Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в области, эллиптическая часть которой — полуполоса Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рузиев Менглибай Холтожибаевич
Исследована краевая задача в неограниченной области. Единственность решения задачи доказана с помощью принципа экстремума, а существование решения задачи установлена методами разделения переменных и интегральных уравнений.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рузиев Менглибай Холтожибаевич
Boundary Value Problem for the Equation of Mixed Type with Singular Coefficient in the Domain where the Elliptical Part is a Half-Band
Boundary value problem is studied in the unbounded domain. Uniqueness of the problem is proven with the help of the extreme principle. Existence of the problem is established by methods of separation of variables and integral equations.
Текст научной работы на тему «Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в области, эллиптическая часть которой — полуполоса»
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В ОБЛАСТИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ КОТОРОЙ-ПОЛУПОЛОСА
Институт математики и информационных технологий АН РУз,
100125 Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.
Исследована краевая задача в неограниченной области. Единственность решения задачи доказана с помощью принципа экстремума, а существование решения задачи установлена методами разделения переменных и интегральных уравнений.
Ключевые слова: полуполоса, уравнение смешанного типа, краевая задача, единственность, существование.
Пусть область D является суммой областей D+ и D-, первая из которых представляет собой эллиптическую полуполосу 0 ^ x ^ 1, у ^ 0, а вторая — характеристический треугольник OBC, где OC и BC — две пересекающиеся
2)т+2 ^ характеристики уравнения
signy \у\тихх +иуу + -^-Пу = О, (1)
исходящие соответственно из точек 0(0, 0) и В(1, 0). В (1) т и во — некоторые действительные числа, удовлетворяющие условиям т>0, —у +о
причём эти пределы при х = 0, х = 1 могут иметь особенность порядка ниже 1 — 2(3, где Б = ВиОСиВСиООос^ВВос, ООоо = <(ж, у) : х = 0, у >0>,
Рузиев Менглибай Холтожибаевич — старший научный сотрудник; к.ф.-м.н.
ВВж = <(х, у) : х = 1, у >0>; (у), ^2(у) и ф(х) —заданные функции,
Используя решение видоизмененной задачи Коши для уравнения (1) в В-, согласно краевому условию (4), имеем
V(х) = 7^1-2вт(х) — ^(х) (6)
Й (Ш + 2)^В^ф (-) ч = 2Г(2/3)Г(1
® (т + 2^ 2″ П) Г(1 — 2/5) V 4 ) 0х Ф\2), 7 Г(/3)Г(1 — 2/5) V 4
^ох —оператор дробного дифференцирования порядка I в смысле Римана— Лиувилля [4].
Равенство (6) есть основное функциональное соотношение между неизвестными функциями V (х) и т (х), принесённое на .] гиперболической части В- области В.
Имеет место следующая
Лемма 1. Если функция и(х, у) — решение уравнения (1) в области В-такое, что т(х) = и(х, 0) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х = хо, 0 0 (^ (хо) 0 соответственно от В и В+; Оь(0, Н), В^(1, Н).
Теорема 1. Задача Т не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть и(х, у) —решение задачи Т, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Покажем, что и(х, у) = 0 в В+.
Допустим, что это не так. Тогда найдётся такая область Вв которой и(х, у) = 0.
Действительно, тах-=г+ |и(х, у) | >0. Без ограничения общности можно считать, что
тах|и(х, у)\ = тахи(х, у) > 0.
Допустим, что тах-=г+ и не достигается на ОьВ^. Поскольку и(0, у) =
= и( 1, у) = 0 при у ^ 0, то он не должен достигаться на а = ООь и ВВ^, и в силу хорошо известного свойства эллиптических уравнений он должен достигаться на отрезке О В в некоторой его внутренней точке (жо, 0). Но тогда, по лемме, приведённой в работе [5], должно быть ^(хо) 0 в силу леммы 1.
Следовательно, тах-=-+ и должен достигаться на ОьВ^. Возьмём произ-иь
вольное малое число е > 0 ив силу (2) выберем Н настолько большим, чтобы |и(х, у)| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
4 \2-2в Г2(1 — в)(1 — во)
Из равенств (11), (12) и (14) после несложных вычислений имеем
и(х) =-к2—^-— [ т'(Ь)(х — ^\х — Ц2/3 2(И—
— ^2(1 — во) I т(£) | (х + £)2в-2 — Е [(2п + х — £)2в-2 — (2п + х + £)2в-2+ +(2п — х + £)2в-2 — (2п — х — £)2в-2 > ^ + ^о(х), (15)
f°° 2m+l+/3n f°° 3-20 Sh Xx (2Лt 2 \ ]
+ l ‘ ’ Ы*)Л1 Aa *XJl^ (^TjJ dxj-
Равенство (15) есть основное функциональное соотношение между неизвестными функциями v(ж) и т(ж), принесённое на J эллиптической части D+ области D.
