В каком классе вводится понятие об уравнении

Теоретические основы формирования понятия уравнения в начальной школе; методика введения понятия уравнение на примере разных УМК
статья по математике (2 класс)

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.

Понятие уравнение относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом математики.

В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова, дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Е.А. Крапивина, говорит о том, что уравнение, представляет собой равенство, содержащее в себе неизвестное число, значение которого нужно найти.

И.А. Моргунова, указывает на то, что понятие уравнение, является равенством, которое выполняется только при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, которые входят в состав уравнения, могут быть неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, а другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами латинского алфавита x, y, z, u, v, w).

Рассмотрев множество определений понятия уравнение можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

В школьном курсе математики термин «уравнение» называют «выражение» или «предложение с переменной».

Можно выделить основные признаки понятия уравнение:

— содержит букву, значение которой неизвестно и его надо найти

Понятие «решить уравнение», является центральным.

Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, способ решения которого уже известен.

Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным равенство х+0=х. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это равенство, как буквенную запись правила: при сложении любого числа с нулем получается то же самое число, то утверждение не является уравнением.

У уравнения х+0=х сколько угодно решений: любое число х является его решением. У уравнения a+3=4+a нет решений, а у уравнения a+3=4 одно решение: a=1

В определении понятия уравнение используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.

И.А. Моргунова, говорит о том, что уравнения имеют важное теоретическое значение, а также служат в практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального

мира сводится к решению различных видов уравнений.

По мнению А.В. Самойловой, знакомить учащихся в начальной школе с понятием уравнения надо как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи

компонентов и результатов действий.

Математические понятия, в свою очередь, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с большинством понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В.А. Далингер, считает, что внимание должно быть направлено на умение определять понятия, а не на их заучивание. Следует правильно донести до учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а затем происходит процесс, который представляет собой развитие понятий, который характеризуется как постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Как отмечает Г.Г. Кочеткова, формирование понятия, является длительным и сложным процессом, которому следует уделять достаточное внимание в образовательном процессе. Важным этапом при формировании понятий, является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Следует отметить, что бывает так, когда даётся словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе. Преувеличение роли при словесном определении, является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Совершенно иного мнения придерживается П. Я. Гальперин, который считает, что формирование понятия не следует растягивать во времени, что это можно осуществить в один приём, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном объеме и правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения.

Развитие математических понятий происходит от простого к сложному, или от конкретного к обобщенному. Развитие понятий может происходить поэтапно, при этом на новом уровне обобщения, углубляющем или расширяющем содержание развиваемого понятия.

В процессе усвоения научных знаний младшие школьники сталкиваются с разными видами понятий. Формирование понятия уравнения в начальной школе подготавливает младших школьников к более успешному изучению математики в дальнейшем.

Умение решать уравнения представляет большую сложность для младших школьников. Изучение уравнений в начальных классах обладает пропедевтическим характером. В этой связи крайне важной является подготовка детей в начальных классах к более глубокому изучению уравнений в старшей школе. В начальных классах в ходе работы над уравнениями проводится закрепление правил о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника и его площади, формирование вычислительных навыков и понимания связи между элементами действий, закрепление порядка действий и формирование умения решать текстовые задачи, осуществляется работа над формированием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения способствуют разнообразию видов заданий.

В начальных классах рассматриваются уравнения только с одной переменной.

Виды уравнений, рассматриваемых в начальных классах:

I. Простые уравнения: х – 4=6

II. Усложненные уравнения:

1. Уравнения, в которых переменная находится в правой части: 6= x-4

2. Уравнения, в которых правая часть представляет числовое выражение: х-4=36:6

3. Уравнения, в которых числовое выражение находится в обеих частях: х-(16:4)=4+2

4. Уравнения, в которых неизвестное входит в состав выражения с переменной: (х+5)-4=6

5. Уравнения, представленные комбинацией уравнений (1-4) (х+5)-4*2=36:6

6. Уравнения, в которых неизвестное находится в обеих частях 2*х-8=х+5 (только в программе Аргинской)

Проанализировав разные учебно-методические комплексы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

Автор развивающего обучения Д.Б. Эльконин, предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения математики, но при этом, не используя взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

1. Дать детям новое математическое понятие «уравнение». Формировать умение читать и записывать уравнение. Способствовать запоминанию, сознанию, пониманию, составления уравнений;
2. Способствовать развитию внимания, логического мышления, памяти, культуры математической речи.
3. Воспитывать самоконтроль, гигиенические навыки письма, аккуратное ведение записей в тетради.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

• Как называются числа при сложении?
• Как называются числа при вычитании?

