В каком классе проходят уравнения с модулем

Конспект урока по теме: «Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля»
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Конспект урока алгебры 7 класса по теме «Решеие уравнений, содержащих переменную под знаком модуля»

Скачать:

Вложение	Размер
konspekt_uroka_po_teme.doc	96 КБ

Предварительный просмотр:

Конспект урока по теме: «Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля»

Закрепить умение решать уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Проверить, как учащиеся научились решать такие уравнения.
Развить навыки самостоятельной работы учащихся и работы в группах.
Повысить интерес учащихся к математике.

Проверка домашней работы.
Сообщение целей урока, угадывание пропущенного слова в теме урока.
Устные упражнения:

а) нахождение модуля числа;
б) решение вычислительных примеров, содержащих модуль;
в) решение несложных уравнений.

Работа учащихся в парах.
Решение сложных уравнений с модулем.
Самостоятельная работа учащихся.
. Итоги урока, домашнее задание.

I. Проверка домашней работы.

На дом были даны такие задания:

Найдите значение выражения (№1209(1)):

( 0,7245 : 0,23 – 2,45 ) · 0,18 + 0,074

Решите с помощью уравнения задачу(№1226,б):

“ В первом классе 42 ученика, во втором на 3 ученика меньше, чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в этих трех классах 125 учеников?”

а) | x | = 5,2; б) | а | = -3 ; в) | у | = 0.

Составить уравнение для решения задачи:“ Пешеход прошел от автобусной остановки по прямой дороге 4 км. Укажите координаты точки, где будет находиться пешеход”.

Домашнее задание проверяется следующим образом:

№1 – ученики по очереди (глядя в свои тетради) называют действие и ответ к нему.

№2 – на одном из крыльев доски заранее написано:

При проверке этого номера учащиеся устно поясняют смысл выражений:

х ; х + 3 и х + х + 3 + 42, а решение полученного уравнения проверяют самостоятельно.

Классу задаются дополнительные вопросы:

1) что называется уравнением?

2) что называется корнем уравнения?

3) что значит- решить уравнение?

№ 3 проверяется следующим образом.

На доске написано такое решение уравнений

Ответ: х = 5,2. Ответ: а = — 3. Ответ: у = 0.

Учащиеся исправляют ошибки, допущенные при решении пунктов а) и б), повторив при этом определение модуля числа и каким может быть модуль числа.

При ответе на последний вопрос используется плакат:

(В 6 классе я использую именно такой вариант раскрытия модуля числа).

К № 4 на доске чертеж:

Решение: (разбирается устно ). В задаче не уточняется, в какую именно сторону двигался пешеход. Значит, он может находиться на расстоянии 4 км вправо или 4 км влево от остановки.

Ответ: уравнение: | х | = 4.

После проверки домашней работы учитель вытирает ту часть доски, где было записано домашнее задание.

II. Сообщение темы и целей урока.

На доске записаны слова.

Решение уравнений, содержащих…..

А дальше висит плакат рисунком к доске. Учитель предлагает узнать недостающее слово в теме урока, расшифровав ребус. Для этого плакат переворачивается рисунком к учащимся. рисунок 1 >.

Дети угадывают слово “ модуль ”, плакат убирается, учащиеся пишут в тетрадях, а учитель дописывает на доске тему “ Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля ”.

Далее учитель сообщает цели урока и план работы.

III . Устные упражнения.

а) Вычислить: | 18 |,| -7,1 |, | |,| -0,3 |, | 19 |, | -19 |, (здесь обращается внимание на то, что числа 19 и –19 — противоположные, но их модули равны и повторяется формула | a | = | — а |).

б) Следующее задание – взобраться по ступенькам к открытке и угадать написанную на открытке загадку. При этом на первую ступеньку помещается ответ к примеру под № 1, на вторую ступеньку – ответ к примеру № 2 и т.д. Примеры записаны на обратном крыле доски, а ступеньки нарисованы на магнитной доске. Карточки с ответами крепятся к магнитной доске с помощью магнитов, их легко двигать. Карточек дано больше, чем примеров, чтобы учащиеся считали, а не “подгоняли” оставшиеся ответы. рисунок 2 >.

Если все примеры решены правильно рисунок 3 >, то перевернув карточки, учащиеся прочитают слово “молодцы”. рисунок 4 >.

На открытке дана загадка : “ Это есть у растения, может быть у уравнения ”.

Значит в следующем задании мы будем искать корни уравнений.

в) Решить уравнения:

| х | = 7, | -х | = 7, | х | + 5 = 20, | х | = -5, | у | — 5 = 15,

| 2 х – 6 | = 0, | х – 1 | = 0, 2 ·| у | = 4,6 .

Здесь используется плакат, на котором данные уравнения написаны в кроне деревьев, в бутонах цветов, а ответы спрятаны под травой в корнях. рисунок 5 >.

Как только учащиеся решили уравнение, учитель вынимает из прорези траву и детям видно, верно или нет решено уравнение. рисунок 6 >.

Здесь учитель должен обратить внимание на то, что один листик пожелтел и упал. Почему? Потому что уравнение | х | = — 5 не имеет корней.

IV. Работа в парах.

У каждого ученика на столе лежит карточка – консультант с решенными пятью примерами (эти примеры характеризуют обязательный минимум). Учащиеся первого варианта берут в руки карточки со вторым вариантом, диктуют задания учащимся, сидящим на втором варианте, следят за решением, тут же исправляют ошибки – это легко сделать, глядя в карточку – консультант (которую я больше люблю называть шпаргалкой) и выставляют оценки. Затем происходит все наоборот.

Карточка – консультант для групповой работы

Ответ: у = 8, у = -8.

нет решений (т.к. модуль числа не может быть отрицательным).

Ответ: нет решений.

(Вспомни правило, как найти неизвестное уменьшаемое)

х = 16, х = -16 . Ответ: х = 16, х = -16.

Карточка – консультант для групповой работы

Ответ: х = 5, х = -5.

нет решений (т.к. модуль числа не может быть отрицательным).

Ответ: нет решений.

( Вспомни правило, как найти неизвестное вычитаемое)

х = 3, х = -3, Ответ: х = 3, х = — 3.

V. Решение уравнений.

№ 1.(решает у доски ученик) 2 + | х + 3 | = 5 ( | х + 3 | — неизвестное слагаемое )

х + 3 = 3 или х + 3 = -3

х = 3 – 3 или х = -3 – 3

Проверка : если х = 0, то 2 + | 0 + 3 | = 2 + 3 = 5, 5 = 5, верно

если х = -6, то 2 + | -6 + 3 | = 2 + | -3| = 2 + 3 =5, 5 = 5, верно

( можно сделать устно ).

Ответ : х = 0, х = -6.

№ 2.(решает у доски ученик) 7 — | 2х – 1 | = 4 ( | 2х – 1 | — неизвестное вычитаемое)

2х – 1 = 3 или 2х – 1 = -3

2х = 3 + 1 или 2х = -3 + 1

2х = 4 или 2х = -2

х = 4 : 2 или х = -2 : 2

Ответ : х = 2, х = -1 .

№ 3. Решают самостоятельно, а один ученик решает на обратной стороне крыла доски, затем решение проверятся

х + 4 = 12 или х + 4 = -12

х = 12 – 4 или х = -12 – 4

Ответ: х = 8, х = -16.

Замечание : так как урок проводился до изучения п.42 “Решение уравнений”, где изучается правило о переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, то мы данные уравнения решали выделением неизвестного слагаемого, множителя и т.д. А после изучения п.42 стали применять данное правило и при решении уравнений с модулем.

VI. Самостоятельная работа учащихся (на два варианта).

У каждого учащегося есть заранее напечатанный текст самостоятельной работы, учащиеся дописывают туда решение и ответы. За первые пять примеров ставится только “3”. Тому, кто решил все задания, дополнительно даются карточки с уравнениями :

К – 1 4·| х – 2 | — 6 = 10

К – 2 | х – 5 | — 7 = 3

К – 3 3·| х – 3 | — 5 = 4

К – 4 | 8 — х | = 12

К – 5 3·| х – 2 | — 4 = 11

К – 6 2 -| х + 3 | = 0

К – 7 21 😐 х – 5 | = 3

Самостоятельные работы собираются на проверку.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241195 0

Изучение модуля числа в средней школе

Разделы: Математика

Модуль является существенной характеристикой действительного числа. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. Так, в математическом анализе одно из первых фундаментальных понятий — понятие предела — в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности, также определяемое через понятие модуля. В механике одним из основных понятий является вектор, одной из характеристик которого служит его абсолютная величина.

С понятием модуля обучающиеся знакомятся в 6 классе. Модуль числа используется при формулировке правил действий над числами. И далее ни в одной теме нет планомерного изучения данного вопроса, поэтому необходимо, где только появляется возможность для более глубокого и осмысленного изучения модуля, включать задания, содержащие знак абсолютной величины.

В 6 классе можно решать с обучающимися уравнения вида |кх+в|=а, к|х|+в=к₁|х|+в_1. При изучении линейной функции в 7 классе целесообразно рассмотреть построение графиков, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, например, у= к|х|+в, у=|кх+в|, у=|к|х|+в| и т.д. Также имеется возможность рассматривать уравнения вида |к|х|+в|=с, |кх+в|=ах+с, а также некоторые системы уравнений. В 8 классе при изучении свойств арифметического квадратного корня находит свое приложение понятие модуля: vа 2 =|а|, vав=v|а|v|в|, где ав?0, а также приложения понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратичной функции и др. В 10-11 классах решение уравнений, неравенств и построение графиков с модулем рассматриваются для тригонометрических, степенных, показательной и логарифмической функций.

Для более глубокого изучения данного вопроса я разработала программу факультативного курса “Модуль числа”, где рассматриваются уравнения и неравенства с модулем, построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. В данной статье я рассматриваю основные виды уравнений с модулем и методы их решения.

Уравнения с модулем

1. Уравнения вида |f(х)|=а, где а 0

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(х)=а, и f(х)=-а, все решения которой являются решениями данного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: |х-3|=4.

По определению модуля имеем совокупность уравнений: х-3=4, х-3=-4. Откуда имеем х₁=7; х₂=-1.

Пример 2. Решить уравнение: |sin х+cos x|=1.

Решению подлежат два уравнения: sin х+cos x=1и sin х+cos x= -1. После преобразования получим:

cos(x-)=и cos(x-)=-. Следовательно, х₁= х₂=или х=

По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

В силу четности функции у=f(|х|)-а ее корни будут существовать парами противоположных чисел. Следовательно, достаточно решить одну из этих систем и добавить противоположные решения.

Пример. Решить уравнение: х 2 -|х|=6.

х 2 -х=6. Корни уравнения: х₁=-1(посторонний корень), х₂=3 (удовлетворяет условию х 0). Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3.

Для решения уравнений, в которых два и более модулей, лучше использовать метод интервалов. Для применения метода интервалов числовую ось надо разбить на промежутки так, чтобы на каждом из них подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом. Алгоритм решения выглядит следующим образом: найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части уравнения, т.е. х₁=-; х₂=-; …;х_п=-, пусть х₁ 2 -18|х|+5=0.