В уравнении бегущей волны знак минус

Уравнение волны

При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена, если известно, по какому закону колеблется и как взаимодействует со средой тело, вызвавшее волновой процесс. Однако во многих случаях не существенно, каким телом возбуждена данная волна; решается более простая задача: дано состояние колебательного движения в некоторых точках среды в определенный момент времени, например известно расположение фронта волны или волновой поверхности; требуется определить состояние колебательного движения в других точках среды эта задача выходит за пределы нашего курса. Здесь же мы найдем связи между состояниями колебательного движения в различных точках среды в простейшем случае, когда в этой среде распространяется плоская или сферическая синусоидальная волна.

Допустим, что волновой процесс распространяется в положительном направлении оси ОХ, т. е. в сторону возрастания координаты х. Обозначим через у колеблющуюся величину; этой величиной могут быть: смещение частиц среды относительно их положения равновесия, отклонение давления или плотности в данном месте среды от равновесного значения и т. д. Для простоты рассуждений предположим, что распространяющаяся волна — синусоидальная, т. е. в каждой точке среды величина у изменяется со временем по гармоническому закону. Мы разумеется помним, что означают слова «по гармоническому закону». Ну а кто не помнит, напомним. Это означает, что зависимость от времени колеблющейся величины выражается формулой:

здесь выражение ωt + φ называется фазой гармонического колебания, φ – начальная фаза, y₀ — амплитуда колебаний.

Сделаем еще одно определение. Колебание (3.1) происходит с одной единственной частотой ω . Такое колебание называется умным словом монохроматическим. Это определение пришло к нам из оптики и в буквальном переводе (с не помню с какого языка) означает одноцветное. Дело в том, что свет различной частоты имеет разный цвет (красный, желтый и т.п.), поэтому свет какого-то определенного цвета имеет определенную частоту. Ну вот так и назвали. Этим определением пользуются и в других разделах физики, в частности и в теории волн в упругой среде. Но вернемся к нашим волнам.

Допустим, что начало отсчета времени выбрано так, что в точке О при t = 0, у = 0, т. φ =0 тогда

где ω = 2π/Т — угловая частота; Т — период; ωt — аргумент синуса (определяющий значение колеблющейся величины в каждый заданный момент времени) есть фаза колебаний в точке О. Требуется найти фазу колебаний в любой другой точке А, отстоящей от О на расстоянии х. Если мы будем знать фазу колебаний в любой точке (ясно, что теперь она будет зависеть от х), то мы будем знать и аргумент синуса, а значит и значение колеблющейся величины в любой момент времени в любой точке.

Так как точка А расположена относительно О в направлении распространения волны, то в данный момент времени t в этой точке будет такое состояние колебательного движения, какое было в точке О на x/с секунд раньше[1]; здесь с -есть скорость распространения фазы колебаний в направлении ОХ. Таким образом, фаза колебаний в точке А в момент t равна фазе колебаний в точке О в более ранний момент t-x/с, т. е. равна ω (t-x/с).

Следовательно, значение колеблющейся величины в точке А в момент времени t:

Это соотношение называется уравнением синусоидальной волны, а с — ее фазовой скоростью.

Допустим теперь, что волна распространяется в обратном направлении, т.е. от А к О, в сторону убывания координаты х. Тогда определенное состояние колебания, т. е. определенная фаза волны, достигает точки А на τ=x/с секунд раньше, чем точки О, следовательно, фаза в точке А в данный момент времени больше фазы в точке О на ωτ=ωx/с. Если по-прежнему принять фазу в точке О в момент t равной ωt, то в точке А в этот же момент времени фаза будет равна ωτ=ω(t+x/с). Таким образом, уравнение синусоидальной волны можно написать в общем виде:

(3.3)

где знак «минус» берется для волны, распространяющейся в направлении возрастания х, а плюс — в обратном направлении.

При выводе формулы (3.3) предполагалось, что амплитуда колебаний y₀ по мере распространения волны не изменяется, и среда однородная (т. е. скорость распространения фазы колебаний везде одинаковая). Эти два предположения означают, что мы рассматривали плоскую волну, у сферической волны, как мы увидим в дальнейшем, амплитуда колебаний уменьшается обратно пропорционально расстоянию.

