Метод сил — расчет статически неопределимых рам
При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:
1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.
Канонические уравнения метода сил
Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.
В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:
где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. 
— это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; 
— перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.
В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:
где 
— единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией 
т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.
Подставляя (2) в (1), получим:
Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.
Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:
Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.
Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы 
и побочные (
). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. 
.
Алгоритм расчета методом сил
Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.
Выбор основной системы
Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.
1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).
2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).
3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).
Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.
Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.
Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через 
, а единичная эпюра – через 
.
Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.
Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.
Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру 
— эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:
Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :
Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:
Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:
Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.
Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:
Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
Окончательные эпюры можно построить двумя способами.
Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:
или, учитывая, что
приходим к выражению:
Аналогично определяется продольные и поперечные силы:
Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.
Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.
В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.
Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.
При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.
Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.
Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:
Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:
Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.
Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:
Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов 
от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:
где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.
Отметим, что при вычислении перемещения 
можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.
Пример расчета
Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).
Степень статической неопределимости рамы:
n = r — s = 4 — 3 = 1
Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).
Грузовая эпюра моментов 
(рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.
Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.
Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:
Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:
откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
Расчет статически неопределимой фермы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Тольяттинский государственный университет
«Расчет статически неопределимой фермы»
к расчетно-графической работе № 5
по курсу «Строительная механика».
Р 24 Расчет статически неопределимой фермы: Учебно — методическое пособие /Сост. . Тольятти: ТГУ, 2008. 21 с.
Даны краткий теоретический материал для расчета статически неопределимой фермы и пример расчета статически неопределимой фермы.
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения, по специальности 270102 “Промышленное и гражданское строительство” и 290105 «Городское строительство и хозяйство».
Научный редактор старший преподаватель
Утверждено научно-методическим советом университета.
© Тольяттинский государственный университет, 2008.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
1.Основные понятия, определения.
Статически неопределимой фермой называется ферма, для определения усилий в элементах которой кроме уравнений статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения деформаций.
Распределение усилий в статически неопределимых фермах зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы фермы изготовлены из различных материалов, то распределение усилий зависит также от модулей упругости этих материалов. Поэтому для определения усилий в элементах таких ферм необходимо задавать их жесткости. Смещение опор, температурные воздействия и неточность сборки конструкции обычно вызывают в таких фермах дополнительные усилия.
Расчет статически неопределимой фермы начинается с анализа ее схемы. Анализ, прежде всего, необходим для того, чтобы установить степень статической неопределимости.
Степень статической неопределимости равна числу так называемых лишних связей, удаление которых превращает статически неопределимую ферму в определимую и геометрически неизменяемую систему. Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.
Различают внешне статически неопределимые фермы и внутренне статически неопределимые фермы. Внутренне статически неопределимые фермы — фермы с тремя опорными стержнями, имеющие лишние внутренние связи. Внешне статически неопределимые фермы имеют лишние внешние связи. Статически неопределимую ферму, имеющую более трех опорных стержней, можно рассматривать как внешне, как внутренне, и как одновременно внешне и внутренне статически неопределимую систему – в зависимости от того, какие связи считать лишними.
Для внешне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости определяется по формуле:
где Соп – количество опорных связей (стержней) системы.
Для внутренне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости определяется по формуле:
где D – количество дисков (стержней),
Ш – количество одиночных (простых) шарниров,
Соп – количество опорных связей (стержней) системы.
2.Основная и эквивалентная системы.
Канонические уравнения метода сил.
Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем отбрасывания всех лишних связей ( за исключением абсолютно необходимых). Построение основной системы может быть произведено различными способами. Выбор основной системы является важным этапом расчета, т. к. от него зависит простота и точность расчета фермы.
Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому, если к основной системе, кроме заданной нагрузки, приложить реакции устраненных связей, то полученная система и заданная система будут эквивалентны. Полученная таким образом система называется эквивалентной системой.