• Первое слагаемое – 20, второе слагаемое – 40. Найти сумму?
• Найти сумму чисел 30 и 6.
• Уменьшаемое – 48, вычитаемое 5. Чему равна разность?
• Чему равна разность чисел 70 и 6?
• Увеличить на 4 числа : 15, 20, 61.
• Увеличить на 3 числа : 18, 30, 79.

• Состав числа 12?
• Состав числа 14, 16?

• На празднике было 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько всего детей было на празднике?
• В холодильнике яблок на 6 больше, чем апельсинов. Апельсинов – 9. Сколько яблок в холодильнике?
• В кукольном театре 60 кукол. В утреннем спектакле занято 20 кукол. Сколько кукол не занято в спектакле?

• Как называется это выражение?
• Прочитать выражение.
• Найти значение выражения:
  

  14+d	c-40
  d=23	c=95

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

У.: Вам знакома такая запись: + 4=12 ?

Д.: Это пример с окошечком.

У.: А такая: a +4 ?

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Урок «Введение понятия «Уравнение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

по математике во 2 классе

(по системе развивающего обучения Л.В. Занкова)

По теме: Введение понятия «уравнение»

учитель начальных классов

Урок математики (система развивающего обучения Л.В. Занкова)

Введение понятия «уравнение»

Цели урока (предметные):

· Дать представление об уравнении как о равенстве, содержащем неизвестное число.

Урок открытие нового знания.

Методы и формы обучения

Частично-поисковый, индивидуальная, фронтальная, групповая и парная работа.

Рабочая программа, конспект урока, учебные пособия, опорные схемы, мультимедийная презентация для обучающихся по теме «введение понятия «уравнение»

· Учебник «Математика 2 класс», И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина.

— познакомить с понятием «уравнение»;

— научиться составлять уравнения по рисунку;

— распознавать уравнения среди прочих математических записей на основе знания существенных признаков понятия «уравнение».

— мотивация к учебной и творческой деятельности;

— создание условия для внутренней потребности включаться в деятельность;

— целеполагание, как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;

— оценка – ориентироваться в системе знаний, отличать новое от уже известного, оценивать свои знания; самооценка учебной деятельности;

— умение поставить учебную задачу; выбирать способ ее решения и находить информацию для ее решения (поиск и выделение необходимой информации);

— определение основной и второстепенной информации.

— анализ новых знаний; объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

— установление причинно-следственных связей; доказательство своих суждений.

— умение вступать в диалог и вести его;

— интегрироваться в группу;

— планировать совместную деятельность и распределять обязанности в группе.

1. Мотивация к учебной деятельности

Цель: обеспечить готовность обучающихся к активному восприятию нового учебного материала.

— Ребята, сегодня мы принимаем много гостей, давайте поприветствуем их своей улыбкой.

— Пусть девизом нашего урока является высказывание голландского философа Бенедикт Спиноза, которое мы сейчас прочитаем. (один из учеников читает высказывание)

— «Если вы хотите, чтобы жизнь улыбалась вам, подарите ей сначала своё хорошее настроение».

— Как вы понимаете такое высказывание? (если вы хотите, чтобы у вас все получалось в жизни, нужно все делать с хорошим настроением)

— Давайте и мы постараемся сохранить хорошее настроение на весь урок, а еще лучше – на весь день.

— мотивация к учебной и творческой деятельности; — создание условия для внутренней потребности включаться в деятельность.

2. Актуализация знаний. Постановка цели урока.

Цель: вызвать интерес к учебному материалу, актуализировать опорные знания.

— Откроем тетради и запишем сразу число, Классная работа, чтобы потом не отвлекаться от работы. (дети пишут)

— А начнём мы нашу работу с логических задач. Слушаем внимательно.

Мама поставила на стол 9 чашек, из них 2 чашки перевернули вверх дном. Сколько чашек стало на столе? (Ответ: 9)

— Запишите это число в тетрадь.

Сегодня брат старше сестры на 4 года. На сколько лет он будет старше сестры через 5 лет? (Ответ: на 4 года).

