Уравнения с параметрами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме
Урок по теме: «Уравнения с параметрами»
1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.
1. Организационная часть.
2. Повторение пройденных тем.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного.
5. Домашнее задание.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_po_teme_uravneniya_s_parametrami.docx | 36.51 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок по теме: «Уравнения с параметрами»
- Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
- Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
- Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.
- Организационная часть.
- Повторение пройденных тем.
- Изучение нового материала.
- Закрепление изученного.
- Домашнее задание .
1. Организация урока.
Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.
1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.
а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.
ах = в — линейное
а 0 х = — один корень,
а = о, в 0 — нет корней,
а = 0, в = 0 — х – любое число.
б) 2х 2 – 3х + 6 = 0
Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.
ах 2 + вх + с = 0 , а 0 — квадратное
1. Если Д > 0, то 2 корня,
2. Если Д = 0, то 1 корень,
Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.
Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.
х при х > 0,
— х при х
2) Чем отличаются уравнения а х = в и 3х = 6, а х 2 + в х + с = 0 и 2х 2 –3х+6 = 0?
(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).
Учитель: Действительно, в уравнениях а х = в и а х 2 + в х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке
3. Изучение нового материала.
1) Определение . Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.
Примеры: а x + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),
а x 2 + в x + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).
2) Чаще всего встречаются две постановки задач.
Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.
Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
Пример: ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0
Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а , необходимо найти решения.
Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.
Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.
1). Простые уравнения без ветвлений:
а) x – а = 0 Ответ: при а ( — , + ) х = а .
б) 5x = а Ответ: при а ( — , + ) х = .
в) x : 2 = а Ответ: при а (- , + ) х = 2 а .
г) [x] = [ а ] Ответ: при а (- , + ) х = ± а .
д) x 3 = а Ответ: при а (- , + ) х = .
2). Простые уравнения с ветвлениями:
а) а x = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.
б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.
в) [х] = а Ответ: при а а = 0 х = 0, при а > о х = а.
г) ( а 2 – 4)x = а 2 + а – 6
Решение г). Если а 2 – 4 0, т.е. а ± 2, то х = .
При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.
При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.
Ответ: при а ± 2 х = ,
при а = — 2 корней нет,
при а = 2 х – любое число.
(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).
Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.
Найдем а , при котором х = 2
Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.
Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.
2) ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0.
(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).
Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.
Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).
Задачи с параметрами для 10-11 класса
Задачи с параметрами
(10 – 11 классы)
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнениене имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же
, то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же
, то решением является любой . Сформируем
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство:
При уравнение не имеет решений.
Ответ: а Î (-5, 4).
Линейные неравенства с параметрами
Пример 1. Решить неравенство:
Если , то . Если , то . Если , то при решением является любой , а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. . Если скобка перед положительна, т.е. при , то . Если скобка перед отрицательна, т.е. при
, то . Если же или , то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
Просмотр содержимого документа
«Задачи с параметрами для 10-11 класса »
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами
Уравнение
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a 2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнениене имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же
, то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же
, то решением является любой . Сформируем
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство:
При уравнение не имеет решений.
Линейные неравенства с параметрами
Пример 1. Решить неравенство:
Если , то . Если , то . Если , то при решением является любой , а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. . Если скобка перед положительна, т.е. при , то . Если скобка перед отрицательна, т.е. при
, то . Если же или , то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. При имеем неверное неравенство , т.е. решений нет. Пусть , тогда при оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство , т.е. решений нет. Если , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство , т.е. , т.е., решением является любой . Если оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство , т.е. , решением является любой . Объединяя оба ответа, получим, что при .
Пусть , тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа . Т.о., при решений нет.
Ответ. При , при решений нет.
Замечание. Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и -а .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства удовлетворяют неравенству .
Решение. Решением неравенства является множество , а решением неравенства является множество . Чтобы
удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В ( ). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда
Пример 5. Найти все значения a , при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо
выяснить, какой корень больше. и
. Т.о., при и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
При и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы .
При (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид : .
Пример 6. При каких значениях параметра а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение. Функция монотонно возрастает, если коэффициент при неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при отрицательный.
Выясним знак коэффициента при . . .
Пусть . Тогда функция монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если
. Вместе с условиями получим : .
Пусть . Тогда функция монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
2. Векторы на плоскости
Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами:
Модуль (длина) вектора: .
где — угол между векторами.
Условие параллельности двух векторов: . Т.е.
у параллельных векторов координаты пропорциональны.
Условие перпендикулярности двух векторов: . Т.е. два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если вектор задан своими концами и , то вектор .
Задача 1. Через точку провести прямую, параллельную вектору .
Решение. Пусть точка — текущая точка искомой прямой. Тогда вектор параллелен вектору . Тогда выписывая условие параллельности, получим уравнение искомой прямой:
Переписав в виде , получим уравнение с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку .
Задача 2. Через точку провести прямую, перпендикулярную вектору . Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к прямой илинормалью к прямой.
Решение. Пусть точка — текущая точка искомой прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору . Тогда выписывая условие перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой:
Раскрыв скобки и обозначив число , получим так называемое общее уравнение прямой:
В этом уравнении коэффициенты при и являются координатами нормального вектора прямой.
Всякая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, где с одной стороны прямой и с другой стороны. При этом точки той
части плоскости, куда смотрит вектор , удовлетворяет неравенству . Поэтому:
В направлении вектора функция возрастает, а в направлении вектора она убывает.
Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Решение. У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е. . Согласно задаче 2 получим искомое уравнение: или .
3. Системы двух линейных уравнений с параметрами
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
Решение. Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим: .
Если — единственное решение. Если , то если , то решений бесконечно много: . Если
же , то решений нет.
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
Решение. Система не имеет решений, если .
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
Прямые параллельны , если . При этом прямые не совпадают, поэтому при решений нет.
Если , то выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим: .
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b
найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если то система принимает вид: . Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
Аналогично, если то система принимает вид: Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
4. Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
не имеет решений?
Решение. Система имеет решения только если .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение. При первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений, так как , а . Пусть , тогда т.е.
решения есть при , и , так как при выполнено неравенство , то решение запишется в виде .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 3. При всех значениях а решить систему
Решение. Перепишем систему неравенств в виде . Рассмотрим все возможные случаи.
1) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
2) . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
3) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:
4) . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
5) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
при и при решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
При система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: .
http://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/zadachi-s-paramietrami-dlia-10-11-klassa