Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.
Что означает фраза «ранг матрицы равен $r$»? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.
Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.
Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.
Решить СЛАУ $ \left \ < \begin
Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:
$$ \left( \begin
Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.
И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde = 2$.
Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:
На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.
В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.
Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $\left( \begin
Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:
$$ M_<2>^<(1)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.
Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:
$$ M_<2>^<(2)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_3$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.
Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.
Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_
В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.
Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.
Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin
$$ \left( \begin
Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:
Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть
Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $\left( \begin
Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.
А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:
$$ \left( \begin
Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:
Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:
Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $\left\ <\begin
Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-2-\frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:
$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(9+2x_2-\frac<1><3>x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-2-\frac<4><3>x_4\right)+13x_4=9. $$
Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.
Если система является неопределённой, указать базисное решение.
Похожий пример уже был решен в теме «метод Крамера» (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.
$$ \left( \begin
Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $\rang A=\rang\widetilde = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.
Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод «ступенек», что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.
Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:
$$ \left( \begin
Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.
Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы
Страницы работы
Содержание работы
Глава 7 Системы линейных уравнений.
Определение 1:Системой линейных уравнений называется система вида:
Определение 2: Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор чисел 
при подстановке которых в исходную систему каждое из уравнений обращается в тождество.
Определение 3: Основной матрицей системы линейных уравнений называется матрица А размерности 
, образованная из коэффициентов при неизвестных:
Определение 4: Основная матрица А системы дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается 
.
Определение 5: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если у неё нет.
Определение 6: Система уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
Определение 7: Неизвестная хi в системе линейных уравнений называется базисной, если она встречается в единственном уравнении системы и имеет коэффициент равный единице.
Определение 8: Система уравнений имеет базисный вид, то есть приведена к единичному базису, если в каждом уравнении выделена одна базисная переменная.
Приведём системы базисного вида:
Расширенная матрица этой системы:
Нетрудно увидеть, что базисными переменными в приведённом примере являются переменные х1, х3, х4.
Определение 9: Переменные входящие в уравнения системы и не являющиеся базисными называются свободными переменными.
Определение 10: Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Все несовместные системы равносильны.
Перечислим элементарные преобразования систем, приводящие к равносильным системам:
2. Умножение на число 
правой и левой части любого уравнения.
3. Прибавление к левой и правой части i-ого уравнения соответствующих частей j – ого уравнения, умноженных на число .
4. Перестановка местами i-ого и j-ого уравнений.
7.2 Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
Этот метод позволяет привести к базисному виду совместную систему уравнений.
Элементарные преобразования будем осуществлять по следующей схеме.
1. Выбираем разрешающий элемент в каком либо уравнении и если этот элемент расширенной матрицы не является единицей, то элементы разрешающей строки делим на этот элемент.
2. Разрешающий столбец с помощью элементарных преобразований заполняем нулями.
3. Получаем новую расширенную матрицу, в которой снова выбираем другую разрешающую строку и повторяем все действия.
4. В случае возникновения нулевой строки ее вычеркиваем.
5. В случае возникновения строки вида: 0х1+0х2+0хn=bi система не имеет решений, то есть является несовместной.
Рассмотрим пример решения системы с использованием столбца контрольных сумм КΣ, которые представляют собой суммы всех коэффициентов, соответствующих уравнений. Эти числа преобразуются по тем же правилам, что и остальные элементы матрицы. Контроль состоит в том, что на каждом этапе проверяется совпадение контрольной суммы с суммой всех коэффициентов данного уравнения. Решим систему уравнений.
Составим расширенную матрицу системы, причем в первом столбце будут контрольные суммы, а в последнем будем указывать базисные переменные. Легко видеть что в первом уравнении такой переменной будет переменная х4.
выберем разрешающий элемент во второй строке, пусть это будет 
. Используя элементарные преобразования, получим матрицу у которой все остальные элементы разрешающего столбца были нулевые, для этого выполняются следующие элементарные преобразования:
1. Разрешающая строка умножается на (-2) и складывается с первой строкой, результат записываем на место первой строки.
2. Разрешающая строка умножается на (-3) и складывается с третьей строкой, результат записывается на место третьей строки.
