В мире квадратных уравнений проект

В мире квадратных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: Шатилова Виктория
Ученица 9 «А» класса
МОУ «СОШ р.п. Красный Текстильщик
Саратовского района Саратовской области»
Руководитель: Свириденко О.В.

ГОУ ДПО СарИПКиПРО
региональный конкурс
«Математика в моей жизни — 2009»
«В мире квадратных уравнений»
2009 г

Оглавление
Введение
Заметки прошлого
Основные понятия
Теорема Виета
Способы решения квадратного уравнения

Математика — основа точных наук. На первый взгляд кажется, что она не имеет никакого отношения к природе, но на самом деле это не так. Без неё невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.
Введение
Я согласна с высказыванием английского физиолога Андру Филлинг Хаксли «Математика похожа на мельницу: если вы засыпете в нее зерна пшеницы, то получите муку, если же засыпете отруби, отруби и получите», поэтому я пытаюсь с большим старанием и желанием учить алгебру, геометрию и физику. Но больше всего я люблю решать квадратные уравнения. Знания в этой области мне даются легко.

Цель работы: рассмотреть неизвестные способы решения квадратных уравнений
Задачи:
познакомиться с историей возникновения квадратных уравнений
повторить теорему Виета и её доказательство
узнать и понять незнакомые решения квадратных уравнений

«Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь.»
Фуше А.
«Процесс » решения» уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же.»
Лодж О.

Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагаются, например, в вавилонских рукописях времен царя Хаммурапи (XX в. до н. э.), в трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н. э.), древних китайских и японских трактатах.
Заметки прошлого
Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Например, для решения уравнения x2 + 10x = 39 поступали следующим образом. Пусть АВ = х, ВС = 5 (= 10 : 2). На стороне АС = АВ + ВС строился квадрат, который разбивался на четыре части, как показано на рисунке 92. Очевидно, что сумма площадей I, II и III частей равна
x2 + 10x, или 39.
Если к этой площади прибавить площадь IV части, то в результате получится 64 — площадь всего квадрата. Но эта же площадь равна (х + 5)2, так как АС = х + 5. Следовательно,
(х + 5)2 = 64

В одном из папирусов есть задача: «Найти площадь прямоугольного поля, если площадь 12, а 3/4длины равны ширине.»
Древний Египет
Впервые квадратное уравнение сумели решить математики древнего Египта.
Прошли тысячелетия, и сейчас мы получим два решения уравнения: -4 и 4.Но в египетской задаче и мы приняли бы х=4,т.к. длина поля может быть только положительной величиной.

Европа
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал- Хорезми(Мухаммед ал – Харезми — великий мусульманский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры) в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи(Пизанский около 1170 — около 1250г. – первый крупный математик средневековой Европы. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Лист из книги абака
Леонардо Фибоначчи

Европа
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bx = c
при возможных комбинациях знаков коэффициентов b , c , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем
(около 1487 — 19 апреля 1567) — немецкий математик .

Квадратное уравнение- это уравнение вида ax2+bx+c=0 где, a, b, c — действительные числа, причем a не равно 0. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a не равно 1, — то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Основные понятия

Теорема Виета
Теорема, выражающая связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 году так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.
«Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и в тригонометрии.»
Бернал Д.
Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал «Искусство анализа или Новая алгебра».Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел, поэтому при решении уравнений рассматривал только положительные корни.

Доказательство теоремы Виета
Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:
x1 + x2 = –p
x1 x2 = q
Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:
x12 + px1 + q = 0
x22 + px2 + q = 0
Вычтем эти равенства друг из друга. Получим
x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 не равна 0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы:
x1 + x2 = –p
Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2):
x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Преобразуя левую часть, получаем:
x12 – x12 – x2 x1 + q = 0
x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

Способы решения
квадратных
уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки
(рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:
1) Построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

• Пример:
Решим уравнение х2- 2х — 3 = 0 (рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
z2 + pz + q = 0.

Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а
Из подобия треугольников САН и CDF
получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0

• Примеры.
1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 — 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,
получим уравнение
z2 — 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения
z2 — 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,
получим уравнение
t2 — 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и
t2 = 4,4, откуда
z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

Геометрический способ решения квадратных уравнений.
Примеры.
1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов
(6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя
х2 + 10х числом 39, получим, что
S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок
АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Преобразуя уравнение, получаем
у2 — 6у = 16.
На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,
получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е.
у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где
у1 = 8 и у2 = — 2.
2.Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Вывод
В ходе работы я познакомилась с историей возникновения квадратных уравнений, повторила теорему Виета и её доказательство.
Узнала интересные способы решения квадратных уравнений.
Я уверена, что математические знания, в частности по данной теме, помогут мне при поступлении в ВУз.

