В координатной плоскости хоу линия задана уравнением

Уравнение линии.

Линия на плоскости определяется (задается) как множество точек, характеризующихся некоторым только им свойственным геометрическим признаком.

Применение на плоскости системы координат дает возможность охарактеризовать место точки плоскости указанием пары чисел — ее координат, а расположение линии на плоскости характеризуется с помощью уравнения (т. е. тождества, объединяющего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости хОу принято называть уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, ему соответствуют координаты x и у любой точки линии и не соответствуют координаты всякой точки, не принадлежащей выбранной линии.

Переменные величины x и у в уравнении линии обозначают как текущие координаты точек линии.

Уравнение линии дает возможность анализ геометрических свойств линии заменить изучением его уравнения.

Так, для определения расположения точки А(x₀; у₀) на выбранной линии, достаточно рассмотреть, не выполняя геометрическое построение, соответствуют ли координаты точки А уравнению линии в избранной системе координат.

Линию на плоскости можно определить с помощью двух уравнений:

,

где x и у — координаты всякой точки М(х; у), расположенной на выбранной линии,

t — переменная величина, которую принято обозначать параметр.

Именно t характеризует местоположение точки (х; у) на плоскости.

Так, когда x = t + 1, у = t 2 , то величину параметра t = 1 представит на плоскости точка (3; 4), поскольку. x = 1 + 1 = 3, у = 22 — 4.

Когда параметр t меняется, то точка на плоскости сдвигается, описывая данную линию.

Такой метод определения линии именуется параметрическим, а уравнения — параметрическими уравнениями линии.

Для перехода от параметрических уравнений линии к уравнению типа F(x;y) = 0, требуется любым путем из двух уравнений убрать параметр t.

Так, от уравнений

выполнив замену t = х во второе уравнение, получаем уравнение у = х 2 ;

либо у — х 2 = 0, т. е. типа F(x; у) = 0.

И все же, отметим, данный переход не всегда осуществим.

Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, в которой абсцисса и ордината ка­ждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в пер­вом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функ­ции, представляющие зависимости величин объемов вы­пускаемой продукции от переменных величин затрат ре­сурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических рас­четах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капи­тала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой по­верхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геомет­рическую интерпретацию. Для функции числа перемен­ных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерх­ность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геомет­рической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном про­странстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется — ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношени­ем

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направле­нии равна проекции градиента функции на направле­ние дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функ­ции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Контрольно — измерительные материалы по дисциплине «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» для специальности среднего профессионального образования Компьютерные сети

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

для специальности среднего профессионального образования

09.02.02 «Компьютерные сети »

Разработал преподаватель математики

ГБПОУ СПО Ханнанова Э. А.

А 1. Если А и В=, то матрица С=2А+В имеет вид…

А 2. Найти произведение матриц

А 3. Если определитель второго порядка =11, то х=

a ) 0 b ) 6 c ) -6 d ) 1

А 4. Определитель равен …

a ) 0 b ) 12 c ) 10 d ) 1

А 5. Решите систему

a ) (2; 3) b ) (1;2) c ) (3; 2) d ) (-2; 3)

А 6. Система линейных уравнений имеет решение …

a ) x =-2; у=1; z =4 b ) x =-2; у=1; z =-4 c ) x =-2; у=-1; z =4 d ) x =2; у=1; z =4

А 7. Для точек А (3; -9) и В(2; -5) уравнение прямой может быть записано в виде …

a ) у=-4х+3 b ) у=-2х-3 c ) у=х-7 d ) у=3х+6

А 8. Укажите правильное соответствие между уравнением и типами уравнений прямой на плоскости 2х-5 y -9=0

a ) уравнение прямой с угловым коэффициентом

b ) уравнение прямой в отрезках

c ) каноническое уравнение прямой

d ) общее уравнение прямой

А 9. Нормальным вектором прямой х-2у+3=0 является вектор:

a ) (-2;1); b ) (-2;3); c ) (3;-2); d ) (1;-2)

А 10. Прямая проходит через точки О(0;0) и В(-2;1). Тогда ее угловой коэффициент равен:

a ) ; b ) 2; c ) ; d ) -2

А 11. В координатной плоскости XOY линия задана уравнением х 2 +у 2 =169. Тогда эта линия проходит через точки …

a ) (5; -12) и (-12; 3) b ) (-13;0) и (5; -12); c ) (6;-11) и (5; -12) d ) (12;3) и (5; -12)