Мы уже знаем, что расстояние λ, пройденное волной (т. е. определенной фазой колебаний) за один период колебаний, называется длиной волны, очевидно,

;

В уравнении волны (3.2) колеблющаяся величина зависит от двух переменных: х и t. Если найти производную от y(x,t) по времени, полагая х постоянной, то эта частная производная

показывает скорость изменения колеблющейся величины в данной точке среды. Производная же от у по х при постоянном t

есть разность значений колеблющейся величины, рассчитанная на единицу расстояния между точками среды (Δx =x₂—x₁), т. е. показывает, как резко увеличивается или уменьшается у вдоль оси ОХ (в данный момент времени t) колеблющаяся величина.

Найдем частные производные от колеблющейся величины у по времени при постоянном х:

Если y есть смещение частиц среды при колебаниях, то υ и а будут скоростью и ускорением этих частиц при их колебательном движении в точке с координатой х. Амплитудные значения этих величин связаны между собой:

Частные производные от у по х при постоянном t будут равны:

(3.5)

это и есть дифференциальное уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся по оси ОХ. Оно получено нами из уравнения волны (3.3). Однако можно сделать и обратное заключение: если какая-нибудь физическая величина у = у (х, t) зависит от времени и координат так, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (3.5), то величина у распространяется в среде в виде плоской волны [см. уравнение (3.3)] со скоростью

и частотой колебаний

Звук

Напомним физическую природу звуковых явлений. Как известно, для получения чистого звука пользуются камертоном*. Когда камертон издает звук, то шарик отскакивает от его ножки, так как она колеблется (рис. 4.1). Опыт показывает, что источником звука всегда является какое-либо колеблющееся тело, которое в процессе своих колебаний создает в окружающей среде механические волны (рис. 4.2). Когда эти волны достигают уха человека, то они приводят в вынужденные колебания барабанную перепонку внутри уха, и человек ощущает звук. Механические волны, которые вызывают у человека ощущение звука, называют звуковыми.

Звуковые волны в воздухе состоят из сгущений и разрежений, т. е. являются продольными. Ясно, что ощущение звука человек может получить только в том случае, когда между источником звука и ухом человека имеется среда, в которой могут распространяться звуковые волны..

Изучение звуковых явлений показало, что далеко не всякие механические волны могут вызвать ощущение звука у человека. Оказывается, что только волны, частота колебаний которых находится в пределах от 16 до 20 000 Гц, являются звуковыми. Это знает всякий, кто интересуется музыкой вообще и воспроизведением музыки в частности. Главный параметр любого уважающего себя музыкального центра — полоса пропускания. Чем она ближе к упомянутой, тем центр лучше, или дороже[2]. Заметим, что верхняя и нижняя границы частот этих колебаний у отдельных людей могут немного отличаться от указанных выше.

Итак, человек ощущает звук, если выполняются следующие четыре условия:

1) имеется источник звука;

2) имеется упругая среда между ухом и источником звука;

3) частота колебаний источника звука находится между 16 и 20000 Гц;

4) мощность звуковых волн достаточна для получения ощущения звука у человека.

Итак, при распространении в среде упругих (в частности, звуковых) колебаний частицы среды совершают колебательное движение относительно своих положений равновесия. Можно было бы описывать волновое движение, учитывая только смещения и скорости частиц среды. Однако при наличии беспорядочного теплового движения частиц пользоваться таким описанием неудобно. Поэтому принято упругую (и частности звуковую) волну характеризовать периодическими изменениями давления и плотности, которые происходят при последовательных сжатиях и растяжениях (расширениях, разряжениях) среды. Обозначим, например, давление и плотность воздуха в равновесном состоянии через р₀ и ρ₀ а их мгновенные значения в данном месте через р и ρ. Тогда ,для описания звуковой волны в воздухе можно интересоваться периодическими изменениями избыточного давления Δр=р-р₀ или избыточной плотности Δρ =ρ –ρ₀ .

Выясним, при каких условиях в упругих средах возможны гармонические волны вида (3.3). Выделим перпендикулярно к ОХ некоторую площадку S (рис. 4.3) и слой малой толщины Δl. Допустим, что в положении I избыточное давление слева равно Δр₁, а справа , следовательно, на выделенный элемент среды будет действовать результирующая сила Δ F=S ( Δ р₁ – Δ р₂ ) = . Масса этого элемента Δm = ρ S Δl, где ρ — средняя плотность среды в объеме элемента. Тогда, согласно второму закону Ньютона рассматриваемый элемент среды будет иметь ускорение

(знак «минус» означает, что если избыточное давление Δр в положительном направлении х возрастает, то сила ΔF и ускорение а будут направлены в обратную сторону).