внутренне статически внешне статически
неопределимая ферма неопределимая ферма
Степень статической неопределимости
nст = -(3D – 2Ш — Соп ) =
 |
В заданной системе в направлении имеющихся жестких связей ( в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений:
δ11Χ1 + δ12Χ2 + …+ δ1nΧn + Δ1Р = 0,
δ21Χ1 + δ22Χ2 + …+ δ2nΧn + Δ2Р = 0,
δn1Χ1 + δn2Χ2 + …+ δnnΧn + ΔnР = 0.
Эти уравнения являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения в эквивалентной системе по направлению первой отброшенной связи Χ1 , второе – по направлению второй отброшенной связи и т. д.
Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы.
В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызываемые единичными силами, действующими по направлениям отброшенных связей. Коэффициент δij представляет перемещение по направлению связи i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению связи j. Коэффициенты δij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициент Δiр представляет перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной внешней нагрузки. Коэффициенты Δiр называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений.
Коэффициенты δii называются главными коэффициентами, а δij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений δij = δji.
Определяются коэффициенты канонических уравнений с помощью интегралов Мора по формулам :
δij = 
Δiр = 
т. к. фермы это конструкции, работающие преимущественно на сжатие (растяжение), то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от продольных усилий.
Для подсчета коэффициентов используются способы определения продольных усилий в стержнях ферм.
3.Определение внутренних усилий в стержнях ферм.
Фермы – это системы, работающие преимущественно на сжатие (растяжение). Поэтому из внутренних усилий в фермах определяются только продольные усилия. А остальные усилия (М, Q) настолько малы, что ими можно пренебречь.
В первую очередь определяются опорные реакции. Для определения опорных реакций ферм используются уравнения статики. Т. е. составляются три уравнения равновесия для всей фермы в целом: S МА= 0, S МВ= 0, S Х= 0.
Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части ферм и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях ( метод сечений).
Выделение частей или узлов фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах определялись наиболее просто.
Различают следующие способы определения внутренних усилий в стержнях ферм: 1) способ моментной точки; 2) способ вырезания узлов; 3) способ проекций; 4) по признакам нулевых и ненулевых стержней.
4. Определение окончательных усилий в стержнях фермы.
Окончательные усилия в стержнях фермы определяются по формуле:
т. е. определив лишние неизвестные усилия Х1 , Х2 ,…, Хn, находим усилие в любом стержне фермы, суммируя влияние нагрузки Р и лишних неизвестных усилий.
5. Проверки найденных усилий в стержнях фермы.
а) Статическая проверка – основана на условии статического равновесия
любого вырезанного узла фермы S X= 0, S Y= 0.
б) Деформационная проверка – заведомо нулевые перемещения в
заданной системе должны получиться равными нулю и при расчете
Δiok = 
6. Вопросы для самоконтроля.
1. Дать определение статически неопределимой фермы.
2. Дать определение внешне и внутренне статически неопределимых ферм.
3. Записать формулы для определения степени статической неопределимости для внешне и внутренне статически неопределимых ферм. Пояснить формулы.
4. Дать понятия основной и эквивалентной систем. Привести примеры.
5. Записать канонические уравнения для дважды статически неопределимой фермы. Пояснить физический смысл уравнений.
6. Определение коэффициентов канонических уравнений(физический смысл)
7. Каким образом определяются окончательные усилия в стержнях ферм.
8. Виды проверок найденных усилий в стержнях ферм (физический смысл).
7. Порядок расчет статически неопределимой фермы.
1. Вычертить в масштабе заданную схему фермы и загрузить ферму в узлах от заданной нагрузки. Пронумеровать узлы.
2. Определить степень статической неопределимости.
3. Выбрать основную и эквивалентную системы, назначив лишние неизвестные усилия (рационально).
4. Записать канонические уравнения.
5. Определить продольные усилия во всех стержнях фермы в единичном состоянии.
6. Определить продольные усилия во всех стержнях фермы в грузовом состоянии.
7. Занести данные в таблицу и определить коэффициенты канонических уравнений.
8. Решить канонические уравнения, найти неизвестные усилия.