1.Большая энциклопедия Кирилла и
Мефодия
2.Википедия
3.Справочник математических формул

Научно-исследовательсий проект по теме «Квадратные уравнения и способы их решения»

Данная работа была выполненена в рамках научно-практической конференции «Шаг в науку». Работа заняла второе место в конкурсе научно-исследовательских проектов, была представлена на заседании ГМО учителей математики. Презентацию к работе можно скачать здесь: https://yadi.sk/i/bBw7ic-X791BCg

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Квадратные уравнения и способы их решения»

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна,

1. Опрос учащихся 8-10 классов и его результаты, стр. 3-4
2. История квадратных уравнений…………………стр. 5-9

1. Квадратные уравнения в Вавилоне. стр. 5
2. Квадратные уравнения в Индии. стр. 5-6
3. Квадратные уравнения в Китае. стр. 6
4. Квадратные уравнения в Древней Греции. стр. 7
5. Квадратные уравнения в Древнем Египте. стр. 7-8
6. Квадратные уравнения в Средней Азии. стр. 8-9
7. Квадратные уравнения в Европе. стр. 9

1. Способы решения квадратных уравнений . стр. 10-14
2. Итоги. стр.14
3. Список литературы . стр.15

Образовательное учреждение: МОУ «Лицей №1», город Подольск Московской области, ул. Большая Серпуховская, д.2/24, тел. 63-01-82

Название тезисов: «Квадратные уравнения и способы их решения».

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна, учитель математики.

Изучить устные приёмы решения квадратных уравнений.

Гипотеза:

Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.

Актуальность:

В 8 классе в курсе алгебры изучается тема «Квадратные уравнения». При изучении этой темы затруднение вызывает решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, так как в ходе решения необходимо выполнять много вычислений , извлекать корни из больших чисел. Исходя из актуальности данной проблемы, мне стало интересно найти и изучить приёмы и способы, облегчающие решение всех этих задач.

Задачи проекта:

Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений; устные способы их решения. Научиться применять данные способы при решении уравнений с большими коэффициентами. Подобрать тренировочные упражнения для отработки изученных приёмов.

Методы исследования:

1. Работа с научно-популярной литературой для более детального изучения проблемы.

2. Социологическое исследование.

3. Анализ полученных результатов, обработка данных

Этапы исследования:

1. Опрос на тему: «Квадратные уравнения. Способы их решения. Трудности при решении».
2. Изучение теоретического материала по дано теме и различных способов решения квадратных уравнений.
3. Освоение устных приёмов решения квадратных уравнений
4. Создание презентации для использования на занятиях математического кружка или для самостоятельного изучения учащимися данного вопроса.

«Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду».

Лев Николаевич Толстой.

Проводя опрос, учащимся разных классов (8-10) был предложен ряд вопросов (с вариантами ответов):

1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения? Да или Нет

2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?

А. выделение полного квадрата

Б. по формуле через D

В. по формуле через D 1 Г. другие.

3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?

А. не знаю формул

Б. сложно вычислять

В. путаю коэффициенты Г. допускаю вычислительные ошибки Д. слишком много времени уходит на решение

Е. не испытываю затруднений

4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений? Да или Нет

1. Первый вопрос (Умеете ли вы решать квадратные уравнения?).

Абсолютно все участники анкетирования умеют решать квадратные уравнения.

1. Второй вопрос (Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете? ).

Большинство учеников по показаниям опроса при решении уравнений чаще всего пользуются приобретёнными в школе навыками (через D или D 1 ).

1. Третий вопрос (Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?).

Проблемы, возникающие у учащихся разных классов, в целом одинаковы, они заключаются в сложности вычислительных действиях.

1. Четвёртый вопрос ( Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений?).

Многие участники анкетирования пользуются школьными приёмами решения квадратных уравнений, но при этом знают другие способы.

• Все школьники умеют решать квадратные уравнения.
• Некоторые знают иные пути решения, но в основном они пользуются обычными школьным приёмом нахождения корней через D.
• Способ решения квадратных уравнений через D подходит для всех квадратных уравнений, но, как выяснилось в ходе опроса, при решении уравнений с большими коэффициентами возникают затруднения, связанные с вычислением: сложно вычислять и велика вероятность допустить вычислительные ошибки.
• В некоторых случаях этих трудностей можно избежать.