— Запишите это число через клетку в тетрадь.

6 картофелин сварят за 30 минут. За сколько минут сварится 1 картофелина? (Ответ: за 30 минут).

— Запишите это число.

На доске и в тетрадях получилась запись:

— Какое задание вы бы предложили с этими числами?

(сравнить, записать в порядке возрастания/убывания, исключить «лишнее» число)

— Молодцы, как много заданий вы предложили.

— А сейчас рассмотрим записи на доске:

5″>

— Что можете сказать про эти записи? Как они называются?

(равенства/неравенства, верные равенства/неверные равенства).

— Молодцы. Я вам предлагаю поиграть в игру «Выбывание».

— Исключите «лишнюю» запись (которая отличается от остальных знаком).

(дети исключают запись 3+4>5).

— Почему? (это неравенство, все остальные равенства).

— Исключите еще одну запись (неверное равенство).

— Какое еще выражение будет «лишним»? (3+а=9)

— Почему? (2-ое слагаемое – буква).

— Что в этой записи вам знакомо?

(это равенство, слева – сумма, справа – число).

— Чем эта запись необычна для вас?

(вместо числа на месте второго слагаемого стоит буква).

— Какая буква? (маленькая буква «а»).

— Замечательно. Ваша наблюдательность и умение работать с числами и числовыми выражениями приблизила нас к новому открытию. А знаете ли вы, как наша запись называется?

(если «нет», тогда следующее задание нам поможет найти его определение, если «да», то подтвердит наше предположение).

— Значит нам предстоит узнать, как называется такая запись. А чтобы быстро справиться со следующем заданием, как можно работать? (в паре)

— Выполним задание на карточках в паре. Возьмите карточки из конверта №1. Прочитайте задание. (Найдите значения выражений. Расположите результаты в порядке увеличения. Ниже запишите соответствующие буквы. Какое слово получилось? Уравнение.)

— Что помогло выполнить задание? (таблица сложения)

— У всех получилось слово «уравнение»?

— Как вы думаете, какая будет тема нашего урока? Что мы должны сегодня узнать? Какие задачи мы должны для себя решить на уроке?

(что такое «уравнение», как их составлять, чем они отличаются от других математических записей)

— Верно, молодцы. Мы постараемся во всем разобраться.

— целеполагание, как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;

— оценка – ориентироваться в системе знаний, отличать новое от уже известного, оценивать свои знания.

— умение вступать в диалог и вести его;

3. Учебно-познавательная деятельность.

Цель: привлечь внимание детей к новым сведениям, учить находить нужную информацию и пользоваться ею для решения новой задачи.

— Вернёмся к нашему новому слову «Уравнение». Давайте его запишем в тетрадь. (дети записывают).

— Математическая запись, которую мы исключили, как «лишняя», называется уравнение. Давайте её прочитаем, с названием компонентов. Какое действие у нас? (сложение). Назовите компоненты действия сложения? (1-ое слагаемое, 2-ое слагаемое, значение суммы)

— Прочитаем нашу запись. (1-ое слагаемое «5», 2-ое слагаемое – неизвестное число, значение суммы – «9»).

— Молодцы. Как вы понимаете смысл слова «уравнение»?

(что-то нужно уравнять, сделать равным)

— Какие части нужно уравнять? (левую и правую)

— Что прячется за буквой? Что должно быть вместо неё? (неизвестное число).

— Тогда давайте попробуем объяснить, что такое «уравнение».

(Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число, это число обозначено буквой.)

— А где мы можем проверить наше предположение?

— Откройте учебник. Кто нашёл, на какой странице есть информация об уравнении?

— Прочитаем вывод на стр. 30

(один из учеников читает правило).

— Наше мнение совпало с мнением авторов учебника? (да).

— А как вы думаете, неизвестное число в уравнении мы можем обозначить только буквой «а»?

(дети читают информацию на стр. 30 про обозначение неизвестных латинскими буквами).

— Давайте запишем самые распространенные из них х, у, z .

(учитель показывает на доске, дети пишут в тетрадях).

— А неизвестным может быть только слагаемое или и другие компоненты действий?

— Попробуем найти уравнения среди следующих записей:

(на слайде записи выражений)

— Какое необычное уравнение нам встретилось? (10-6=3+х)

— Это составное уравнение, чтобы его решить нужно сначала правую часть упростить и получится запись: 4=3+х или 3+х=4)

— Итак, неизвестным может быть уменьшаемое, вычитаемое или слагаемое.

