В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен

Дифференциальное уравнение теплопроводности

При решении задач, связанных с нахождением температурного по­ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло­проводности.

Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени .

Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сде­ланы следующие допущения:

– физические параметры постоянны;

– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

– внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:

количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теп­лопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо­трения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.

(*)

где dQ₁ – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;

dQ₂ – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.

Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQ_x, dQ_y, dQ_z.

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz.

Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,

где q_x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох

.

Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора

Если ограничиться двумя первыми членами ряда:

Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.

Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно

Обозначим через , Вт/м 3 , ко­личество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.

Тогда

Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, под­веденная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энер­гии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

где – изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);

ρ – плотность вещества, кг/м 3 .

Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим

,

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:

; ; .

где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим

(***)

Выражение (***) называется дифферен­циальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь меж­ду временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.

и

Тогда выражение (***) имеет вид:

Выражение (***) в цилиндрической системе координат:

где r – радиус-вектор;

φ – полярный угол;

Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, назы­вается коэффициентом температуропроводности и явля­ется физическим параметром вещества.

Он характеризует скорость изменения темпера­туры, т.е. являет­ся мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффи­циентом температуропроводности.

Коэффициент температуропроводно­сти зависит от природы вещества.

Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи­циентом температуропроводности.

Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температу­ропроводности.

Если система тел не содержит внутренних источ­ников теплоты (q_υ=0), то

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. , то

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведен­ная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:

(**)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то

где с_p – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).

В итоге (**) имеет вид:

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4555 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q₁ = -kSU_x(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U_x CpS∆x∆U = kSU_x(x + ∆х, t) ∆t — kSU_x(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U_t = a 2 U_xx,
где — коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|_t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g₁(t) ≡ Т₁ и g₂(t) ≡ Т₂, где Т₁ и Т₂ — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т₁= Т₂ = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g₁(t) = g₂(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h₁ > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g₁(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ₂ может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h₁, очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

удолетворяющее граничным условиям

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

Шаг 5. Определим коэффициенты A_n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).

Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения U_t = a 2 U_xx. Оно будет иметь вид

где

Учебное пособие: Дифференциальное уравнение теплопроводимости

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Общие вопросы теории теплообмена

Неравномерное распределение температуры в металле, характерное для сварки и других видов местной тепловой обработки металла, неустойчиво. С течением времени температура в неравномерно нагретом теле выравнивается, причем более нагретые части отдают тепло непосредственно соприкасающимся с ними менее нагретым частям. Такой энергетический обмен между взаимодействующими телами или их отдельными частями с неодинаковой температурой называется теплообменом или теплопередачей. Количество энергии, переданной частицами более горячего тела частицам более холодного, называется количеством теплоты, или просто теплотой. При этом теплота переходит от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой температурой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене между различными телами это положение также сохраняется, т. е. теплота переходит от более нагретых к более холодным телам. Таким образом, конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела заключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается.

Понятие «теплообмен» охватывает совокупность всех явлений, при которых имеет место перенос некоторого количества теплоты из одной части пространства в другую в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений. Для удобства принято делить перенос теплоты на простейшие виды: теплопроводность, конвекцию, теплообмен излучением, или радиацией. Эти процессы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами. Соответственно этому и строится математическая теория описания каждой формы теплообмена, со своими уравнениями, своими математическими методами, аналитическими или численными, или методами аналогий.

Теплопроводность характеризуется тем, что ее действие связано с наличием вещественной среды и что теплообмен может происходить только между такими частицами тела (молекулами и атомами), которые находятся в непосредственной близости друг от друга. Явление это можно представить себе так, что теплота переходит от одной частицы к другой, однако при этом сами частицы не перемещаются. В чистом виде процесс теплопроводности наблюдается в твердых телах.