2.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость обратить внимание на квадратные уравнения в Древности была вызвана потребностью решения задач, связанных с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне [1] . В их клинописных текстах встречаются уравнения типа:

X 2 + X = ; X 2 — X = 14, 5.

В действительности правило решения этих уравнений, предложенное в Вавилоне, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, всё же в клинописных текстах отсутствуют общие методы решения квадратных уравнений.

2.2. Квадратные уравнения в Индии

Уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой встречаются задачи на квадратные уравнения. Индийские учёные внесли огромный вклад в науку, учёный Брахмагупта (VII в.) в свою очередь, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой установленной форме:

ах 2 + bх = с, а > 0.

В данном уравнении коэффициенты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты собственно совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары [2] :

«Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Вот уравнение соответствующее задаче:

Бхаскара пишет под видом (он раскрывает скобки, домножая уравнение на 64, и переносит все неизвестные в левую часть, а известные в правую):

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

х 1 = 16, х 2 = 48. [2]

Сейчас метод, используемый Бхаскарой в этой задаче, известен как выделения полного квадрата.

2.3. Квадратные уравнения в Древнем Китае

Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах». Это слабо согласованная книга более старых трудов разных авторов, предназначенная для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. Задачи на квадратные уравнения встречаются именно там.

Вот одна из них:

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота, на расстоянии 20 бу (1 бу=1,6м) от северных ворот (вне города) стоит столб, если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» [1]

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников ВЕД и АВС получим . Поэтому чтобы определит неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2 +(k+l)-2kd=0 , в данном случае уравнение имеет вид: х 2 +34х-71000=0, откуда х=250 (бу). Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали.

2.4. Квадратные уравнения в Древней Греции.

Знаменитый древнегреческий математик Диофант, живший предположительно в III веке н. э., умел составлять и решать квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления квадратных уравнений.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х.

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

у 2 — 20у + 96 = 0.

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летосчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax 2 + bx = c умножением всех

членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения.

А в общей сложности все м атематики Древней Греции для решали линейные и квадратные уравнения геометрически [1] . Выбирали способ решения квадратного уравнения, обращая внимание на его вид.

2.5. Квадратные уравнения в Древнем Египте.

Познания о древнеегипетской математике сформированы главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках [7] . Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000г. до н.э. Это папирусы Ринда (по имени обнаружившего его ученого), хранится один из них в Лондоне, другой большой папирус находится в Москве. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера.

Вот надпись из берлинского папируса эпохи среднего царства (2000-1800г. до н.э.):

«Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это» [6] .

Ответ звучит так (геометрическое решение):

Возьми квадрат со стороной 1, и возьми от 1, то есть в качестве стороны второй площади. Помножь на самого себя; это дает . Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за , то сложи обе площади вместе; это дает . Возьми корень отсюда: это будет . Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит в 10? 8 раз.

Далее текст на папирусе прочесть невозможно, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 ×( ) = 6 — второго.

Древнеегипетские вычислители использовали дроби вида , где k-целое положительное число и дроби , . Условие задачи можно записать так: х 2 + ( ) +2х 2 =100. Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным [6] .

2. 6. Квадратные уравнения в Средней Азии.

Знаменитым среднеазиатским ученым, изучавшим квадратные уравнения, был ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Он насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих

уравнений слагаемые, а не вычитаемые.

При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Ал — Хорезми излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал – мукабала [1] . Слова «аль-джебр» и «алмукабала» означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений [3] .

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения.

При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение звучит так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения [3] .

2.7. Квадратные уравнения в Европе.

В Европе формулы для решения квадратных уравнений, по образцу ал — Хорезми, были впервые изложены в « Книге абака» итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году [4] .

Он самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому установленному виду:

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имелся у французского учёного Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Из итальянских математиков Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. стали учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни [5] . Лишь в XVII в. благодаря труду Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3 . С пособы решения квадратных уравнений

Для начала повторим то, что нам уже известно. Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида: де — x свободная переменная, a,b и c — коэффициенты, причём a 0 .