9. Определить окончательные продольные усилия во всех стержнях фермы.
10. Выполнить деформационную и статическую проверки.
8. Пример расчета статически неопределимой фермы.
 | ||||
N46 = N24 , N46 = — 0,791 (т), Σ М О57 = 0, V1· 9 — N24· 5 = 0, N57 = V1· 9 / 5 = 0,5· 9 / 5 = 0,9 (т) (способ моментной точки) Σ М О56 = 0, — V1·а — N56· r56 = 0, r56 = sin γ· (а+6) = 10,29(м) N56 =- 0,5·6 /10,29 = — 0,292(т) N79 = N57 , N79 = 0,9 (т), N67 = Х1 , N67 = 1 (т) Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия в симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. b) Определяем опорные реакции: Σ М1 = 0, P1·3+ P2·6+ P3·9+ P4·12+ P5·15 — V12·18 = 0, V12 =10(т) Σ М12 = 0, V1·18 — P5·3 — P4·6 — P3·9 — P2·12 — P1·15 = 0, V1 =10(т) Σ Y = 0, V1 + V12 — P5 — P4 — P3 — P2 — P1 = 0, 0 = 0 Реакции найдены верно. Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в грузовом состоянии. Результаты вычислений заносим в таблицу. (способ вырезания узлов) N12 = — V1 / sin α = — 10 / 0,707 = -14,14 (т) (способ вырезания узлов) Σ Х = 0, N13 + N12· cos α = 0, N13 = — N12· cos α = 14,142· 0,707 = 10 (т)
N35 = N13 , N35 = 10 (т), N23 = Р1 , N23 = 3 (т) (способ моментной точки) N24 = (Р1· 3 — V1· 6)/ r24 , r24 = sin β· l45 = 3,795(м) N24 = (3· 3 — 10· 6)/ 3,795 =-13,44(т) (способ моментной точки) -V1· а + N25· r25 + Р1·(а+3)= 0, N25 = (V1· а — Р1·(а+3))/ r25 , а = 6(м), r25 = cos α· (а + 6)= 8,485(м) N25 = (10· 6 — 3· 9)/ 8,485 = 3,889(т)
N46 = N24 , N46 = -13,44 (т), V1· 9 — Р1· 6 — Р2· 3 — N24· 5 = 0, N57 = (V1· 9 — Р1· 6 — Р2· 3)/ 5 , N57= (10· 9 — 3· 6 — 5· 3)/ 5 = (способ моментной точки) Р1·(3+а) — V1·а — Р2·(6+а) – N56· r56 = 0, r56 = sin γ· (а+6) = 10,29(м) N56 =(Р1·(3+а) — V1·а + Р2·(6+а))/ r56 N56 =(3·9- 10·6 +5·12)/10,29 =2,624(т)
N79 = N57 , N79 = 11,4 (т), Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия в симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. Находим коэффициенты канонического уравнения: δ11 = (суммируем столбец 4 таблица 1) Δ1р = (суммируем столбец 5 таблица 1) 6. Из канонического уравнения находим Χ1 = -Δ1Р/ δ11 = -343,603/27,073 = -12,692 т 7. Окончательные усилия в каждом стержне определим по формуле Результаты также занесем в таблицу(столбец 8,9 таблица 1): 8. Для найденных значений внутренних усилий в стержнях фермы a) Σ Х = 0, — N35 — N57 – N25· cos α + N56· cos γ = 0, — 3,654 — 0,023 + 0,604· 0,707 + 6,33· 0,515 = 0,009 ≈ 0 Σ Y= 0, — Р2 – N25· sin α + N56· sin γ = 0, — 5 — 0,604· 0,707 + 6,33· 0,587 = 0,0017≈ 0 b) Деформационная проверка Δ1ок = Деформационную проверку выполним непосредственно в таблице (столбец 10 таблица 1) Проверки выполнены, значит, ферма рассчитана верно.