Конвекция наблюдается тогда, когда материальные частицы какого-нибудь тела изменяют свое положение в пространстве и при этом переносят содержащуюся в них теплоту. Это явление имеет место в жидкостях и газах и всегда сопровождается теплопроводностью, т. е. передачей теплоты от одной частицы к соседней, если только во всей текущей массе нет полного равенства температур. Теплообмен между средой и стенкой называют теплоотдачей.

Теплообмен излучением характеризуется отсутствием контакта между телами, обменивающимися теплотой. Примером может служить излучение Солнцем теплоты на Землю через космическое пространство, в котором, как известно, плотность вещества ничтожна. Явление теплового излучения возникает у поверхности или внутри тела в результате сложных молекулярных и атомных возмущений. При этом некоторая часть внутренней энергии тела преобразуется в электромагнитные волны (или в другом представлении в фотоны — кванты энергии) и уже в такой форме передается через пространство.

Все эти различные формы переноса теплоты не обособлены и в чистом виде встречаются лишь на отдельных участках пути прохождения теплоты. В большинстве случаев один вид теплообмена сопутствует другому и разделить их между собой очень трудно.

Одним из законов, лежащих в основе аналитической теории теплопроводности, является гипотеза Фурье, связывающая перенос теплоты внутри тела с температурным состоянием в непосредственной близости от рассматриваемого места. Поэтому при изучении теории теплопроводности прежде всего необходимо установить основные понятия, такие, как температурное поле, градиент температуры, вектор теплового потока.

Температурным полем называется совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемого пространства (тела) в каждый фиксированный момент времени.

Температура является скалярной величиной, так как она характеризует тепловое состояние в любой точке тела, определяя степень его нагретости. Температуре нельзя приписать какое-либо направление и поэтому температурное поле является скалярным. Математическим выражением распределения температуры в теле является выражение, содержащее в качестве независимых переменных пространственные координаты и время:

в декартовой системе координат

Основной задачей аналитической теории теплопроводности является изучение пространственно-временного изменения температуры, т. е. нахождение зависимости (2.1). Уравнение (2.1) является записью наиболее общего вида температурного поля, когда температура в теле изменяется с течением времени и от одной точки к другой. Такое поле соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности и называется нестационарным температурным полем. Если тепловой режим является установившимся, то температура в каждой точке тела с течением времени остается неизменной, меняясь лишь от точки к точке. Такое температурное поле называется стационарным и температура является функцией только координат, например в декартовых координатах

Температурное поле, соответствующее уравнению (2.2), является пространственным, или трехмерным, так как температура является функцией трех координат.

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0. В этом случае поле называется двумерным и записывается: для нестационарного режима Т=Т(х, у, t); для стационарного режима Т=Т(х, у).

Если температура остается постоянной вдоль двух координат (например, у и z), то дТ/ду = дТ/дz = 0 и поле называется одномерным. В этом случае можно записать: для нестационарного режима Т=Т(х, t); для стационарного Т=Т(х).

Переменные х, у, z, фигурирующие в уравнении (2.1), определяют положение любой точки рассматриваемого тела, являясь координатами этой точки в выбранной системе координат. Эти переменные могут принимать бесконечное множество числовых значений, как и переменная t, характеризующая время течения процесса теплопроводности. Совокупность всевозможных числовых значений переменных х, у, z, t, каждому из которых соответствует вполне определенное значение температуры Т=Т(х, у, z, t), называется областью определения функции Т(х, у, z, t). Функция Т(х, у, z, t) в своей области определения считается обычно непрерывной, дважды непрерывно дифференцируемой по пространственным координатам (х, у, z) и непрерывно дифференцируемой по времени t.

В теле, имеющем температуру Т(х, у, z, t), можно выделить поверхность, во всех точках которой в некоторый момент времени температура одинакова. Такая поверхность называется изотермической поверхностью или поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет следующий вид:

Т(х, у, z, t)=C или Т=С, где C=const.