В школьной программе мы изучаем всего несколько различных способов решения квадратных уравнений, такие как:

1. Решение через дискриминант, при этом:

1. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле
2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет единственный корень ;
3. Если D , то действительных корней нет;

1. Решение через D 1 (в случае если коэффициент b чётной), который находится по формуле D 1 где k = , отсюда формула нахождения корней: . Данный способ облегчает решение уравнения, но коэффициент b не всегда чётный;

1. Исходя из теоремы Виета, учащиеся методом подбора могут находить корни приведённого квадратного уравнения. По теореме Виета в уравнении сумма корней равна его второму коэффициенту , а произведение – свободному члену q, тоесть: ;
2. Также учениками изучается способ выделение полного квадрата, используется он реже всего.

Т еперь давайте разберём способы, облегчающие решение некоторых квадратных уравнений:

Способ № I : «Решение уравнений способом «переброски»». [9]

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем: х 1 = и х 2 = .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, отсюда и название. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета.

Педразвитие, создание сайта для педагога, публикация работ педагогов

«В мире квадратных уравнений»

исследовательская работа ученицы 9 класса Скоблик Евгении

Автор: Овсянникова Татьяна Александровна, учитель математики, учитель физики, МБОУ СОШ пгт.Смирных, пгт.Смирных, Сахалинская область

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа пгт.Смирных МО ГО «Смирныховский» Сахалинской области
«В мире квадратных уравнений»
Научно-исследовательская работа выполнила: ученица 9Б класса Скоблик Евгения руководители: Овсянникова Т.А., учитель математики Ермолина И.В., учитель физики пгт.Смирных 2015 год

стр
Введение…………………………………………………………………………. 3 1. История возникновения квадратных уравнений……………………………..4 1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне…………………………….4 1.2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения………………..5 1.3. Квадратные уравнения в Индии ………………………………………….6 1.4. Квадратные уравнения в Китае…………………………………………. 7 1.5. Квадратные уравнения у ал-Хорезми ……………………………………8 1.6. Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв………………………….9 2. Виды квадратных уравнений…………………………………………………10 3. Способы решения квадратных уравнений…………………………………..11 3.1. Графическое решение квадратных уравнений…………………………11 3.2. Метод разложения левой части уравнения на множители……………14 3.3. Решение уравнений по теореме Виета………………………………….15 3.4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»…………….16 3.5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов ……….16 3.6. Решение квадратных уравнений по формуле ………………………….17 3.7. Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом……………………………..19 3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…….20 3.9. Решение квадратных уравнений геометрическим способом …………22 3.10. Решение уравнений с помощью теоремы Безу………………………..23 4. Применение квадратных уравнений при решении задач…………………..24 Заключение……………………………………………………………………….27 Список использованной литературы …………………………………………..28 Приложение………………………………………………………………………29 2

ВВЕДЕНИЕ
Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место, но ни один из видов уравнений не нашел столь широкого применения, как квадратные уравнения. Квадратные уравнения люди умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. И в настоящее время многие задачи алгебры, геометрии, физики также решаются с помощью квадратных уравнений. Решая их, люди находят ответы на различные вопросы науки и техники.
Цель работы
– изучить способы решения квадратных уравнений.
Задачи:
1) Проследить историю возникновения квадратных уравнений. 2) Рассмотреть виды квадратных уравнений и способы их решения. 3) Показать на примерах решение задач с помощью квадратных уравнений. 4) Разработать расчет корней квадратного уравнения с помощью электронной таблицы Excel.
Объект исследования
– квадратные уравнения.
Предмет исследования
– способы решения квадратных уравнений.
Методы исследования
: работа с учебной и научно-популярной литературой, вычисления, сравнение, анализ. 3