В результате получаем матрицу:
Используя столбец контрольных сумм, сделаем проверку:
Следующим шагом необходимо выбрать разрешающий элемент в третьей строке. В качестве такого элемента можно взять элемент 
, но для того чтобы этот элемент стал равным единице, умножим элементы третьей строки на (-1). Получим матрицу вида:
используя элементарные преобразования, преобразуем разрешающий столбец матрицы так, чтобы все элементы кроме разрешающего (базисного) стали равны нулю, для этого выполняем следующие элементарные преобразования.
1. Разрешающая строка умножается на (-1) и складывается со второй строкой, результат записывается на место второй строки.
2. Разрешающая строка умножается на (-1) и суммируется с первой строкой, результат записывается на место первой строки.
Системы эконометрических уравнений
7. Системы эконометрических уравнений
7.1. Виды систем регрессионных уравнений
Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих деятельность этой системы. Поэтому для описания механизма функционирования таких систем обычно изолированных уравнений регрессии недостаточно.
Практически изменение какого-либо показателя в экономической системе, как правило, вызывает изменение целого ряда других. Так изменение производительности труда влияет на затраты труда, а, следовательно на себестоимость, прибыль, рентабельность производства и пр.
Все это вызывает потребность использования при описании сложных экономических явлений и процессов систем взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств. Особенно актуальна необходимость в применении таких систем при моделировании на макроуровне, так как макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Например, при построении модели национальной экономики необходимо рассмотреть уравнения, описывающие потребление, инвестиции, прирост капиталовложений, воспроизводство трудовых ресурсов, производство продукта и пр.
Переменные, входящие в систему уравнений подразделяют на экзогенные, эндогенные и лаговые (эндогенные переменные, влияние которых характеризуется некоторым запаздыванием, временным лагом 
).
Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными, т. е. определенными заранее.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой теоретической концепции модели. Экономические показатели могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возраст) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).
Рассмотрим типы систем эконометрических уравнений.
1. Система независимых регрессионных уравнений (внешне не связанных)
В данном случае каждая зависимая переменная 
рассматривается как функция некоторого е набора факторов
.
. (7.1)
Набор факторов 
в уравнениях (1) может варьировать. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно, а его параметры могут быть найдены на основе традиционного метода наименьших квадратов (МНК).
2. Система рекурсивных уравнений
В таких системах в одном из уравнений содержится единственная зависимая переменная 
, которая в следующем уравнении присутствует в качестве факторной переменной. В третье уравнение эти эндогенные переменные из предыдущих уравнений могут быть включены как факторные и т. д.
(7.2)
В данной системе каждое последующее уравнение наряду с факторными переменными 
включает в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений. Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).
3. Система взаимозависимых (одновременных) уравнений
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые (эндогенные) переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. выступают в роли результативных признаков), а в других уравнениях – в правую часть системы (т. е. выступают в качестве факторных переменных). Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели (СФМ).
Система одновременных уравнений в структурной форме и при отсутствии лаговых переменных может быть записана:
(7.3)
Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Тождества позволяют исключать некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности Параметры модели в структурной форме называют ее структурными коэффициентами
Система одновременных уравнений в структурной форме позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т. к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК (например, предпосылка о некоррелированности факторных переменных с остатками). Эндогенные переменные являются случайными величинами, зависящими от 
. В том случае, когда эндогенная переменная входит в некоторое уравнение как факторная происходит нарушение названной предпосылки МНК. Таким образом, для нахождения структурных коэффициентов традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.
7.2. Приведенная форма модели
Для определения структурных коэффициентов на основе структурной модели формируют приведенную форму модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
(7.4)
где 
– коэффициенты приведенной формы модели, 
– случайные остатки для приведенной формы.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.
Можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим структурную модель с двумя эндогенными переменными.
. (7.5)
Запишем соответствующую приведенную форму модели:
. (7.6)
Выразим коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.
Из первого уравнения (7.5) можно выразить 
(ради упрощения опускаем случайную величину): 
.
Подставим 
во второе уравнение (7.5):
(7.7)
Выразим из (7.7) 
: 
.
