратное уравнение .

Введём новую переменную и получим квадратное уравнение , корнями которого являются числа и 4.

Вернёмся к старой переменной и получим два простейших квадратных уравнения:

(корни и )

(корни и )

Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

; ;.

Попробуем решить уравнение используя выше изложенные приёмы.

4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида , где многочлен n-й степени

Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :

1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

3) Если на концах отрезка значения многочлена имеют разные знаки (т.е. ,), то на интервале находится хотя бы один корень. Это утверждение широко используется для приближенного вычисления корней многочлена.

4) Если число является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения , где многочлен (-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен . Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).

5) Если уравнение со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член ) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

5 этап работы. Показать как применяется теория делимости для решения уравнений высших степеней. Рассмотреть примеры решения уравнений высших степеней , в которых для разложения левой части на множители используется способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

Пример 1. Решим уравнение .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел: . Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен можно представить в виде произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

Итак, данное уравнение имеет три корня:

Пример 2. Решим уравнение .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

Аналогичным образом поступим и с многочленом .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде

произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

7 этап работы. Вывод урока.

Решить уравнения высших степеней можно следующим образом:

• используя формулы для нахождения корней (если они известны);
• используя замену переменной;
• раскладывая многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

Алгебра 11_ Уравнения высших степеней
план-конспект урока по алгебре

Обобщающий урок в 11 классе по темам многочлены и уравнения высших степеней, подготовка к конторольной работе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень)

Авторы учебника : А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2019г

Учитель: Фокина Н.Н.

Тема урока «Решение уравнений высших степеней»

Цели: Обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной переменной, многочленах от нескольких переменных, приемы решения целых алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

• повторить деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и следствие, теорему о целом корне многочлена, схему Горнера;
• сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения алгебраических уравнений;
• научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

• развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов;
• содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;
• ознакомить с логическими приемами мышления.

• воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;
• содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,
• воздействовать на мотивацию к учению с помощью историко-математического материала;
• содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: плакат с заданиями “Устно”, “Разложить на множители”, “Решить уравнения”.

Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изученной темы, сообщает цель и план урока (1 мин.)
2. Актуализация опорных знаний (8 мин.):

• повторение теории о многочленах: многочлены от одной переменной;
• многочлены от нескольких переменных (демонстрация слайдов);

3. Фронтальная работа “Устно” (3 мин.)
4. Решение задач (25 мин.):

I этап: алгебраические уравнения от одной переменной;
II этап: алгебраические уравнения от нескольких переменных;

а) работа в группах;
б) работа у доски;
в) работа с помощью интерактивной доски;

5. Самостоятельная работа учащихся (5 мин.)
6. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.)
7.Задание на дом, инструкция о его выполнении (1 мин.)

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята ! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ. ( цели урока , слайд 1,2). Девиз нашего урока : чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)

Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

У равнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

1. Вступительное слово учителя

(На доске тема, цели и задачи урока.)

умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Тему “Многочлены” (многочлены от одной переменной, многочлены от нескольких переменных) ученик формулируют сами.

Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Как говорил Анатоль Франс (1844–1924) “Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Будьте активны, внимательны. Сегодня каждый из вас оценит свои знания сам. Получите оценочные листы.

2. Актуализация опорных знаний самими учащимися.

– Внимание на экран (слайд 1, слайд 2. См. Приложение 1 )

“Основные приемы решения уравнений”
“Основные определения и понятия курса “Многочлены”

Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности.

Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а 0, ,а 1 ,…,а n являются объектами произвольной природы, а не только числами.
На доске (лицевая и обратная сторона) заранее заготовлены задания:

а) разделить “углом” многочлен (х 3 – 2х 2 + 3х -5) на многочлен (х 2 -3х – 1);
б) разделить “углом” многочлен (х 3 – 3х 2 + 5х — 15) на многочлен (х 2 +5) и два ученика, не видя друг друга, представляют свой вариант решения с последующим комментарием решения.

Учащеся знакомят с биографией Этьена Безу и Уильяма Джорджа Горнера (слайд 8, 9) (одним из интереснейших фактов жизни Этьена Безу является то, что ему удалось расшифровать тайную переписку испанского короля, тем самым помочь французскому королю выиграть войну с Испанией). У экрана следующий ученик доказывает теорему Безу, приводит пример на применение теоремы Безу

3. Подготовка к работе в «лаборатории» (Устно)

3.1. Найдите степень суммы многочленов: х 3 + 3х 2 + 1 и х 5 + х 4 + 6х 2 — 1.