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КВАДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
В Древнем Вавилоне необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: x 2 + x = 3 4 , х 2 – х = 14 1 2 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. Пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода. «Площадь, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?» Это приводит к уравнениям, решение которых сводится к решению квадратного уравнения, имеющего положительный корень. В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во 4
всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения: «Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т.д.
1.2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Он был одним из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Полагают, что он жил в III в. н.э. в Александрии – центре научной мысли эллинистического мира. Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разной степени. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 – х . Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х) (10 – х) = 96, или 100 – х 2 = 96, х 2 – 4 = 0. 5
Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12, а другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
1.3. Квадратные уравнения в Индии
Еще в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук. Наибольших успехов индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греки. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а> 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На полянке забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне в этой стае?» 6
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение ( x 8 ) 2 + 12 = x Бхаскара пишет под видом x 2 – 64x = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024, (x – 32) 2 = 256, x – 32 = ±16, x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4. Квадратные уравнения в Китае
Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII-XVII вв. до н.э.). И уже на гадальных костях XIV в до н.э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н.э. Китай был завоеван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. К сожалению, «истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов. «Математика в девяти книгах» — это первое математическое сочинение из ряда классических в древнем Китае. В этом сочинении содержится разнообразный и богатый по содержанию математический материал, в том числе и квадратные уравнения. Китайская задача: «Имеется водоем со стороной 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?» 7
Решение. (x + 1) 2 = х 2 + 5 2 х 2 + 2х + 1 = х 2 + 25 2х = 24 х = 12, 12 + 1 = 13 Ответ: 12 чи, 13 чи.
1.5. Квадратные уравнения у ал-Хорезми
«Я составил краткую книгу об исчислении алгебры и алмукабалы, заключающую в себе простые и сложные вопросы арифметики, ибо это необходимо людям…». Муххамед бен-Муса ал-Хорезми. Багдадский ученый IX в. Ал-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восстановлении и противопоставлении» («Китаб аль-джебер вальмукабала»), от названия которой произошло слово «алгебра». Этот трактат является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корням», т.е. ах 2 = bx. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bx. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 . Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. 8
При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Приведем пример. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
1.6. Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется и Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские 9
математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. 10

2. ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах

+ bx + с = 0
, где a, b и c – действительные числа, причем a ≠ 0. Числа a, b и c носят названия: a – первый коэффициент, b- второй коэффициент, c — свободный член. Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным.
х

+ px + q = 0
– стандартный вид приведенного квадратного уравнения Если a ≠ 1, то квадратное уравнение называют неприведенным. Если одна из величин b, c или обе вместе равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным; если и b и c не равны нулю, квадратное уравнение называется полным. Примеры. 3х 2 + 8x — 5 = 0 – полное неприведенное квадратное уравнение; 3х 2 — 5 = 0 – неполное неприведенное квадратное уравнение; х 2 — 12x + 7 = 0 – полное приведенное квадратное уравнение; х 2 — 4x = 0 – неполное приведенное квадратное уравнение; Корнем квадратного уравнения
ах

bx + с = 0
называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль. Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет. 11

3. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Графическое решение квадратных уравнений
Этим методом можно решать квадратные уравнения не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», причем различными способами.
Пример.
Решить квадратное уравнение
х

– 2x – 3 = 0
I способ. Строят график функции y = ах 2 + bx + с и находят точки его пересечения с осью x. Построим график функции х 2 – 2x – 3 = 0 1) Имеем a = 1, b = -2. Абсцисса x 0 вершины параболы вычисляется по формуле x 0 = — b 2 a = 1, y 0 = f(1) = 1 2 – 2 – 3 = -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4). Осью параболы служит прямая x = − b 2 a , т.е. x = 1. 2) Возьмем на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3. Имеем: f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0). 3) Через эти точки (-1; 0), (1; 4), (3; 0) проводим параболу (рис.1). Корнями уравнения х 2 –2x –3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью x. рис.1 Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 II способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 = — bx – с, строят параболу y = ах 2 и прямую y = — bx – с , находят точки их пересечения (корнями 12
уравнения служат абсциссы точек пересечения, если таковые имеются). Преобразуем уравнение х 2 – 2 x – 3 = 0

к виду х 2 = 2 x + 3. Построим в одной системе координат графики функций y = х 2 и y = 2x + 3 (рис.2). Они пересекаются в двух точках А(-1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В. Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 рис. 2 III способ . Преобразуют уравнение к виду ах 2 + с = — bx, строят параболу y = ах 2 + с и прямую y = — bx (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения. Преобразуем уравнение х 2 – 2 x – 3 = 0

к виду х 2 — 3 = 2 x. Построим в одной системе координат графики функций y = х 2 – 3 и y =2 x (рис.3). Они пересекаются в двух точках А(-1; 2) и В(3; 6). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В. Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 рис. 3 IV способ . Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду a(x + l) + m = 0 a(x + l) 2 = -m Строят параболу y = a(x + l) 2 и прямую y = -m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой. 13
рис. 4 Преобразуем уравнение х 2 – 2x – 3 = 0 к виду х 2 – 2x + 1 – 4 = 0 и далее х 2 – 2x + 1= 4, т.е. (х — 1) 2 = 4 Построим в одной системе координат параболу y =(х – 1) 2 и прямую y = 4 (рис.4). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В. Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 V способ. Преобразуют уравнение к виду a x 2 x + bx x + c x = 0 x , т.е. ax + b + c x = 0 и далее c x =− ax − b Строят гиперболу y = c x (это гипербола при условии, что с ≠ 0 ) и прямую y = -ax + b; находят точки их пересечения. Разделив почленно обе части уравнения х 2 – 2x – 3 = 0 на x, получим x − 2 − 3 x = 0 ; x − 2 = 3 x . 14
Построим в одной системе координат гиперболу y = 3 x и прямую y = x — 2 (рис.5). Они пересекаются в двух точках А(-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В. Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 рис. 5 Графические способы решения квадратного уравнения не дают стопроцентный результат, т.к. не всегда точки пересечения графиков «хорошие», т.е. целочисленные, как в рассмотренных примерах. Далее рассмотрим алгебраические способы решения квадратных уравнения.
3.2. Метод разложения левой части уравнения на множители
Этот метод широко применяется для решения неполных квадратных уравнений вида
ах