Так как смещение частиц, среды у зависит от двух переменных: времени и координаты, то ускорение элемента запишем в виде ; тогда

(4.1)

Исследуем правую часть этой формулы. Если бы все частицы среды, находящиеся в рассматриваемом элементе, имели бы одинаковое смещение у, то объем элемента, следовательно, и давление р и плотность ρ внутри него оставались бы постоянными. В этом случае правая часть уравнения (4.1) будет равна нулю и упругой волны в среде не обнаружится. Поэтому необходимо допустить, что при переходе из положения I в II одна грань рассматриваемого элемента среды смещается на у, а другая — на у + Δу. При таком перемещении объем элемента изменится, вследствие чего давление р станет функцией от координаты х и правая часть уравнения (4.1) будет отлична от нуля. Однако в формуле (4.1) имеются две переменные величины у и р; если исключить одну из них, например давление р, то получим дифференциальное уравнение для смещения элементов среды от положения равновесия. Для этой цели сначала учтем, что величину Δу следует полагать пропорциональной толщине элемента среды Δl:

где показывает, какое изменение смещения у приходится на единицу длины вдоль оси ОХ.

Тогда относительное изменение объема элемента будет равно:

Масса среды в элементе объема не изменяется, поэтому относительное увеличение плотности будет равно относительному уменьшению объема элемента, т.е.

Теперь для того, чтобы рассчитать изменение избыточного давления Δр внутри элемента, необходимо знать зависимость Δр от ρ или ε.

Если среда – твердое тело, то при малых деформациях можно воспользоваться законом Гука: р= εЕ. Относительное удлинение или сжатие элемента объема будет (для плоской волны S = const) совпадать с относительным изменением его объема; напряжение сжатия или растяжения можно полагать равным среднему значению Δр внутри элемента, причем увеличение Δр сопровождается уменьшением объема элемента, поэтому

; .

Подставив в формулу (4.1), получим дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в твердых телах:

(4.2)

Сравнивая уравнения (4.2 ) и (3.4 ), замечаем, что величину Е/ρ следует отождествить с квадратом скорости распространения волны:

(4.3)

Для железа, например, Е=2·10 11 H/м 2 , ρ=7800 Кг/м 3 , и вычисляя получаем скорость звука V≈5100 м/c.

В газах процессы сжатия и расширения описываются уравнением

где р – давление, V — удельный объем , а γ – некоторая постоянная величина, зависящая от того как происходят процессы сжатия и расширения. Из этого уравнения следует:

Если избыточное давление мало по сравнению с давлением газа р₀ (а так при обычных условиях и бывает) то

;

Подставив это выражение для в формулу (4.1), вновь получим дифференциальное уравнение (3.4) плоской волны, причем скорость распространения оказывается равной (полагая )

(4.4)

Дифференциальное уравнение плоской волны и формулы (4.3) и (4.4) для скоростей распространения получены при предположении, что избыточные давления Δр и плотности Δρ малы. Найдем изменение этих величин со временем; для любой среды, полагая , получим для плотности:

(4.5)

где через Δρ₀ обозначена амплитуда колебаний плотности среды в волне:

Для колебаний давления Δ р также получаются формулы, одинаковые для всех сред:

; Δ р₀=ρ₀ υ₀ с (4.6)

Таким образом, Δ р и Δ ρ пропорциональны не смещению частиц среды у, а их скоростям υ.

Из уравнений (4.5) и (4.6) можно получить общее выражение для скорости распространения плоской волны в упругой среде

или

Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 1290 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Бегущая волна

Содержание:

Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью (постоянной для однородной среды). Примерами могут служить упругие волны в стержне, столбе газа или жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии или в волноводе.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Бегущие волны

Бегущими называются волны, которые распространяются в пространстве или среде. У механических волн частицы вдоль направления распространения волны перемещаются на максимальное расстояние от точки равновесия при прохождении через нее гребня или впадины волны. Частицы, разделенные целым числом длины волны, колеблются в одной фазе друг с другом.

Распространение деформации

Каждое тело обладает в той или иной степени упругостью, т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в результате кратковременного действия силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие передается телом с конечной скоростью. Если бы существовал абсолютно твердый, неспособный деформироваться стержень, то он мог бы двигаться только как целое, действие силы распространялось бы по такому телу мгновенно. Абсолютно пластическое тело, деформирующееся без малейшего восстановления формы, было бы неспособно к какой бы то ни было передаче механического действия.