А 12. Укажите соответствие между кривой второго порядка и их уравнениями
(х+6) 2 +(у-2) 2 =64

a ) парабола b ) гипербола c ) эллипс d ) окружность

А 13. Если уравнение гиперболы имеет вид , то длина ее действительной полуоси равна…

a ) 16 b ) 3 c ) 9 d ) 4

А 14. Вычислить предел функции:

a ) 7; b ) 4; c ) 13; d ) – 4

А 15. Число точек разрыва функции равно…

a ) 2 b ) 1 c ) 3 d ) 0

А 16. Производная функции у = cos 5 x имеет вид:

a) cos 5x; b) -5sin5x; c) — 5sinx; d) 5cos5x

А 17. Найти производную от функции, заданной параметрически:

a ) -2 t -2; b ) 2 t +2; c ) -; d )

А 18. Найти частную производную функции

a) 3x 2 ; b) 2y; c) 3x 2 + 2y; d) 3x 2 — 2y

А 19. Вычислить предел:

a ) 2 b ) -2 c ) 1 d ) 4

А 20. Определенный интеграл равен

a ) 54; b ); c ) 26; d )

А 1. Если А и В=, то матрица С=3А+В имеет вид…

А 2. Найти произведение матриц

А3. Если определитель второго порядка =1, то х= …

a ) -8 b ) 8 c ) 7 d ) -7

А 4. Определитель равен …

a ) 0 b ) 1 c ) 3 d ) 4

А 5. Решите систему

a ) (2; 3) b ) (7; 1) c ) (1; 7) d ) (-2; 3)

А 6. Система линейных уравнений имеет решение …

a ) x =3; у=2; z =1 b ) x =3; у=-2; z =1 c ) x =3; у=2; z =-1 d ) x =-3; у=2; z =1

А 7. Для точек А(-4;-2) и В(2;-6) уравнением прямой является …

a ) 3х+2у+14=0 b ) 2х+3у+14=0 c ) 3х+у+7=0 d ) х+3у+14=0

А 8. Укажите правильное соответствие между уравнением и типами уравнений прямой на плоскости y =-3 x +7

a ) параметрическое уравнение прямой

b ) уравнение прямой с угловым коэффициентом

c ) уравнение прямой в отрезках

d ) общее уравнение прямой

А 9. Нормальным вектором прямой 2х-3у+5=0 является вектор:

a ) (-3;2); b ) (-3;5); c ) (2;-3;5); d ) (2;-3)

А 10. Прямая проходит через точки О(0;0) и В(2; -1). Тогда ее угловой коэффициент равен:

a ) ; b ) -2; c ) ; d ) 2

А 11. В координатной плоскости XOY линия задана уравнением х 2 — у 2 = 21
Тогда эта линия проходит через точки …

a ) (-2;5) и (5;2) b ) (7;5) и (5;2) c ) (5;2) и (11;-10) d ) (11;-10) и (-7; 5)

А 12. Установите соответствие между кривой второго порядка и ее уравнением у 2 =4х

a ) парабола b ) гипербола c ) эллипс d ) окружность

А 13. Величина действительной оси гиперболы равна:

a ) 9; b ) 12; c ) 6; d ) 8

А 14. Вычислить предел функции:

a ) 15; b ) 24; c ) 13; d ) – 4

А 15. Число точек разрыва функции равно

a ) 2 b ) 1 c ) 3 d ) 0

А 16. Производная функции у = sin 10 x имеет вид:

a) -10cos10x; b) 10cosx; c) 10cos10x; d) 10sinx;

А 17. Найти производную от функции, заданной параметрически:

a) e; b) e t ; c) -e 3t ; d) -2e 3t

А 18. Найти частную производную функции

a) 3x 2 ; b) 2y; c) 3x 2 + 2y; d) 3x 2 — 2y

А 19. Вычислить предел:

a ) 2 b ) -3 c ) 1 d ) 3

А 20. Определенный интеграл равен:

a ) 12; b ) ; c ) ; d ) 8

А 1. Если А и В=, то матрица С=2А-В имеет вид…

А2. Найти произведение матриц

А3. Если определитель второго порядка =1, то х= …

a ) -8 b ) -11 c ) 13 d ) -13

А 4. Определитель равен …

a ) 0 b ) 5 c ) 7 d ) 11

А 5. Решите систему

a ) (2; 4) b ) (-2; 4) c ) (1; 7) d ) (4; 2)

А 6. Система линейных уравнений имеет решение …

a ) x =3; у=2; z =0 b ) x =0; у=12; z =-2 c ) x =0; у=2; z =-1 d ) x =12; у=2; z =1

А 7. Для точек А(5;1) и В(-2;-6) уравнение прямой может быть записано в виде …

a ) у=-2х+11 b ) у=х-4 c ) у=0,5х-5 d ) у =-х/3+1

А 8. Укажите правильное соответствие между уравнением и типами уравнений прямой на плоскости

a ) уравнение прямой, параллельной оси абсцисс

b ) уравнение прямой с угловым коэффициентом

c ) уравнение прямой в отрезках

d ) общее уравнение прямой

А 9. Направляющий вектор прямой равен:

a ) (2; -5) b ) (-2; 5) c ) (-2; -5) d ) (3; 2).

