В комплексной плоскости начертить линии заданные уравнениями

Электронная библиотека

Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее свойствами:

1) открытости – вместе с точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малая окрестность с центром в этой точке;

2) связности – любые две точки D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.

Примером области могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под e-окрестностью точки z₀ понимают открытый круг радиуса e с центром в этой точке: |z – z₀| 2 + (y – 1) 2 = e 2 – окружность радиуса e с центром в точке х = 0, у = 1 комплексной плоскости.

Область с присоединенной к ней границей называют замкнутой и обозначают D. Будем в дальнейшем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов (дуг) и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать всегда кусочно-гладкими.

Область называется односвязной, если граница состоит из одной связной линии. Область называется многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей, например: двухсвязной, трехсвязной и т.д. – по числу не связных между собой частей границы. На рис. 2.2,б – пример двухсвязной области.

Обход односвязной области считается положительным, если она остается по левую руку (контур обходится против хода часовой стрелки). На рис. 2.2,б сделан разрез l, а обход области изображен положительным (область в результате разреза стала односвязной).

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или неограниченной, односвязной или многосвязной.

а) поэтому получим: . Область (рис. 2.3) – замкнутая, ограниченная, односвязная.

б) и – лучи, выходящие из начала координат (рис. 2.4). Все точки, удовлетворяющие неравенству б) лежат внутри угла, образованного этими лучами, и на сторонах этого угла. Следовательно, область замкнутая, неограниченная, односвязная.

Неравенство означает, что расстояние каждой точки z от точки больше 1, но меньше 2. Поэтому областью есть кольцо (его внутренность), ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке . Область – открытая, ограниченная, двухсвязная (рис. 2.5).

г) Неравенство равносильно или

или, возведя в квадрат обе части, получим:

х 2 + у 2 – 2у + 1 2 + у 2 + 2у + 1.

Отсюда: – верхняя полуплоскость (рис.

Вывод: область у>0 – открытая, неограниченная, односвязная (рис. 2.4).

Определение. Кривая называется непрерывной, если она может быть задана параметрическими уравнениями:

в которых – непрерывные функции на отрезке .

Например, окружность ; дуга окружности

; дуга параболы – непрерывные кривые; гипербола не является непрерывной, так как функции эти при и имеют точки разрыва.

С помощью комплексного переменного параметрические уравнения кривой (2.18) можно записать в виде одного уравнения:

Например, уравнение эллипса с полуосями a и b можно записать:

уравнение окружности радиуса R

уравнение окружности с центром в точке запишется так:

Задачи для упражнений

1) Построить в комплексной плоскости линии, точки которых удовлетворяют уравнениям:

а) б) в) г) д) е) ж) ; з)

2) Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или нет, односвязной или многосвязной.

3) Какие кривые определяются следующими уравнениями:

Ответы: а) б) в) г) д)

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Решение неравенств с комплексными переменными

Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.

Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).

Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству