В полярной системе координат составить уравнение окружности

Окружность в полярных координатах

Уравнение окружности в полярных координатах выглядит очень просто

Это уравнение показывает, что ρ вообще не зависит от угла φ.

Построение окружности по простому уравнению в полярной системе координат

Еще одно уравнение окружности в полярных координатах

Первый пример был очень простым, теперь возьмем окружность смещенную по оси X в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

Известно, что окружность в декартовой прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Используя эти формулы и подставив их в (1) мы получим:

Уравнение окружности в полярных координатах

Изначально после подстановки имеем

И этого уравнения получается система

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

В итоге получаем:

Построение окружности в полярной системе координат

Теперь сместим окружность по вверх, очередное уравнение окружности в полярных координатах

В данном варианте мы сместим окружность по оси Y в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

При таком смещении окружность описывается уравнением:

И этого уравнения получается система

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

Уравнение окружности в полярной системе координат.

Определим уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой C расположен на полярной оси, а радиус равен R. Выполним построения:

Далее отметим на окружности любую точку А и В, причем точка В — конец диаметра. Соединим выбранную пару точек. Угол ОАВ — прямой, а потому, так как диаметр равен 2R, из прямоугольного треугольника АОВ имеем:

Если же центр является началом координат, то уравнение принимает вид:

Так же уравнение может принимать вид:

Для ситуации, когда центр окружности расположен на прямой перпендикулярной полярной оси и проходящей через полюс:

Полярная система координат

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться и другими системами координат. В частности широко используется полярная система координат. На плоскости выберем точку и обозначим ее О. Рассмотрим луч с началом в О, а на луче выберем единичный отрезок ОЕ. Точка О называется полюсом, а луч ОЕ называется полярной осью. Положение любой точки М на плоскости, отличной от О определяется парой чисел: расстоянием r = |OM| и величиной угла между лучами ОЕ и ОМ, причем угол ориентирован, т. е. положительное направление против часовой стрелки, а отрицательное – по часовой стрелке. Для точки О считаем r = 0, а угол j не определен.

Для рассматриваемых полярных координат мы имеем r ³ 0, а j Î R. Однако, в нашем случае пары чисел (r, j) и (r, j + 2 к), где к – любое целое число, представляют собой координаты одной и той же точки плоскости. Поэтому выделяют главные значения угла 0 £ j

Например, пара чисел (−3; ) задает точку А с полярными координатами (3; ).

Пример 1. Найдем уравнение прямой, не проходящей через полюс О. Зададим эту прямую числом р, длиной отрезка ОР и углом a, где Р – основание перпендикуляра ОР на прямую, а a –ориентированный угол между лучом ОР и полярной осью.

Если произвольная точка М(r, j) принадлежит данной прямой, то р = rcos (j −a) и обратно.

Поэтому имеем уравнение прямой: .

Пример 2. Луч вращается вокруг своего начала О с постоянной скоростью w. Найти параметрические уравнения траектории точки М, если она начала движение от точки А ¹О, и движется по лучу со скоростью пропорциональной расстоянию |OM|.

Решение. Примем за полярную систему координат начальное положение луча , где точка О будет полюсом. За параметр t примем время. Тогда положение точки М через промежуток t определяется значениями полярных координат r и j, где r изменяется от значения до + ¥. При этом r¢ = lr , а j = wt. Из дифференциального уравнения

Þ Þln — ln = lt Þ .

Рассмотрим согласованную с полярной системой координат прямоугольную декартовую систему. Известна связь между координатами этих систем.

.

Заменяя полярные координаты, получим параметрические уравнения траектории точки М:

РЕШЕНИЕ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости: 3х – 5 у + 5 z + 3 = 0.

Решение. Искомая плоскость a будет проходить через данную прямую, а следовательно через точку прямой М₀ (2; – 3; – 1). Направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор заданной плоскости параллельны искомой плоскости. Так как векторы и не коллинеарные (их координаты не пропорциональны), то составим уравнение плоскости в виде определителя по точке и двум неколлинеарным векторам:

.

Разложим определитель по первой строке

.

,

a: .

Ответ: .

2.Даны плоскости, заданные в О уравнениями:

a: 2х – 3у + 3 = 0, b: х – у + z +2 = 0.

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и перпендикулярную плоскости b.

Решение. Найдем две общие точки данных плоскостей. Для этого решим систему уравнений:

Пусть у = 0, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = , z = .

Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₁ . Пусть у = 1, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = 0, z = . Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₂ .

Из уравнения плоскости b находим ее нормальный вектор .

Для составления уравнения искомой плоскости обратим внимание на то, что точки М₁ и М₂ принадлежат ей, а вектор будет ей параллелен. Поэтому составляем уравнение плоскости по точке М₂ и двум неколлинеарным векторам и . Можно заменить вектор на вектор . Запишем уравнение в виде определителя: . Разложив определитель по первой строке, получим уравнение искомой плоскости,:

.

3.Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(6; 2; 3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки В (1; 4; 4), С (0; 2; 4), D (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (BCD) по трем точкам B, C, D

,

.