9. Общие указания по оформлению РГР.1. Расчетно-графическая работа должна быть выполнена на стандартных листах бумаги, формата А4 (210х297 мм). 2. Все записи и расчеты производятся чернилами на одной стороне листа, рисунки выполняются карандашом. 3. Расчеты должны содержать решения в общем (буквенном) виде и числовое решение. 4. Все вычисления производятся с точностью до 0,001. 5. Полностью выполненное и оформленное РГР сшивается и сдается преподавателя в указанные сроки. 1.Основные понятия, определения. 3 2.Основная и эквивалентная системы.. 4 Канонические уравнения метода сил.. 4 3.Определение внутренних усилий в стержнях ферм.. 7 4. Определение окончательных усилий в стержнях фермы.. 8 5. Проверки найденных усилий в стержнях фермы.. 8 6. Вопросы для самоконтроля. 8 7. Порядок расчет статически неопределимой фермы.. 9 8. Пример расчета статически неопределимой фермы.. 9 В системе канонических уравнений метода сил неизвестными являютсяНаиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы. Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.
а-д) модификации основной системы Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а), б). которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах, с другой.
Рис.2.Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах в) После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi-, где i номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi, являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.
а)-д) по отношению к заданной системе Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы. На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений. Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных. Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена. Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через
Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б) Первый индекс при В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:
Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2. Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных. Аналогично можно записать: Так как под величиной В точках A и D смещения Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений
Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых
Что касается перемещений Теперь уравнения примут вид:
Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты Если
Следовательно, коэффициент
а) Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину
где
Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для Величины Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.
Рис.6. Заданная расчетная схема Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами
Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:
Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7). Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величина
Заметим, что величины Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая эпюры с соответствующими номерами:
Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:
Решая эти уравнения, находим:
Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.
Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов. Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в источники: http://pandia.ru/text/80/268/20694.php http://toehelp.ru/theory/sopromat/38.html |
2. Выбираем основную систему: так как ферма симметричная, то лучше отбрасывать одну центральную опорную связь.
Строим эквивалентную систему:
Определяем аналитически усилия в каждом стержне в основной системе от действия силы Х1 = 1 (в единичном состоянии). Все расчеты заносим в таблицу ( столбец 4 таблица 1).
Σ Y = 0, V1 + N12· sin α = 0,
(по признакам)
Σ М О24 = 0, V1· 6 + N24· r24 = 0,
(способ моментной точки)
(по признакам)
Определяем аналитически усилия в каждом стержне в основной системе от действия заданной внешней нагрузки ( в грузовом состоянии). Все расчеты заносим в таблицу (столбец 5 таблица 1).
Σ М О24 = 0, V1· 6 + N24· r24 — Р1· 3 = 0,
(способ моментной точки)
Nок = N1·Х1 + NР
Статическая проверка – любой вырезанный узел должен находиться в состоянии статического равновесия. Для этого вырежем узел, в котором сходится наибольшее количество стержней – узел 5
= 0
обозначать взаимное смещение точек системы.
соответствует направлению перемещения, а второй силе, вызвавшей это перемещение.
понимается взаимное смещение точек, то 
обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, 
горизонтальное взаимное смещение тех же точек, 
есть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина 
.
являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.
, входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину 
можно записать в следующем виде:
, 
и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины 
, 
. в уравнениях оставим неизменными.
и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).
, то
это есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Например, коэффициент 
уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил 
приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет 
, горизонтальное перемещение в точке А будет 
и т. д.
, б) 
и 
. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.
, следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы 
, 
, 
, 
, 
и 
в интегралах Мора заменим на 
, 
, 
, 
, 
и 
, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:
, 
внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты 
получаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то 
представляет собой результат перемножения i-х единичных эпюр на k-е единичные эпюры.
, а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения 
и 
возникают под действием одной и той же силы, равной единице.
, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2. возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.
, 
и моментом 
и определяем эквивалентную систему (рис. 7).
, 
, 
определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:
при 
всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
, 
, 
и 
раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.