Поступая аналогично со вторым уравнением системы (7.5), получим
, т. е. система (7.5) принимает вид:
Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели выражаются через коэффициенты структурной формы следующим образом:
Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют взаимосвязи между эндогенными переменными.
7.3. Проблема идентификации
При правильной спецификации модели задача идентификация системы уравнений сводится к корректной и однозначной оценке ее коэффициентов. Непосредственная оценка коэффициентов уравнения возможна лишь в системах внешне не связанных уравнений, для которых выполняются основные предпосылки построения регрессионной модели, в частности, условие некоррелированности факторных переменных с остатками.
В рекурсивных системах всегда возможно избавление от проблемы коррелированности остатков с факторными переменными путем подстановки в качестве значений факторных переменных не фактических, а модельных значений эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных переменных. Процесс идентификации осуществляется следующим образом:
1. Идентифицируется уравнение, в котором в качестве факторных не содержатся эндогенные переменные. Находится расчетное значение эндогенной переменной этого уравнения.
2. Рассматривается следующее уравнение, в котором в качестве факторной включена эндогенная переменная, найденная на предыдущем шаге. Модельные (расчетные) значения этой эндогенной переменной обеспечивают возможность идентификации этого уравнения и т. д.
В системе уравнений в приведенной форме проблема коррелированности факторных переменных с отклонениями не возникает, так как в каждом уравнении в качестве факторных переменных используются лишь предопределенные переменные. Таким образом, при выполнении других предпосылок рекурсивная система всегда идентифицируема.
При рассмотрении системы одновременных уравнений возникает проблема идентификации.
Идентификация в данном случае означает определение возможности однозначного пересчета коэффициентов системы в приведенной форме в структурные коэффициенты.
Структурная модель (7.3) в полном виде содержит 
параметров, которые необходимо определить. Приведенная форма модели в полном виде содержит 
параметров. Следовательно, для определения неизвестных параметров структурной модели можно составить уравнений. Такие системы являются неопределенными и параметры структурной модели в общем случае не могут быть однозначно определены.
Чтобы получить единственно возможное решение необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой их взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другими путями: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково и пр.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов нахождения параметров.
Чтобы определить тип структурной модели необходимо каждое ее уравнение проверить на идентифицируемость.
Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель кроме идентифицируемых содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
7.4. Условия идентифицируемости уравнений структурной модели
1. Необходимое условие идентифицируемости
Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.
Введем следующие обозначения:
М – число предопределенных переменных в модели;
m— число предопределенных переменных в данном уравнении;
— число эндогенных переменных в модели;
— число эндогенных переменных в данном уравнении;
Обозначим число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через 
, 
.
Тогда условие идентифицируемости каждого уравнения модели может быть записано в виде следующего счетного правила:
Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.
Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.
Достаточное условие идентификации
Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но не достаточное условие идентификации.
В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны 
. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию структурных уравнений системы тождества участвуют..
Изучается модель (одна из версий модели Кейнса):
(7.8)
где 
– потребление в период 
; 
– ВВП в период ; 
— ВВП в период (
); 
– валовые инвестиции в период 
; 
– государственные расходы в период .
Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение –тождество ВВП. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает три эндогенные переменные 
и две предопределенные переменные (одна экзогенная переменная – и одна лаговая переменная –).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
тождество, не подлежит проверке
Например, первое уравнение содержит две эндогенные переменные 
и 
и одну предопределенную переменную 
.
Таким образом, 
; D=2-1=1. Условие условие выполняется, т. е. уравнение идентифицируемо.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:
. Ее определитель не равен нулю, поэтому ранг матрицы равен 2, т. е равняется числу эндогенных переменных без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.
Второе уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: 
. Ранг данной матрицы равен 2, так как существут определитель второго порядка не равный нулю:
. Следовательно, достаточное условие идентификации для данного уравнения также выполняется Но в соответствии с необходимым условием считаем это уравнение сверхидентифицируемым.
Таким образом, эта система уравнений является сверхидентифицируемой.
7.5. Методы оценки параметров структурной формы модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
1) косвенный метод наименьших квадратов;
2) двухшаговый метод наименьших квадратов;
3) трехшаговый метод наименьших квадратов;
4) метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
Рассмотрим сущность некоторых из этих методов.
