Иррациональные уравнения в курсе девятилетней школы
Разделы: Математика
C простейшими иррациональными уравнениями я знакомлю учащихся в 8 классе после изучения темы “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень” (п. 11). Затем на протяжении всего школьного курса продолжаю решать с учащимися эти уравнения, постепенно добавляя новые типы уравнений после изучения соответствующего материала в учебнике. Отдельных уроков на изучение иррациональных уравнений я не выделяю. Отработка навыков решения идёт:
а) в устных упражнениях, где, в основном повторяется алгоритм решения уже знакомых уравнений;
б) в письменных заданиях в классной работе;
в) в домашней работе.
При выполнении письменных упражнений обычно одно иррациональное уравнение решаю у доски я, затем одно уравнение – вызываю решить кого-нибудь из учащихся, аналогичное уравнение подбираю для задания на дом.
Такая работа проводится не на каждом уроке, это зависит от изучаемой темы, но всё же у учащихся постепенно вырабатывается навык решения иррациональных уравнений.
Итак, первое знакомство с иррациональными уравнениями происходит при работе по учебнику “Алгебра” (авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией Теляковского), 8 класс, п. 11: “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень”.
На первом уроке рассматривается весь теоретический материал, решаются упражнения типа №№ 287,288,289,291,293.
На втором уроке, при повторении теоретического материала, опять обращается внимание на тот факт, что равенство 
= в является верным, если выполняется два условия:
и на тот факт, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство: () 2 = а. Желательно на доске оставить такую запись:
= в.
|
) 2 = а,
,
.
= -2.
= 0.
х — 
= 0,| а) 2х + 1 = 10. | г)  = 3. |
| б) | х | = 5. | д)  · (х – 1) = 15. |
| в) 20: (х + 4) = 5. |
Ответ: пункт г) т. к. только здесь переменная содержится под знаком корня.
Домашнее задание: №№ 298,299,301 б),458 (а,г,д).
На последующих уроках в устных упражнениях можно решить следующие задания:
1) Показать, что число 7 является корнем уравнения:
 а)  =2 , | (  =  = 2). |
б)  = 6 , | (  =  = 6). |
в)  = 3 , | (  =  = 3). |
2) Решить уравнение:
| а) = 3 | (х = 9). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| б) = 7 | (х = 7 2 = 49). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
в)  = 0 | (2х – 1 = 0, х =  ). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
г)  = 0 | (3х + 2 = 0, х = — ). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
д)  = 4 | (- х = 16, х = — 16). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
е)  = 2 | 1) 2 > 0 2) х + 1 = 2 2 , х = 3. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж)  = 3 | 2) 3 > 0 2) х – 1 = 3 2 , х – 1 = 9 , х = 10. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
з)  = а | 3) если а 0 , х = а 2 . На дом можно добавлять к основному заданию уравнения типа: После изучения темы “Уравнение х 2 = а ” (п.12) даю для решения такое уравнение: 2) 74 – х 2 = 5 2 , 74 – х 2 = 25, х 2 = 49, х = ± 7. Ответ: — 7 ; + 7. На дом уравнение: 2) х 2 + 17 = 9 2 , х 2 + 17 = 81, х 2 = 64, х = ± 8. Ответ: х = ± 8. В п. 16 “Квадратный корень из степени” рассматривается формула: На втором уроке после работы с данной формулой можно предложить следующие уравнения:
4) х – 6 = 10, или х – 6 = — 10, К основному домашнему заданию добавляю уравнения : Затем в 8 классе изучается тема “Решение квадратных уравнений по формуле”. В конце изучения темы я всегда предлагаю решить такие иррациональные уравнения: а) Но решать неравенства мы ещё не умеем. Будем поступать так: решим уравнение и сделаем проверку. х 2 – 11х + 24 = 0, Д = 121- 4 · 24 = 121 — 96 = 25, х 1,2 = 3 = 3 — равенство верное, х = 8 является корнем уравнения. 2= — 2 — равенство не верное, х = 3 не является корнем уравнения. Как решить это уравнение – показываю у доски я сама. б) 3 + х + задаются на дом. Из дополнительных упражнений можно решить № 458 (б,в),№ 459. № 458. Решить уравнение:
№ 459. Решить уравнение: 1) 2 > 0, 2) 3 > 0, 3) 7 > 0, х = 7 2 , х = 49.