Пример 1.
Решить уравнение
3х

+ 4x = 0
Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: 3х 2 +4x = 0 х(3x +4) = 0 x = 0 или 3x +4 = 0 3x =-4 x = − 4 3 x = − 1 1 3 Ответ: x 1 = 0; x 2 = − 1 1 3 15

Пример 2.
Решить уравнение
4х

— 1 = 0
Разложим левую часть уравнения на множители по формуле сокращенного умножения
a

= (a-b)(a+b):
4х 2 — 1 = 0 (2x – 1)(2x +1) = 0 2x – 1 = 0 или 2x + 1 = 0 2x = 1 2x= -1 x = 1 2 x = — 1 2 Ответ: x 1 = 1 2 ; x 2 = — 1 2 Если уравнение в левой части содержит квадратный трехчлен, то его можно разложить на множители способом группировки или методом выделения полного квадрата.
Пример 3
. Решить квадратное уравнение
х

– 2x – 3 = 0
Разложим квадратный трехчлен х 2 – 2 x – 3 на множители способом группировки: х 2 – 2x – 3= х 2 + x – 3x – 3 = x(x + 1) – 3(x + 1) = (x + 1)(x – 3) Теперь заданное уравнение можно переписать в виде (x + 1)(x – 3) = 0 Находим корни уравнения: (x + 1) = 0 и (x – 3) = 0 x 1 = — 1 x 2 = 3 Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3
Пример 4
. Решить квадратное уравнение
х

– 2x – 3 = 0
Разложим квадратный трехчлен х 2 – 2 x – 3 на множители методом выделения полного квадрата. Для этого запишем выражение х 2 – 2x – 3= (х 2 – 2x + 1) – 4= (x – 1) 2 – 4 = (x –1+ 2)(x –1– 2)=(x+1)(x-3) Перепишем заданное уравнение в виде (x + 1)( x — 3) = 0 Откуда находим: x 1 = — 1, x 2 = 3 Ответ: x 1 = — 1; x 2 = 3 16

3.3. Решение уравнений по теореме Виета
Особого внимания заслуживают квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называют приведенными. Свойства корней приведенного квадратного уравнения
х

+ px + q = 0
выражается теоремой, названной теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = — p x 1 · x 2 = q
Пример
. Решить приведенное квадратное уравнение
х

— 9x + 14 = 0
Найдем два числа x 1 и x 2 , такие, что x 1 + x 2 = 9 x 1 · x 2 = 14 Такими числами являются 2 и 7: 2 + 7 = 9; 2 · 7 = 14 Ответ: x 1 = 2; x 2 = 7
3. 4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»
При решении квадратных уравнений данным способом важно учитывать следующее условие: дискриминант является точным квадратом.
Пример
. Решить уравнение
3х

— 5x + 2 = 0
Умножим обе части уравнения на первый коэффициент a = 3. Приходим к уравнению 3∙3х 2 — 3∙5x + 3∙2 = 0, равносильному данному. 17
Обозначим 3∙ x = y, получаем уравнение y 2 – 5y + 6 = 0 Корни полученного уравнения найдем по теореме Виета: y 1 + y 2 = 5 y 1 · y 2 = 6 Получаем, y 1 = 2; y 2 = 3. Отсюда, x = y 3 x 1 = 2 3 , x 2 = 1 Ответ: x 1 = 2 3 , x 2 = 1
3.5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов
Пусть дано квадратное уравнение
ах

+ bх + с = 0
, а ≠ 0. 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, т.е.
а

+ b + с = 0
, то x 1 = 1, x 2 = c a 2. Если сумма старшего коэффициента и свободного члена равна среднему коэффициенту, т.е.
а + с = b
, то x 1 = -1, x 2 = − c a
Пример 1
. Решить квадратное уравнение
35х

— 59х + 24 = 0
Здесь а = 35, b = -59, с = 24 Применяем условие а + b + с = 0, т.е. 35 + (-59) + 24 = 0. Тогда, x 1 = 1, x 2 = 24 35 18
Ответ: x 1 = 1, x 2 = 24 35
Пример 2
. Решить квадратное уравнение
138х

+135х — 3 = 0
Здесь а = 138, b = 135, с = -3 Применяем условие а + с = b , т.е. 138 + (-3) = 135. Тогда, x 1 = -1, x 2 = 3 138 Ответ: x 1 = -1, x 2 = 3 138
3.6. Решение квадратных уравнений по формуле
Успех в решении квадратных уравнений вышеописанными способами зависит от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств: 1) квадратный трехчлен удалось разложить на множители; 2) графики, которые используются для графического решения уравнения, пересекались в «хороших» точках. Поэтому математики искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его. Рассмотрим алгоритм решения уравнений
ах

+ bx + с = 0
по формулам корней квадратных уравнений. 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b 2 — 4ac 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня: 19
x 1 = − b + √ D 2 a , x 2 = − b − √ D 2a Этот алгоритм универсален, он применим как к полным, так и неполным квадратным уравнениям.
Пример 1
. Решить квадратное уравнение
2х

+ 4x + 7 = 0
Здесь a = 2, b = 4, c = 7 D = b 2 — 4ac = 4 2 – 4∙2∙7 = 16 – 56 = -40 Так как D 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находят по формулам: x 1 = − b + √ D 2 a = 5 + 3 2∙ 2 = 2 x 2 = − b − √ D 2a = 5 − 3 2∙ 2 = 1 2 Ответ: x 1 = 2, x 2 = 1 2 20

3.7. Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного

уравнения со вторым четным коэффициентом
Из основной формулы корней квадратного уравнения x = − b ± √ D 2 a можно получить дополнительную формулу, по которой проще вычислять корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Разделим числитель и знаменатель дроби − b + √ D 2 a на 2, получим x = − b± √ D 2a = − b 2 ± 1 2 √ D a = − b 2 ± √ 1 4 D a Итак, корни квадратного уравнения, в котором второй коэффициент – четное число, проще вычислять по формуле x = − b 2 ± √ 1 4 D a , где b 2 ¿ ¿ 1 4 D =¿ . Если в квадратном уравнении второй четный коэффициент обозначить 2k, то уравнение примет вид
ах

+ 2 kx + с = 0
. Тогда для решения этого уравнения удобнее использовать формулу для вычисления дискриминанта: D 1 = k 2 – ac, где D 1 = 1 4 D . В этом случае формула корней квадратного уравнения будет выглядеть так: x = − k ± √ D 1 a Эту формулу называют формулой корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.
Пример
. Решить квадратное уравнение
3х

— 16x + 5 = 0
. Здесь a = 3 , второй коэффициент b = -16 – четное число. Применим дополнительную формулу корней: 1 4 D =¿ (-8) 2 — 3∙5 = 64 – 15 = 49 21
x = 8 ± √ 49 3 , x = 8 ±7 3 , x 1 = 5, x 2 = 1 3 Ответ: x 1 = 5, x 2 = 1 3
3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Рассмотрим следующий способ нахождения корней квадратного уравнения
ах

+ bх + с = 0
с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х 1; 0) и D (х 2; 0), где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения
ах