Согласно (5), исключая v(ж) из (6) и (15), получим
+(2n — ж + t)2e-2 — (2n — ж — t)2e-2 > dt + F0(ж).
Применив оператор В^-1 к обеим частям последнего равенства и выполнив некоторые преобразования, получим сингулярное интегральное уравнение относительно т (х):
т(x) — ^ / т(t)K(x, t)dt = $(x), x Є (0, 1), о
t — x t + x 2n-t \2e-1
2n — t + x 2n — t — x
2n + t + x 2n + t — x
4 \2/3 Г2(1 — 2/3) cosTT/3 / 20-1
m + 2/ Г2(1 — в) 1 + sin пв
D02f-1 ^(x) + Dо2f-1Fо(x)
т(х) = x2 2l3ip(x), K(x, t) = L(x,t), Ф(ж) = ж2 2/3g(ж),
приведём уравнение (1б) к виду
^>(x) — ^ / L(x, t)^(t) dt = g(x), о
2n + t + x 2n + t — x
2n — t + x 2n — t — x
Из (17) после некоторых вычислений получим
‘ V 2n + t + x 2n + t — x 2n — t + x 2n — t — x
Л L(x, t) = L(x, t) — L^x, t) =
(2n + t)2e-1 [(2n + t)2-2e — t2-2e ]
Легко убеждаемся в том, что △ Ь(ж, і) —ограниченная функция в квадрате 0 ^ ж, і ^ 1. Далее, используя разложение ctg ж на простейшие дроби, ядро Ьо(ж, і) запишем в виде:
С учётом (19) из (18) имеем
r(x) = ^ [ Л L(x, t)^(t) dt + g(x). (21)
Произведя замену z = sin2 ^г, £ = sin2 ^ и полагая p(z) = (ж), %(z) = = r(x), из (20) получим
p(z)-/x [1РШ=ф), г Є (0,1). (22)
Решение уравнения (22) ищем в классе Л,(1) функций р(г) € Н(0, 1), которые при г = 1 ограничены, а при г = 0 могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы. Нетрудно показать, что индекс % класса Л,(1) равен нулю. Тогда единственное решение уравнения (22) в классе Л,(1) имеет вид
, . 1 -\- ЭШ 7ГВ . . СОЭ 7Г(3 (1 — х\ 4 г1
Отсюда, возвращаясь к прежнем переменным, получим
В силу (21) равенство (23) запишем в виде
р(х) + / Н(х, %(*) ^ = ^1 (х), о
27Г2(1 + 8ІП7Г/3) Уо Vtgy
, . 1 + ЭШ П^ . , С0Э пв
Равенство (24) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Разрешимость уравнения (24) следует из единственности решения задачи Т. □
1. Репин О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса// Дифференц. уравнения, 1996. — Т. 32, №4. — С. 565567.
2. Лернер М. Е., Репин О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа // Докл. РАН, 1999. — Т. 365, №5. — С. 593-595.
3. Блюмкина И. А. О построении решения задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина в полуполосе// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Мат.-мех.-астр., 1971. — №13. — С. 12-23.
4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.
5. Салахитдинов М. С., Рузиев М. Х. Задача Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа в неограниченной области // Узбек, мат. журн., 2005. — № 2. — С. 77-83.
6. Салахитдинов М. С., Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах со смешением для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на границе// Изв. АН УзССР. Сер. Физ.-мат. науки, 1980. — №1. — С. 16-21.
7. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1990. — 528 с.
Поступила в редакцию 28/Х/2008; в окончательном варианте — 05/11/2009.
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE EQUATION OF MIXED TYPE WITH SINGULAR COEFFICIENT IN THE DOMAIN WHERE THE ELLIPTICAL PART IS A HALF-BAND
Institute of Mathematics and Information Technologies Uzbek Academy of Sciences,
29, Durmon yuli st., Tashkent, 100125.
Boundary value problem is studied in the unbounded domain. Uniqueness of the problem is proven with the help of the extreme principle. Existence of the problem is established by methods of separation of variables and integral equations.
Key words: h,a,lf-ba,nd,, mixed type equation, boundary value problem, uniqueness, existence.
Original article submitted 28/X/2008; revision submitted 05/II/2009.
Ruziev Menglibay Kholtojibayevich, Ph. D. (Phys. & Math.), Senior Scientific Researcher.