В отличие от стационарных в нестационарных полях форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени изменяются. Изотермические поверхности характеризуются следующими основными свойствами:

а) две изотермические поверхности, имеющие различные температуры, никогда не пересекаются друг с другом, так как в одной и той же
точке тела одновременно не может быть двух различных температур;

б) изотермические поверхности не имеют границ внутри тела. Они
или кончаются на поверхности, или замыкаются на себя, располагаясь
внутри тела;

в) теплота не распространяется вдоль изотермической поверхности,
а направляется от одной изотермической поверхности к другой. Это следует из положения о том, что тепловая энергия распространяется от более нагретого участка к менее нагретому.

Таким образом, можно считать, что изотермические поверхности разделяют твердое тело на тонкие «слои» — изотермические оболочки, отделяющие часть тела с температурой, большей, чем T=С, от части тела с температурой, меньшей, чем Т=С. Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии, соответствующие одинаковой температуре). Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересекаются, не обрываются внутри тела, оканчиваются на поверхности либо целиком располагаются внутри самого тела. На рис. 2.1 представлен участок двумерного температурного поля с изотермами Т, Т±∆Т, Т±2∆Т и т. д.

Задание температурного поля соотношением Т=Т(х, у, z, t) не всегда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля, а задание изотермических поверхностей (поверхностей уровня) с отметкой на них соответствующих значений температуры Т=С равносильно заданию самого поля Т=Т(х, у, z, t), при этом взаимное расположение поверхностей уровня даст наглядное представление о соответствующем поле температур. Указанный способ изображения поля особенно удобен, когда речь идет о двумерном поле.

Равенство вида Т(х, у, t) = C (всюду время t фиксировано) определяет на плоскости (х, у) некоторую кривую у = φ(х, с, t). Такие кривые называются линиями уровня (изотермами) плоского (двумерного) температурного поля Т=Т(х, у, t) (рис. 2.2).

На практике приходится иметь дело с температурными полями, обладающими специальными свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей.

§ 2.3 Температурный градиент

Рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности
с температурами Т и Т+∆Т(∆Т>0) и какую-либо точку М, лежащую
на одной из них (рис. 2.3).

Перемещаясь из точки М вдоль любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться вдоль какого либо направления l, пересекающего изотермические поверхности, то наблюдается изменение температуры. Используя понятие производной скалярного поля по заданному направлению, можно описать его локальные свойства, т. е. изменение температуры Т при переходе от точки М к близкой точке М’ по направлению l. Скорость изменения температуры Т в точке М в направлении l характеризуется производной функции Т

Наибольшая разность температуры на единицу длины вектора перемещения [Т(М»)—Т(М)]/∆l наблюдается в направлении нормали n к изотермической поверхности (рис. 2.3). В соответствии с (2.3) максимальная скорость изменения температуры при этом равна пределу отношения изменения температуры ∆T к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали ∆n, когда ∆n стремится к нулю:

дТ/дп= lim [T(M»)—T(M)]/∆n= lim ∆T/∆n. (2.4)

Итак, в любой точке М изотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Абсолютная величина этого вектора равна изменению температуры на единицу длины перемещения в рассматриваемом направлении — скорости возрастания температуры в этом направлении (т. е. производной от температурной функции Т по направлению нормали n). Такой вектор называют градиентом температуры в точке М или градиентом температурного поля и записывают в виде символа grad T:

в декартовых координатах (х, у, z)

grad T = ∂T/∂x i + ∂T/∂y j + ∂T/∂z k (2.5)

Для обозначения вектора (2.5) в теории поля иногда применяют символ gradT = T

Согласно сказанному выше, можно записать

длина вектора grad Т равна скорости возрастания Т в этом направлении. Здесь и всюду далее n — единичный вектор нормали.

Температурный градиент показывает, насколько интенсивно (резко) меняется температура внутри тела.

Производная от функции Т по направлению нормали n и вектор gradT связаны соотношением

дТ/дп = п grad Т. (2.7)

Вектор нормали n к поверхности T=const в точке М может иметь два противоположных направления, одно из которых можно считать внешним по отношению к данной поверхности, а другое внутренним.