В конце 8 класса изучается тема “Неравенства”. Можно дать такой способ решения иррациональных уравнений: Д 1 = 9 – 1 · 5 = 4, х 1,2 = 3) 4) С помощью проверки решаем уравнения: В 9 классе совершенствуются навыки решения иррациональных уравнений. В № 11 (п.1 , Алгебра 9 под редакцией С.А. Теляковского) выполняем задание: “Найти область определения функции”: в) у = Так как у учащихся появляются навыки нахождения области определения функции вида: у = 1) Решить уравнение:
Так обычно многие учащиеся и записывают ответ: х = ± 3, х = 2. 1) делать проверку; 2) вместо проверки найти те значения х, которые можно подставлять в выражение .2 – х >= 0, х 2 = 3 сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу. г) 2) 4 – х >= 0, если х 2 – 24 – 2 1 способ. Пусть х 2 – 24 = у, тогда данное уравнение имеет вид: у — Эту замену учащиеся “видят ” без помощи учителя. 2 способ. Он более рациональный, я обязательно показываю его школьникам. Пусть Данное уравнение имеет вид:
Конечно, введя новую переменную Аналогично решаются уравнения: 2) х 2 + 13 — 2 3) 41 – х 2 — 2 4) х 2 + 11 + В 9 классе я продолжаю учить ребят работе с тестами. В них включаю следующее задание. [ 4 ] Вычислить: х 3 +2х, где х – корень уравнения 3 + Ответ: 1) 4, 2) 0, 3) — 2, 4) — 5, 5) — 3. Решение: Ответ указан в пункте 5). Так же в 9 классе даю решить несколько уравнений, содержащих два радикала:
К концу девятилетнего обучения в школе у учащихся уже сформированы начальные навыки решения иррациональных уравнений. В 10 классе их остаётся развить и углубить, решая по учебнику уравнения из раздела “Повторение”. В 11 классе появляется больше времени на решение нестандартных иррациональных уравнений, а так же на решение иррациональных неравенств, не входящих в школьный курс, но постоянно встречающихся на выпускных и вступительных экзаменах. Литература:
Иррациональные уравненияОбращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Урок изучения нового материала Тема: «Иррациональные уравнения» Учитель: Каляева Т.В. · Тип урока: Вводный урок ( урок усвоения новых знаний и формирования умений и навыков).
· формирование умений анализировать, сравнивать, делать выводы, формирование умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления и речи, внимания и памяти. · активизация мыслительной деятельности учащихся посредством практических заданий исследовательского характера и заданий повышенной сложности.
1. Организационный момент 2. Актуализация знаний. 3. Постановка проблемы. 4. Открытие учениками новых знаний. 5. Первичное закрепление. Решение тренировочных заданий. 6. Применение знаний, умений и навыков. 7. Подведение итогов 8. Информация о домашнем задании Методы работы: проблемный (исследовательский, поисковая беседа, проблемное изложение), объяснительно-иллюстративный, репродуктивный (практический), словесные методы (объяснение, эвристическая беседа, проблемное изложение), дифференцированный (работа с карточками). Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая (во время систематизации имеющихся знаний, для развития сотрудничества среди учащихся). Оснащение урока дидактическим материалом, наглядными пособиями, ТСО : компьютер, мультимедиа, карточки, доска. 1. Организационный момент Здравствуйте, ребята! Я рада сегодня Вас видеть и очень надеюсь на совместную плодотворную работу. Знание есть сила, сила есть знание. Выражение английского философа-материалиста Френсиса Бэкона (1561-1626) в «Нравственных и политических очерках». Сегодня мы изучим новую тему иррациональные уравнения. На эту тему отводится 3 часа. В 8 классе Вам дается лишь представление о достаточно сложном классе уравнений, каким являются иррациональные уравнения. В 11 классе эта тема рассматривается на более высоком уровне. Итак, открыли тетради. Записали дату и тему сегодняшнего урока: «Иррациональные уравнения». Открыли тетради. Записали дату и тему сегодняшнего урока. 