— Устали? Отдохнем. Вышли все из-за парт.

— общеучебные: умение поставить учебную задачу; выбирать способ ее решения и находить информацию для ее решения (поиск и выделение необходимой информации) — логические:

— анализ новых знаний;

— установление причинно-следственных связей;

— доказательство своих суждений.

— умение вступать в диалог и вести его.

Цель: сменить вид деятельности обучающихся во время урока.

Дует ветер нам в лицо,

Ветерок все тише-тише,

Деревцо все выше-выше.

— Гимнастика ДЛЯ ГЛАЗ.

— снять физическую и умственную нагрузку;

— смена вида деятельности на уроке.

5. Включение нового материала в систему знаний

Цель: учить обучающихся использовать новое содержание совместно с ранее изученными при выполнении упражнений, самоорганизации при решении новой задачи.

— А сейчас попробуем сами составить уравнения, а поможет нам рисунок задания №60. Какой математический рассказ вы можете составить по рисунку.

(У мальчика было 3 карандаша. Папа купил несколько карандашей мальчику и у него стало 9 карандашей).

— Какое уравнение можно составить по данному рассказу?

— Что известно? Что примем за неизвестное?

(было 3 к., стало 9 к., неизвестно – количество карандашей, которые купил папа)

— Попробуем также вместе выполнить задание №61.

— Какие уравнения можно записать?

(1+х=10, 1+5=у+2, 1+а=2+2, у+2=6, 1+а=4)

— Найдем массу каждого плода.

(тыква=9кг, дыня=4 кг, арбуз=3кг)

— Молодцы. Найдем общую массу тыквы, дыни и арбуза.

— Мы можем узнать общую массу? (да)

— Какое действие нам поможет узнать общую массу?

— Кто запишет решение? (9+4+3=16 (кг))

— А можно сказать, что мы решили задачу? Почему?

(есть условие, вопрос, числовые данные, отвечаем на вопрос, выбрав арифметическое действие).

— Как представлено условие задачи? (в виде рисунка)

— Тогда, что мы можем записать под решением задачи? (ответ).

— А сейчас поработаем в группах. (дети объединяются в группы).

— Возьмите конверт №2. Достаньте задание.

(Определите, каким компонентом является неизвестное число в уравнении и приклейте в нужную ячейку)

(ребята выполняют задание, на слайде таблица с ячейками: неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое. После того, как все группы справятся с заданием, на слайде появляется правильный ответ).

— Все справились с заданием, потому что дружно работали. (работы детей вывешивают на доску и анализируют).

— интегрироваться в группу;

— планировать совместную деятельность и распределять обязанности в группе.

— ориентация и восприятие текстов художественного стиля.

— анализ полученных знаний.

6. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).

Цель : подвести итог совместной деятельности.

— Ребята, с каким понятием мы сегодня с вами познакомились?

— Что же такое уравнение?

(это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное маленькой буквой латинского алфавита)

— Ребята, чему же вы сегодня научились?

(составлять уравнения по рисунку, находить уравнения среди разных математических записей)

— На следующих уроках мы узнаем, какие еще есть тайны у уравнений и научимся их решать.

— А сейчас поиграем в игру «Верно-неверно». Если высказывание верно, то вы хлопаете в ладоши, если неверно, то топаете ногами.

1) Любое равенство является уравнением. (-)

2) Уравнение – это равенство, в котором неизвестное число обозначено буквой. (+)

3) В уравнении неизвестным бывает только слагаемое. (-)

4) Уравнения могут составлять только авторы учебника (-)

5) – Молодцы, все внимательные.

— А сейчас оцените свою работу на уроке с помощью кружочков разных цветов:

Зеленый – У меня были трудности, но я с ними справился самостоятельно;

Жёлтый – У меня были трудности, но мне помогли с ними справится друзья;

Красный – Я не понял материал, мне нужна помощь.

— Выберете и нарисуйте на полях кружок.

— Поднимите руки у кого есть кружок красного цвета, желтого?

— Постепенно во всем разберетесь, не расстраивайтесь.

— Ребята, мне очень понравилась ваша работа на уроке, спасибо вам за сотрудничество, вы все молодцы! Урок окончен.