Если нормаль n направить в сторону больших температур, то дТ/дп>0 и, как следует из (2.7), градиент температуры будет направлен в ту же сторону (угол между векторами n и grad T равен нулю). Если нормаль направить в сторону убывающей температуры, то производные дТ/дп Feα (1401°), а также температуре плавления (1528°), при нагреве поглощается, а при охлаждении выделяется теплота, и теплосодержание изменяется скачкообразно.

Теплоемкость твердого тела (истинная или при данной температуре) с ватт/г°С представляет предел отношения количества теплоты ∆S, сообщенного телу, к соответствующему изменению температуры ∆Т при бесконечном уменьшении этого изменения с=dS/dT.

Для расчетов иногда удобно принимать среднюю теплоемкость в данном промежутке температур, представляющую отношение количества теплоты S2—S1, сообщенного телу, к соответствующей разности температур T2—T1. Так, например, средняя теплоемкость железа в промежутке от 0 до 1500° составляет 256/1500=0.73 ватт/г С°.

Так как в сварочных процессах масса свариваемого металла изменяется несущественно удобно в расчетах использовать удельную объемную теплоемкость, численно равную произведению массовой теплоемкости на плотность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Выделим в теле некоторую часть объема V, ограниченную замкнутой поверхностью S, через которую происходит тепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой — остальной частью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме:

где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt, Дж; Q1 — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt, Дж; Q2 — количество теплоты, которое выделилось в объеме V за время dt вследствие внутренних источников теплоты, Дж.

Это утверждение вместе с законом Фурье положено в основу вывода
дифференциального уравнения теплопроводности — основного уравнения аналитической теории теплопроводности.

Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотермической); n — единичный вектор внешней нормали к точкам поверхности S (рис. 2.5); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (х, у, z) в момент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый промежуток времени dt, имея в виду, что Q=Q1+Q2. Для вычисления Q1 воспользуемся законом Фурье в скалярной форме. Количество теплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку dσ за время dt, равно

dQ1 =λ∂T/∂n·dσ·dt = λ·n·gradT dσ· dt =- qndσ·dt (2.14)

где q =— λ grad T—вектор плотности теплового потока.

Количество теплоты, протекающее за время dt через площадь поверхности S, выразится интегралом

(2.15)

где qn — проекция вектора q на нормаль п.

Поверхностный интеграл (2.15) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающей двойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.16)

(2.17)

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно хаpактеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное

dQ2= F(x, у, z, t)dVdt= F(M, t)dVdt. (2.18)

Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

(2.19)

Здесь F(M, t)>0; если F(M, t) 0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V, содержащей точку М, получим противоречие с условием (2.23).

Так как q=—λgradT, то равенство (2.24) можно записать следующим образом:

cp(dT/dt)=div(λgvadT)+F(M, t). (2.25)

Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так кaк div(grad T)= ∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно запишем

где а= λ/(ср) — коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч.

Тогда, в декартовых координатах уравнение (2.26) имеет вид

dT/dt=a(∂2 T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2)+[1/(cp)]F(x, у, z, t). (2.27)

В отличие от λ, которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризует теплоинерционные свойства тела и является мерой скорости выравнивания температурного поля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а=λ/(ср), где сρ — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности λ и обратно пропорциональна аккумуляционной способности сρ вещества. Особенно наглядным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и ∂T/∂t=a∆T(M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет нарастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом, чем больше а (т. е. чем меньше сρ), тем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени.

Уравнение (2.26) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными являются время и три пространственные координаты, а зависимой переменной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первой степени. Но вместе с тем оно является уравнением второго порядка, так как дифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае функцией координат и времени.

Может, в частности, оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившееся состояние). Тогда ∂T/∂t=0 и уравнение (2.26) принимает вид

где плотность тепловых источников F (М) уже не зависит от времени.

Уравнение (2.27) называется уравнением Пуассона.

Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах)

∆Т(М)=∂2T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2 =0 , (2.28)