2. Актуализация знаний 2. Актуализация знаний. Диалог учителя и учащихся. -Вы уже знаете и умеете решать разные типы уравнений. На доске записано несколько уравнений. Уравнения под каким номером Вы уже решали? Как называются такие уравнения? В чем отличие уравнения № 1 от уравнений № 2 и № 3? Цель сегодняшнего нашего урока научиться решать уравнения такого плана. Называются они иррациональными. Такие уравнения могут содержать один, два и более квадратных корней. Запишем в тетрадь определение иррационального уравнения. Прежде чем приступить к решению такого типа уравнений вспомним определение квадратного корня. Когда выражение Переменная в этом уравнении содержится под знаком квадратного корня. Уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня, называются иррациональными. Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. Выражение 4.Открытие учениками новых знаний Диалог учителя и учащихся. Учитель решает с объяснением на доске уравнение. Письменная работа в тетрадях Для того, чтобы успешно справиться с поставленными целями нам необходимо вспомнить некоторый теоретический материал: Как бы вы решали записанное уравнение Воспользуйтесь определением квадратного корня. Мы получим тоже самое, возведя обе части в квадрат. Уважаемые ученики, на ваших партах лежат листы, содержание задания части В типового варианта ЕГЭ по математике. Видите ли вы среди задания иррациональное уравнение. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению, возведя обе части в квадрат. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения – основной метод решения иррациональных уравнений. Но не единственный метод. Опираясь на определение квадратного корня выполним следующие задания с системой электронного голосования. Выберите номера верных равенств
Почему равенства, которые вы не выбрали неверны? При решении иррациональных уравнений вы также можете столкнуться с подобными ситуациями, когда при найденных значениях неизвестного уравнение не будет иметь смысл. Обратите внимание – прежде чем решать последнее уравнение необходимо уеденить корень – то есть перенести -7 в правую часть уравнения. Ученики записывают в тетрадь. Да. Это задание В5. Потому что они нарушают определение арифметического корня. В № 5 вычислительная ошибка. Ответ: 3. Нет корней Учитель на доске решает уравнение №2 Решение тренировочных заданий 6.Применение знаний, умений и навыков. Диалог учителя и учащихся. Письменная работа в тетрадях Работа с учебником Работа в группах. Два ученика работаю за доской, остальные работают в тетрадях. Потом я вместе с учениками проверяю тех, кто работал у доски. Учащиеся работают в четверках. Первая четверка, которая справится с заданием поднимает руку и выполняет задание у доски. Х=1 – посторонний корень Посторонний корень – это корень одного из промежуточных выражений, не являющийся корнем данного иррационального уравнения (то есть исходного уравнения) Ответ: нет корней. Нужно ли выполнить какое-нибудь преобразование с уравнением, прежде чем возводить в квадрат? Проверка показывает что х=-7 посторонний корень Читаем в учебнике правило на странице 176. Учебник № 30.2(б), № 30.6 (а), 30.18 (б) Следующее задание будет носить соревновательный характер (соревнование между группами). Ребята получают на парту задания на карточках. Если остается время, то устно задание из учебника № 30.5 (а, б) Письменно 30.4(а, б) Учащиеся обсуждают задание в группе. 7.Подведение итогов урока Цель нашего урока состояла в том, чтобы познакомится с понятием иррационального уравнения и научится решать некоторые типы иррациональных уравнений. Какие уравнения называются иррациональными? Перечислите основные этапы решения иррациональных уравнений. 8. Информация о домашнем задании. Выучить определение стр.174 (или в тетради), алгоритм стр. 176. Учебник: № 30.6 (б), 30.18(г) Творческое задание: мини-доклад «история иррациональных уравнений». Одного факта достаточно. Может быть, даже про иррациональные числа. Замечательно! Молодцы! Вы работали очень активно и дружно! Спасибо Вам за урок. Заготовки таблицы для каждого учащегося. Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Учащиеся заполняют таблицу. Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме Не понял, есть вопросы Хотел бы знать больше по этой теме
1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). 1). 2). Краткое описание документа:ТЕМА: Иррациональные уравнения Алгебра. 8 класс. Мордкович А. Г. и др. · Тип урока: Вводный урок (урок усвоения новых знаний и формирования умений и навыков). Методы работы: проблемный (исследовательский, поисковая беседа, проблемное изложение), объяснительно-иллюстративный, репродуктивный (практический), словесные методы (объяснение, эвристическая беседа, проблемное изложение), дифференцированный (работа с карточками).Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая (во время систематизации имеющихся знаний, для развития сотрудничества среди учащихся). Оснащение урока дидактическим материалом, наглядными пособиями, ТСО: компьютер, мультимедиа, карточки, доска. На тему «Иррациональные уравнения» отведено 3 часа. «Фактически дается лишь первое представление о таком достаточно сложном классе уравнений, какими являются иррациональные уравнения: применяется лишь метод возведения обеих частей уравнения в квадрат и метод введения новой переменной, дается представление о возможности появления посторонних корней, следовательно, необходимой проверки. Никаких разговоров о пресловутом ОДЗ, об изысках существования проверки пока нет. Все свое время – это будет сделано в учебнике для 11 класса». А. Г. Мордкович. Методы обучения и используемые приемы послужили способом создания максимальных условий для активной мыслительной деятельности учащихся. На протяжении всего урока использовала: практические, логические задания, мультимедийные средства для формирования интереса к предмету. Мотивацией к изучению новой темы послужила связь темы с ЕГЭ. Для обобщения и систематизации знаний были использованы различные приёмы и формы работы: работа в группах, фронтальный опрос. При проведении закрепления материала перед учащимися поставлена проблемная ситуация. Домашнее задание дано дифференцировано. Включает творческое задание. Алгебра и начала математического анализа. 10 классКонспект урокаАлгебра и начала математического анализа, 10 класс Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства Перечень вопросов, рассматриваемых в теме 1) понятие иррационального уравнения; 2) понятие иррационального неравенства; 3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений; 4) методы решения иррациональных неравенств. Глоссарий по теме Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня. Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Теоретический материал для самостоятельного изучения Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня. Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного. Рассмотрим виды иррациональных уравнений В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня. Из него следует, что а≥0, тогда Для нашего случая получим Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:
следовательно, решений нет Ответ: решений нет Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным. Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств. Разбор решения заданий тренировочного модуля Решим уравнение: Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:
Подчеркните корни данного уравнения Решим данное уравнение.
Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1 Решите уравнение: Рассмотрим область определения функций:
х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет. источники: http://infourok.ru/material.html?mid=58050 http://resh.edu.ru/subject/lesson/5569/conspect/ |
= 4; 
= 3.
= 5.
= 9.
= | х |.
= — 5,
= 1,
= 10,
= 10,
= 0;
= 5 ; 
= 6.
,
= 8 – 5,
= 3 – 5,
= — 2,
= х — решает у доски ученик. [ 1 ]
= х. (Ответ: 2) [ 2 ]
. (Ответ: 3) [ 1 ]
.
),
.
).
.
, 
.
, 
, 
.
, 
,
— равенство верно.
, х 1 = 5, х 2 = 1.
, 
= 
, 
= 
[ 1 ] , воспользовавшись формулой: (
) 2 = а, если а >= 0, т.е. левую и правую часть уравнения возводим в квадрат и проверяем, не появились ли постороние корни, подставляя найденное значение в исходное уравнение.
, (9 + х >= 0, х >= — 9).
; у = 
и т.п., то можно предложить учащимся следующие задания:
= 0,
.
, тогда (
, х 2 – 24 = а 2
,
,
. (Ответ: х = ± 6).
. (Ответ: х = ± 4).
. (Ответ: х = ± 5).
.
, х = — 1, х 3 + 2х = — 3.
— 
= 0. (Ответ: 6).
= 2 + 
. (Ответ: 7).
. (Ответ: 4).
— 
имеет смысл?
, 
.
.
не имеет смысла
Решите уравнение
или 
, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня 
, а у первоначального уравнения только один корень х=4.