А 10. Прямая проходит через точки О (0; 0) и С(-1; 2). Тогда ее угловой коэффициент равен:

А 11. В координатной плоскости XOY линия задана уравнением
Тогда эта линия проходит через точки …

a ) (4; -3) и (12; 5) b ) (12; 5) и (2; 5) c ) (2; 5) и (-1;1) d ) (-1; 1) и (4; -3)

А 12. Координаты центра окружности заданной уравнением равны:

a ) (2; -5) b ) (-2; 5) c ) (-2; -5) d ) (2; 5).

А 13. Величина большой полуоси эллипса х 2 +4у 2 =16 равна:

a ) 16; b ) 4; c ) 8; d ) 12.

А 14. Вычислить предел функции:

a ) 1 b ) 2 c ) d ) 0

А 15. Число точек разрыва функции равно…

a ) 2 b ) 1 c ) 3 d ) 0

А 16. Производная функции у = tg 5 x имеет вид

a ) ; b ) ; c ) 5 ctg 5 x ; d )

А 17. Найти производную от функции, заданной параметрически:

a ) t ; b ) 2 t +2; c ) -; d )

А 18. Найти частную производную функции

a) 3x 2 ; b) e y ; c) 3x 2 + e y ; d) 3x 2 — 2y

А 19. Вычислить предел:

a ) 0 b ) -3 c ) 1 d ) 3

А 20. Определенный интеграл равен:

a ) 4; b ) 12; c ) 8; d )

А 1. Если А и В=, то матрица С=3А-В имеет вид…

А 2. Найти произведение матриц

А3. Если определитель второго порядка =17, то х= …

a ) -3 b ) -37 c ) 3 d ) 37

А 4. Определитель равен …

a ) -18 b ) 0 c ) 2 d ) 14

А 5. Решите систему

a ) (2; 5) b ) (-2; 5) c ) (5; 2) d ) (4; 2)

А 6. Система линейных уравнений имеет решение …

a ) x =-3; у=2; z =0 b ) x =2; у=0; z =-3 c ) x =0; у=2; z =3 d ) x =1; у=2; z =-1

А 7. Для точек А(3; 2) и В(-2; -3) уравнением прямой является …

a ) х+у-1=0 b ) х+у+1=0 c ) х-у-1=0 d ) 5х-у-1=0

А 8. Укажите правильное соответствие между уравнением и типами уравнений прямой на плоскости х=6

a ) уравнение прямой с угловым коэффициентом

b ) уравнение прямой, параллельной оси ординат

c ) уравнение прямой в отрезках

d ) общее уравнение прямой

А 9. Нормальный вектор прямой равен:

a ) (-5;3) b ) (5;-3) c ) (5;3) d ) (-5;-3).

А 10. Прямая проходит через точки В(1;-2) и О(0;0). Тогда ее угловой коэффициент равен:

a ) ; b ) 2; c ) ; d ) -2

А 11. В координатной плоскости XOY линия задана уравнением 3у 2 = -х+6. Тогда эта линия проходит через точки …

a ) (-6; -2) и (3; 1) b ) (-3; -1) и (2; 5) c ) (-2; 5) и (-3; 21) d ) (3; 2) и (-3; 2)

А 12. Найдите соответствие между заданным уравнением и видами кривых второго порядка

a ) парабола b ) гипербола c ) эллипс d ) окружность

А13. Величина мнимой оси гиперболы 4 x 2 -25 y 2 =100 равна

a ) 25; b ) 10; c ) 4; d ) 8

А 14. Вычислить предел функции:

a ) 49 b ) 39 c ) 57 d ) 42

А 15. Число точек разрыва функции равно…

a ) 2 b ) 1 c ) 3 d ) 0

А 16. . Производная функции y =3 cos 6 x имеет вид:

a) -6sin6x b) -18cos6x c) _-3sin6x d) _-18sin6x

А 17. Найти производную от функции, заданной параметрически:

a ) 5; b ) 2 t ; c ) -; d )

А 18. Найти частную производную функции

a) 3x 2 ; b) e y ; c) 3x 2 + e y ; d) 3x 2 — 2y

А 19. Вычислить предел:

a ) 0 b ) 54 c ) 12 d ) 3

А 20. Определенный интеграл равен:

a ) ; b ) 19,2; c ) 48; d )

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 175 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 20.11.2018
• 802
• 1

• 20.11.2018
• 1270
• 136

• 20.11.2018
• 430
• 7

• 20.11.2018
• 819
• 37

• 20.11.2018
• 336
• 0

• 20.11.2018
• 1431
• 8

• 20.11.2018
• 248
• 1

• 20.11.2018
• 388
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.11.2018 218
• DOCX 201.1 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ханнанова Эльвира Адунисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 359
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.