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов:
1. Для структурной модели строится приведенная форма модели.
2. Для каждого уравнения приведенной формы традиционным МНК оцениваются приведенные коэффициенты .
3. На основе коэффициентов приведенной формы находятся путем алгебраических преобразований параметры структурной модели.
Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод (ДМНК).
Основная идея ДМНК состоит в следующем:
· на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения расчетные значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части этого уравнения;
· подставляя найденные расчетные значения эндогенных переменных вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.
Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:
· на первом шаге при определении параметров приведенной формы модели и нахождении на их основе оценок расчетных значений эндогенных переменных 
; 
;
· на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, когда вместо фактических значений эндогенных переменных рассматриваются их расчетные значения, найденные на предыдущем шаге.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
· все уравнения системы сверхидентифицируемы;
· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним можно найти на основе косвенного МНК. Двухшаговый метод, примененный к точно идентифицированным уравнениям дает такой же результат, что и косвенный МНК.
Продолжение примера 15.
Продолжим рассмотрение примера 15.
Система является сверхидентифицируемой: первое уравнение идентифицируемо, а второе уравнение сверхидентифицируемо. Поэтому для определения коэффициентов первого уравнения можно применить косвенный МНК, а для второго уравнении двухшаговый МНК.
Построим приведенную форму модели:
(7.9)
Исходные данные задачи (в млрд. руб.)
Предсказанное
Найдем параметры модели (7.9), применяя МНК к каждому уравнению,
используем « Пакет анализа» EXCEL):
(7.10)
Каждое уравнение статистически значимо (
– статистики: 
=1302,55;
=281,956; 
=847,65). Коэффициенты детерминации свидетельствуют о хорошей связи между эндогенными и предопределенными переменными:
=0,9977; 
=0,989; 
=0,996.
На основе уравнений модели (7.10) найдем структурные коэффициенты первого уравнения.
Выразим из третьего уравнения (7.10) переменную и подставим в первое уравнение. Получим первое структурное уравнение: 
Так как второе уравнение сверхидентифицировано, то применим двухшаговый МНК. Найдем на основе третьего уравнения (7.10) расчетные значения переменной ( столбец «предсказанное » табл.23) и используем их для нахождения параметров второго структурного уравнения.
Получим: 
4; 
.
В результате получим следующую систему структурных уравнений:
Трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)
Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и случайные остатки каждого уравнения. Затем строится ковариационная матрица остатков и проводится ее оценка. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов. ТМНК является достаточно эффективным, но требует существенно больших вычислительных затрат. Более подробное описание можно найти в работе[1][1]
7.6. Инструментальные переменные
Метод инструментальных переменных (МИП) применяется для оценивания уравнений, в которых регрессоры (факторы) коррелируют со свободными членами. Коррелированность между факторными переменными и случайными ошибками может быть вызвана разными причинами:
· пропущенными переменными, которые находятся в корреляционной связи с факторными переменными;
· ошибками измерений факторных переменных;
· включением лагированной зависимой переменной при наличии автокоррелированности ошибок. В этом случае лаговые переменные скорее всего будут коррелировать с ошибками;
· одновременные взаимосвязи между переменными (эндогенность переменных, включенных в правые части регрессионных уравнений).
Именно это явление оказывается характерным для систем одновременных уравнений;
Если между факторными переменными и случайными остатками имеется корреляционная зависимость (
,
), то нарушаются условия классической модели и оценки параметров, найденные по МНК будут смещенными и не состоятельными.
Идея МИП заключается в том, чтобы подобрать новые переменные 
, которые бы тесно коррелировали с 
и не коррелировали со случайными остатками 
. Такие переменные называют инструментальными или просто инструментами). Включение их в модель обеспечивает состоятельность оценок МНК.
Набор переменных 
может включать факторные переменные, которые не коррелируют с остатками, а также другие внешние величины, не входящие в состав факторных переменных модели. Важно, чтобы число инструментов было не меньше, чем число независимых переменных.
Рассмотрим случай парной регрессии: 
. Предположим, что между факторными переменными и остатками имеется корреляционная зависимость, т. е. 
. Рассмотрим систему нормальных уравнений для линейной парной регрессии:
, (7.11)
тогда 
. (7.12)
Можно показать, что 
. Так как , оценка 
параметра 
будет смещенной и не состоятельной.
Предположим, что можно найти такую переменную 
, которая была бы коррелированна с ( ), но не коррелированна с 
( ). Выберем эту переменную в качестве иструментальной переменной.
Заменим второе уравнение системы (7.11) на следующее: 
и рассмотрим систему:
. (7.13)
Решение системы (7.13) будет, очевидно, отличается от решения предыдущей системы. Обозначим новые оценки 
соответственно.
В этом случае оценка 
. (7.14)
Покажем, что она является несмещенной и состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблюдений 
стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим, как 
.
, здесь 
, так как 
– постоянная величина.
Тогда 
. (7.15)
Так как , а 
, то в больших выборках 
стремится к истинному значению .
Сравним 
(формула (7.14) с оценкой МНК (формула 7.12). Очевидно, что оценку , можно получить путем подстановки инструментальной переменной 
вместо в числителе и вместо одного (но не обоих) в знаменателе в формуле (7.12) для оценки .
Чем теснее корреляция между и Z, тем меньше будет их дисперсия и, следовательно, тем меньше будет дисперсия 
. Следовательно, если мы стоим перед выбором между несколькими возможными инструментальными переменными, то следует выбрать наиболее тесно коррелированную с 
, потому что при прочих равных условиях она даст наиболее эффективные оценки. Вместе с тем не рекомендуется использовать инструментальную переменную, имеющую функциональную зависимость с , даже если бы ее удалось найти, потому что тогда она автоматически оказалась бы коррелированной с остатками 
и оценки по-прежнему были бы не состоятельны.
Нетрудно понять, что метод оценивания с помощью инструментальных переменных является обобщением обычного метода наименьших квадратов.
Пусть 
— матрица значений инструментальных переменных размерности (
), а 
— матрица значений факторных переменных размерности (
),. Здесь
— матрица факторных переменных, которые включены в состав инструментов, 
— инструменты, которые не входят в число факторных переменных. 
В этом случае матрица оценок параметров 
находится следующим образом:
, где 
, (7.16)
здесь 
, а метод ИП называют обобщенным методом инструментальных переменны (ОМИП).
Если число инструментальных переменных равняется числу факторных переменных (
), то матрица 
) будет квадратной размерности (
). Метод ИП в этом случае называется простым, а оценки вычисляются следующим образом:
=
=
[2] . (7.17)
Самая трудная проблема метода ИП – это поиск подходящих инструментов. Требуется, чтобы инструменты были тесно связаны с факторными переменными, но сами не были бы эндогенными переменными.
Решение этой проблемы зависит от конкретной ситуации. Например, это могут быть: лаговые значения факторных переменных; показатели, близкие по экономическому смыслу и приближенно отражающие рассматриваемую факторную переменную и пр.
Метод инструментальных переменных используется при оценке СОУ при использовании двухшагового МНК. В качестве инструментов здесь рассматриваются расчетные значения эндогенных переменных, найденные на первом шаге с использованием обычного МНК для приведенной системы уравнений.
Рассмотрим упрощенную кейнсианскую модель формирования доходов в закрытой экономике без государственного вмешательства:
(7.18)
где 
— представляют совокупный выпуск, объем потребления и объем инвестиций соответственно, 
. Здесь мы имеем случай одновременных взаимосвязей между переменными: 
в качестве одной из составляющих содержит ошибку модели, а так как 
зависит от , то также корреллирует с ошибками модели.
Первое уравнение идентифицируемо ( 
и матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение состоит из одного элемента 1, т. е. ее ранг равен 1, что равняется числу эндогенных переменных без одного). Следовательно выполняютя необходимое и достаточное условие идентифицируемости. Второе уравнение тождество, не подлежит проверке на идентификацию.
Рассмотрим следующие статистические данные:
http://vunivere.ru/work70872
http://pandia.ru/text/77/213/97434.php