Разложив определитель по первой строке, получим уравнение плоскости (BCD):

.

Нормальный вектор плоскости (BCD) будет направляющим вектором искомой прямой. Составим канонические уравнения прямой по точке А(6; 2; 3) и направляющему вектору :

.

Ответ: .

4. Даны прямые, заданные в О уравнениями:

ℓ₁: и ℓ₂: .

Найти уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй прямой.

Решение. Согласно условию задачи точка М₀ (– 1; – 1; 4), принадлежащая первой прямой, лежит в искомой плоскости. Кроме этого имеем два вектора: , направляющий вектор прямой ℓ₁ и , направляющий вектор прямой ℓ₂, которые параллельны искомой плоскости и не параллельны между собой. Составим уравнение плоскости

a: .

Раскрываем определитель по первой строке:

= – 3(х + 1) + 6(у +1) – 12(z – 4) = – 3х + 6у – 12z +51.

Следовательно, – 3х + 6у – 12z +51 = 0 и получаем уравнение плоскости a: х –2у + 4z – 17 = 0.

5. Вычислить расстояние от точки P (-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через точки, заданные в О : А (1; 4; 4), B (0; 2; 4), C (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (АВС) по трем заданным точкам:

.

Разложив определитель по первой строке, получим:

.

Следовательно, = 0 уравнение плоскости (АВС).

Воспользуемся известной формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости

.

Ответ: .

Тест

Отметьте номер правильного ответа в бланке ответов

Задания	Варианты ответов
А1	Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(1; – 2; 1) и М2(3; 1; – 1)	1) 2) 3) 4) 5) =0
A2	Найти расстояние от точки М0 (–1; 2) до прямой ℓ:	1) 2) 3) 2 4) 5 5)
A3	Найти расстояние между прямыми ℓ1: и ℓ2:	1) 2) 5 3) 4) 5) 6
А4	Найти косинус угла между прямыми ℓ1 и ℓ2, если ℓ1 : и ℓ2:	1) 2) 3) 4) 5) 0
А5	Найти уравнение касательной к окружности в точке	1) 2) 3) 4) 5)
А6	Две стороны квадрата лежат на прямых ℓ1 : и ℓ2: . Вычислить его площадь	1) 64 2) 81 3) 16 4) 49 5) 25
А7	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение прямой (ВС).	1) 2) х + у – 1=0 3) у = х +1 4) 5) х – у + 1=0
А8	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение медианы (АМ) треугольника АВС.	1) 2)х– у+1=0 3)х+3у –3=0 4) 3х+у – 3=0, 5)
А9	В О заданы точки: А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4) Найти общее уравнение биссектрисы угла ÐАВС.	1) х – у = 0, 2) 2х+3у – 1 =0, 3) х = 2, 4) у – 2 = 0, 5) у = 2х.
А10	В О заданы точки: А(1; 1),В(0; 2), С(2; 4). Вычислить расстояние от точки А до биссектрисы угла В в треугольнике АВС.	1) 1, 2) -2, 3) 4, 4) 0, 5) 2.
А11	В О заданы точки:А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4). Вычислить площадь треугольника АВВ1 , где ВВ1 — биссектриса угла В в треугольнике АВС.	1) 2, 2) , 3) , 4) -1, 5) 3
А12	В О заданы плоскости a:х-у+z = -3, b: 2x-3z+4=0 найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и ^ a.	1)х – у — 8z=19; 2)21x — 3y — 24z+19=0; 3)x — 3y+5z — 21=0; 4) x+3y — 5z — 21=0; 5) 21x — 3y+24z+19=0
A13	Уравнение прямой имеет вид, если она проходит через точку В(4,2,-3) и перпендикулярна плоскости ACD, где A(1,-1,1), C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1)21x-3y+24z+19=0;2) 3) ; 4)х – у – z +3=0; 5)
А14	Уравнение плоскости ACD имеет вид, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 3х – у + 2z – 6 =0, 2) 3х + у + 2z + 6 =0, 3) у + 2z – 6 =0, 4) 3х + 2z – 6 =0, 5) 3х – у -2z – 6 =0
A15	Найти расстояние от точки B(4,2,-3) до плоскости ACD, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 2, 2) , 3) 3, 4) , 5)

Список литературы

1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. — М.: Наука, 1990.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1986.

3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. — Ч. 1. — М.: Просвещение, 1974.

4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. — М.: Просвещение, 1980.

5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. –М. 2003.

6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 2005.

7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.- С. Петербург, 1997.

8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1973.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. –М., 2004. –464 с.

10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. –.М.: Физматлит, 2003. –584 с.

11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. –271 с.

12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. –267 с.

13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. –М.: МГУ, 1980. –320 с.

14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1964.

15. А.В. Погорелов. Геометрия. — М.: Наука, 1984.

16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1966.

Виктор Анатольевич Долженков

Елена Георгиевна Соловьева

Игорь Викторович Горчинский

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 г.

Подписано в печать Формат 60х84/16. Печать офсетная.