+ bх + с = 0
, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c a ) на оси ординат (рис.6). Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОA∙ОС, откуда ОС = OB∙OD OA = x 1 ∙ x 2 1 = c a . Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому рис. 6 SK = x 1 + x 2 2 = − b a 2 = − b 2 a , SF = y 1 + y 2 2 = 1 + c a 2 = a + c 2 a Итак: 1) построим точки S ( − b 2a ; a + c 2 a ¿ — центр окружности и А (0;1); 2) проведем окружность с радиусом SA; 22
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения. При этом возможны три случая. 1) Радиус окружности больше ординаты центра (рис.7): AS > SK, или R > a + c 2 a , окружность пересекает ось Ох в двух точках B (х 1; 0) и D (х 2; 0), где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (рис.8): AS = SВ, или R = a + c 2 a , окружность касается оси Ох в точке B (х 1; 0), где х 1 — корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра (рис. 9): AS 0, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле: r = − b ± √ D 2 a Итак, r 1 = R + 3 R 2 = 2 R ; r 2 = R − 3 R 2 =− R (не имеет смысла) Общее сопротивление цепи R общ = R + 2 Rr 2 R + r = R + 2 R ∙ 2 R 2 R + 2 R = R + 4 R 2 4 R = 2R
Ответ:
При сопротивлении r = 2R сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми, общее сопротивление цепи равно 2R. 29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Квадратные уравнения – это фундамент алгебры. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военном деле, в бытовых ситуациях. В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Способов решения квадратных уравнений много. В своей работе я рассмотрела 10 способов . Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА по математике. На примере решения двух задач по темам: «Кинематика. Равноускоренное движение» и «Законы постоянного тока» я показала, как квадратные уравнения применяют на уроках физики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений. Считаю, что работа может быть полезна учащимся, т.к. в учебниках нет информации об истории возникновения квадратных уравнений, а также педагогам для использования на факультативных занятиях. 30

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1978. 2. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. 3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Алгебра: Геометрия: Прил.: Справ. материалы: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1986. 4. Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. Excel для экономистов и менеджеров. – СПб.: Питер, 2004. 5. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы (Д.И.Аверьянов, П.И.Алтынов и др.). – М.: Дрофа, 2002. 6. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов/ авт.-сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2006. 7. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2008. 8. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009. 9. Пособие по математике для поступающих в вузы. / под. ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1982. 31
R R r 2 R 2 R R r 2 R Приложение 1
Задача 2.
Две электрические цепи состоят из резисторов с известным сопротивлением R и 2R и неизвестным сопротивлением r. При каком сопротивлении r сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми и каково при этом полное сопротивление цепи? А А В В рис.1 рис. 2
Решение
1. Найдем полное сопротивление электрической цепи, изображенной на рис.1: R общ1 = R + 2 R ( R + 2 Rr 2 R + r ) 2 R + R + 2 Rr 2 R + r 2. Полное сопротивление электрической цепи, изображенной на рис.2: R общ2 = R + 2 Rr 2 R + r 3. Т.к по условию задачи сопротивления обеих цепей одинаковы, приравняем их. Получаем, R + 2 Rr 2 R + r = R + 2R ( R + 2 Rr 2 R + r ) 2 R + R + 2 Rr 2 R + r 2 Rr 2 R + r = 2 R ( R + 2 Rr 2 R + r ) 2 R + R + 2 Rr 2 R + r Приводим уравнение к общему знаменателю, упрощаем, приводим подобные: 32
2 Rr 2 R + r = 2 R ( 2 R 2 + Rr + 2 Rr 2 R + r ) 4 R 2 + 2 Rr + 2 R 2 + Rr + 2 Rr 2 R + r 2 Rr 2R + r = 2 R ( 2R 2 + 3 Rr ) ( 2 R + r ) ( 2 Rr + r ) ( 6 R 2 + 5 Rr ) r 2 R + r = ( 2 R 2 + 3 Rr ) ( 6 R 2 + 5 Rr ) ( 2 R + r ) ( 2 R 2 + 3 Rr ) = ( 6 R 2 + 5 Rr ) r R ( 2 R + r ) ( 2 R + 3 r ) = Rr ( 6 R + 5 r ) 4 R 2 + 6 Rr + 2 Rr + 3 r 2 = 6 Rr + 5 r 2 2 r 2 − 2 Rr − 4 R 2 = 0 4. Выполнив все преобразования, получаем квадратное уравнение вида: r 2 − Rr − 2 R 2 = 0 Решим полученное квадратное уравнение по формуле корней и определим неизвестное сопротивление r. Здесь a = 1, b = -R, c = -2R 2 . Дискриминант квадратного уравнения: D = b 2 – 4ac = (-R) 2 – (4∙1∙(- 2R 2 ) = R 2 + 8R 2 = 9 R 2 , √D = 3R Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле: r = − b ± √ D 2 a Итак, r 1 = R + 3 R 2 = 2 R ; r 2 = R − 3 R 2 =− R (не имеет смысла) 33
5. Рассчитаем общее сопротивление цепи. Подставим в формулу полного сопротивления значение r = 2R: R общ = R + 2 Rr 2 R + r = R + 2 R ∙ 2 R 2 R + 2 R = R + 4 R 2 4 R = 2R
Ответ:
При сопротивлении r = 2R сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми, общее сопротивление цепи равно 2R. 34