3.2. Найдите степень произведения многочленов: (х 2 — 1)(х 3 + 1)(х + 1) и (х — 1) 3 (х + 1) 2

3.3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х 5 — 4х 4 + 5х 3 — 2х 2 + 7х — 1 на (х – 1)

3.4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х 4 — 2х 3 + 8 х 2 — х — 1?

3.5. Делится ли многочлен f (x) = х 5 — 7х 3 + х 2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?

Слайды 12, 13 “Схема Горнера”, комментирует ученик:

У доски учащийся демонстрирует применение схемы Горнера:

разделить (х 7 -2х 4 +27х+3) на (х+2), используя схему Горнера

Содержание курса математики в 7-9 классах

Содержание курса математики в 7-9 классах

(углубленный уровень)

Алгебра

Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби.

Изучается до 7 класса, закрепляется при использовании в следующих классах.

Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Действия с иррациональными числами. Свойства действий с иррациональными числами. Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел.

Представления о расширениях числовых множеств.

Изучается в 8 классе в связи с введением квадратных корней, затем используется в следующих классах.

Числовые и буквенные выражения

Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Законы арифметических действий.

Изучается до 7 класса, закрепляется при использовании в следующих классах

Преобразования числовых выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.

Степень с целым показателем изучается в 8 классе в делении на одночлен и стандартном виде числа, затем используется в следующих классах.

Одночлен, степень одночлена. Действия с одночленами. Многочлен, степень многочлена. Значения многочлена. Действия с многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление. Преобразование целого выражения в многочлен. Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности. Формулы преобразования суммы и разности кубов, куб суммы и разности. Разложение многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения. Многочлены с одной переменной. Стандартный вид многочлена с одной переменной.

Начинается изучение в 7-8 классах, используется в следующих классах.

Квадратный трехчлен. Корни квадратного трехчлена. Разложение на множители квадратного трехчлена. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Выделение полного квадрата. Разложение на множители способом выделения полного квадрата.

Тождественное преобразование. Представление о тождестве на множестве.

Абсолютные тождества изучаются в 7 классе, тождества на множестве в 8.

Алгебраическая дробь. Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление.

Преобразование выражений, содержащих знак модуля.

Изучается 8-9 классах.

Арифметический квадратный корень. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Изучается 8-9 классах

Корни n-х степеней. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих корни n-ых степеней. Преобразование выражений, содержащих корни n-х степеней.

Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем.

Изучается в 8 классе.

Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.

Изучается в 3-6 классах, в 7 класса повторяется и далее закрепляется при использовании.

Понятие уравнения и корня уравнения.

Изучается в 3-6 классах, в 7 классе повторяется и закрепляется при использовании.

Представление о равносильности уравнений и уравнениях-следствиях.

Изучается в 7 класса, с 8 класса закрепляется при использовании.

Представление о равносильности на множестве. Равносильные преобразования уравнений.

Изучается в 8-9 классах

Методы решения уравнений

Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.

Изучается в 7-9 классах

Использование свойств функций при решении уравнений.

В основном изучается в старшей школе, в основной школе встречается в отдельных заданиях.

Использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2.

В 9 классе рассматривается формулировка для уравнений 3 и 4 степени, но в решении не используется.

Линейное уравнение и его корни

Решение линейных уравнений. Количество корней линейного уравнения. Линейное уравнение с параметром.

Изучается в 6-7 классах, с 8 класса закрепляется при использовании.

Квадратное уравнение и его корни

Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Количество действительных корней квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений: графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратное уравнение с параметром. Решение простейших квадратных уравнений с параметрами. Решение некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.

Изучается в 9 классе

Решение дробно-рациональных уравнений.

Изучается в 8-9 классах

Простейшие иррациональные уравнения вида: ; , и их решение. Решение иррациональных уравнений вида .

Изучается в 8-9 классах

Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений в целых числах. Линейное уравнение с двумя переменными. Графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.

Изучается в 7-8 классах, а в 9 классе закрепляется при использовании

Представление о графической интерпретации произвольного уравнения с двумя переменными: линии на плоскости.

Изучается в 7-9 классах

Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений.

Представление о равносильности систем уравнений.

Изучается в 7-9 классах

Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными графический метод, метод сложения, метод подстановки. Количество решений системы линейных уравнений. Система линейных уравнений с параметром.

Изучается в 7-9 классах

Системы нелинейных уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод деления, метод замены переменных. Однородные системы.

Изучается в 8-9 классах

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных.

Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Доказательство неравенств. Неравенства о средних для двух чисел.

Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства.

Представление о равносильности неравенств.

Линейное неравенство и множества его решений. Решение линейных неравенств. Линейное неравенство с параметром.

Изучается в 7-8 классах, закрепляется в 9 классе при использовании

Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства. Квадратное неравенство с параметром и его решение.

Изучается в 9 классе

Простейшие иррациональные неравенства вида: ; ; .

Изучается в 9 классе

Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.

Изучается в 9 классе

Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.

Изучается в 8-9 классах

Неравенство с двумя переменными. Представление о решении линейного неравенства с двумя переменными. Графическая интерпретация неравенства с двумя переменными. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.

В основном материал рассматривается в старшей школе. В 8-9 классах встречается в задачах.

Прямоугольная система координат. Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты».

Изучается в 6 классе, с 7 класса закрепляется при использовании

Изучается в 7 классе

Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность, возрастание и убывание, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение, периодичность. Исследование функции по ее графику.

Изучается в 7-9 классах (периодичность отнесена в старшую школу к тригонометрическим функциям)

Свойства, график. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в зависимости от ее коэффициентов.

Изучается в 7 классе

Свойства. Парабола. Построение графика квадратичной функции. Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Использование свойств квадратичной функции для решения задач.

Изучается в 8-9 классах

Свойства функции . Гипербола. Представление об асимптотах.

Изучается в 8 классе

Степенная функция с показателем 3

Свойства. Кубическая парабола.

Функции, , .Их свойства и графики. Степенная функция с показателем степени больше 3.

Преобразование графиков функций: параллельный перенос, симметрия, растяжение/сжатие, отражение.

Изучается в 9 классе

Представление о взаимно обратных функциях.

Изучается в 8-9 классах

Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции.

Изучается в 9 классе, хотя в основном материал рассматривается в старшей школе

Последовательности и прогрессии

Числовая последовательность. Примеры. Бесконечные последовательности. Арифметическая прогрессия и ее свойства. Геометрическая прогрессия. Суммирование первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия. Сумма сходящейся геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда.

Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость.

Изучается в 9 классе

Решение текстовых задач

Задачи на все арифметические действия

Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.

Решение задач на движение, работу, покупки

Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.

Решение задач на нахождение части числа и числа по его части

Решение задач на проценты, доли, применение пропорций при решении задач.

Изучается в 5-9 классах

Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.

Изучается во 2-6 классах, с 7 класса закрепляется при использовании

Основные методы решения задач

Арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).

Изучается в 5-9 классах

Статистика и теория вероятностей

Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы,

извлечение нужной информации.

Изучается в 6 классе

Диаграммы рассеивания. Описательные статистические показатели: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения числового набора. Отклонение. Случайные выбросы. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение. Свойства среднего арифметического и дисперсии. Случайная изменчивость. Изменчивость при измерениях. Решающие правила. Закономерности в изменчивых величинах.

Изучается в 7-9 классах

Случайные опыты и случайные события

Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы). Вероятности элементарных событий. События в случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков. Представление событий с помощью диаграмм Эйлера. Противоположные события, объединение и пересечение событий. Правило сложения вероятностей. Случайный выбор. Независимые события. Последовательные независимые испытания. Представление эксперимента в виде дерева, умножение вероятностей. Испытания до первого успеха. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Изучается в 9 классе

Элементы комбинаторики и испытания Бернулли

Правило умножения, перестановки, факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Опыты с большим числом равновозможных элементарных событий. Вычисление вероятностей в опытах с применением элементов комбинаторики. Испытания Бернулли. Успех и неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.

Изучается в 7-9 классах

Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, отрезка и дуги окружности. Случайный выбор числа из числового отрезка.

Изучается в 8 классе

Дискретная случайная величина и распределение вероятностей. Равномерное дискретное распределение. Геометрическое распределение вероятностей. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Независимые случайные величины. Сложение, умножение случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины; свойства дисперсии. Дисперсия числа успехов в серии испытаний Бернулли. Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей и точность измерения. Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.

Выделенные темы изучаются в 9 классе

История математики

Возникновение математики как науки, этапы ее развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.

Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора

Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, , Э. Галуа.

Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных координат.

Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии.

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я. Бернулли, .

Роль российских ученых в развитии математики: Л. Эйлер. , , С. Ковалевская, .

Математика в развитии России: Петр I, школа математических и навигацких наук, развитие российского флота, .

Изучается в 5-9 классах за исключением истории вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех рассматривается в старшей школе в связи с открытием комплексных чисел, а также Петра I.