В упругом теле деформация передается последовательно от одной точки тела к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар молотком, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространится с определенной скоростью с вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации. Пробегающие по телу при разных механических действиях деформации обычно демонстрируют при помощи пружин (рис. 56)

Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные. Поэтому в любых телах возможна передача этих деформаций. Что же касается деформаций сдвига, кручения, изгиба, то такие деформации могут передаваться только твердыми телами, обладающими соответствующей упругостью. При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят, в том же направлении, в котором передается механическое действие. В подобных случаях мы говорим о продольном распространении деформации. При сдвиге, изгибе, кручении направление движения частиц может образовать, вообще говоря, произвольный угол с направлением, по которому передается энергия.

Всегда возможно выделить направление, в котором передается механическое действие, а затем разложить смещение частицы тела по трем взаимно перпендикулярным осям, одна из которых лежит вдоль линии распространения, а две других — в перпендикулярной плоскости. Поэтому в наиболее сложном случае можно рассматривать распространяющуюся деформацию как совокупность трех движений: двух поперечных и одного продольного.

Скорость распространения упругой деформации зависит от механических свойств тела; ее, как показывает теоретическая физика, можно связать с другими физическими константами тела. Так, для продольных волн скорость распространения выражается простой формулой:

Здесь — плотность тела, а х — сжимаемость. Большая плотность тела приводит к увеличению инертности частиц тела и, следовательно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к увеличению скорости распространения деформации.

В таком виде этой формулой пользуются обычно для жидкостей. Так, например, вода при изменении давления на 1 атм сжимается на своего объема. Значит, сжимаемость, равная (см. стр. 138) по определениюПлотность

воды Отсюда для скорости распространения деформации в воде получим

Для газов формулу скорости целесообразно преобразовать. Так как процесс передачи уплотнения в газе весьма быстр, то сжатия и разрежения газа можно считать адиабатическими, т. е. происходящими без теплообмена. Ниже (стр. 150) будет получено уравнение адиабатического процесса, из которого легко вывести связь коэффициента сжимаемости с давлением газа: Тогда Для идеального газа плотность —масса моля газа, a — его объем) будет пропорциональна дроби (так как т. е.» скорость распространения деформации в газе

Здесь — коэффициент, значение которого легко вычисляется при помощи уравнений, рассматриваемых позднее (стр. 149).

Таким образом, скорость распространения деформации в газе, в том числе и скорость распространения звуковых волн, о которых речь пойдет дальше, пропорциональна корню квадратному из температуры и не зависит от давления газа. Интересна зависимость от молекулярного веса: скорость распространения деформации в водороде равна 1263 м/с, в то время как в воздухе мы имеем хорошо знакомое число 331 м/с.

Для продольных волн, распространяющихся в твердом теле, заменяют обычно коэффициент сжимаемости на модуль упругости. Так как по определению модуль упругости

то очевидно, что при отсутствии поперечных движений поскольку линейное относительное сжатие будет равно объемному. Формула скорости запишется в виде

Насколько хорошо она выполняется, можно судить по следующим примерным числам:

Проверку этой формулы надо проводить, изучая скорость распространения звука в тонких стержнях. Дело в том, что более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что формула должна быть справедлива только для таких тел. Для тел иной формы, а также для распространения звука в сплошной среде теория приводит к другим выражениям, которые мы приводить не будем.

Следует также заметить, что таблица приведенных величин может служить лишь для ориентировки. Скорости звука в разных сортах стекол, разных сортах дерева, стали и т. д. могут существенно различаться.

Возникновение волнового движения

Многочисленными способами можно подвести к отдельной точке тела или среды непрекращающиеся колебания. Периодически действующая в какой-либо точке тела сила создаст периодически меняющуюся деформацию, которая будет передаваться от точки к точке тела с определенной скоростью. В колебательное движение придут все точки тела. При этом из-за конечности скорости распространения деформации точки тела будут приходить в колебание одна за другой. Если тело безгранично, то такое колебание будет все время продвигаться вперед, образуя бегущую волну.

Хотя безграничных тел и не существует, но длина большого тела не скажется на характере явлений по той причине, что колебания не дойдут до его конца из-за неизбежных потерь энергии.

Рассмотрим волну, бегущую в практически неограниченном теле вдоль какого-нибудь направления.

Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно уравнению Запишем уравнение колебания точки, расположенной вдоль линии распространения деформации на расстояниях от начальной. Мы не можем записать его в том же виде, так как эта точка пришла в колебание с запозданием на время нужное для распространения деформации на расстояние х. Поэтому колебание точки х должно быть сдвинуто по фазе по отношению к начальной точке. Точка х будет находиться в момент времени в той же фазе колебания, в какой находилась начальная точка в момент времени, на более ранний. Следовательно, уравнение колебания точки, сдвинутой на расстояние х от начала координат, имеет вид

где — сдвиг фазы.

Написанное уравнение называют уравнением волны, оно охватывает колебания всех точек, расположенных на любых расстояниях по отношению к начальной.

Положим, что источник волны далек от наблюдателя и фронт волны давно ушел вперед. Мы рассматриваем участок линии вдоль оси х, охваченный волновым движением. На первый взгляд может показаться, что введение нового термина не оправдано. Все точки

участка будут колебаться, это ясно. Но увидим ли мыдвижение волны, сможем ли сказать, двигается она вправо или влево? Внимательное рассмотрение показывает, что специфичность волнового движения легко обнаружить. Если волна движется слева направо, то правая соседняя точка будет запаздывать по фазе по сравнению с левой. В обратном случае она будет опережать ее. Волны, бегущие влево и вправо, показаны на рис. 57. Каждая синусоида — это мгновенный снимок волны. В каждое следующее мгновение эта синусоида, как жесткое целое, перемещается в том направлении, куда передается энергия.

Отсюда понятно, как отражается направление волны на виде уравнения волны. Если волна движется вдоль оси координат, то значение координаты х будет входить со знаком минус. При движении волны против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить знак на обратный:

Запишем уравнение мгновенного снимка волны для какого-либо времени, равного кратному числу периодов:

Знак минус можно отбросить, так как косинус— четная функция. Из вида уравнения сразу же следует, что период этой синусоиды равен

Этот пространственный период, т. е. расстояние, через которое повторяется волнообразное распределение, носит название длины волны. Мы получили известное соотношение, связывающее скорость движения волны с длиной волны и периодом колебания точки.

При волновой передаче деформации через тело по закону синуса меняется ряд физических величин: смещение точки от положения равновесия, скорость колеблющихся частиц, давление и плотность. Поэтому выражение волны, которым мы оперируем, является весьма общим. Под величиной можно понимать любую из перечисленных физических величин, изменяющихся по закону синуса при движении волны вдоль направления х. Правда, следует отметить, что волны давления, скорости, смещения не обязаны быть в одной фазе. Например, ясно, что волна скоростей колеблющихся частиц будет сдвинута по фазе на 90° по отношению к волне смещений. Ведь скорость точки максимальна, когда она проходит положение равновесия.

Волны давления и скорости колебания

Представляет интерес соотношение между амплитудами волн различных физических величин. Остановимся на этом вопросе лишь для случая продольных волн, распространяющихся в газе. Нас могут заинтересовать волны смещения, скоростей частиц, избыточного давления. Так как теория возникла для волн, воспринимаемых слухом, то избыточное давление часто называют звуковым давлением и, отбрасывая значок обозначают через

Если амплитуда волны смещения А, то амплитуда волны скоростей По фазе эти две волны сдвинуты на 90°.

Выясним теперь связь между амплитудой скорости колебания и амплитудой давления. Сопоставив общее определение с его выражением для газов (стр. 97), получим для звукового давления формулу

где Р — давление газа, или, используя соотношение

Вполне естественно, что имеется прямая связь между избыточным давлением и относительным сжатием в том же месте газа.

Но величину относительного сжатия объема можно связать с амплитудой смещения колеблющихся частиц. Отметим вдоль линии распространения две точки: В продольной волне изменение плотности происходит лишь благодаря смещениям в направлении распространения. Выделим мысленно в тазе объем, ограниченный сечениями Когда идет волна, молекулы, находящиеся внутри этого объема,сместятся.Следить нам нужно только за граничными сечениями. Если молекулы слоя сместятся на а молекулы слоя то линейный размер объема изменится от значения в отсутствие волны на величину Относительное изменение длины, а значит, и объема будет Переходя к пределу, чтобы получить величину, характерную для точки пространства, получима для давления

Этим доказано, что давление изменяется в фазе со скоростью колебания частиц в волне. есть амплитуда скорости колебания. Таким образом, амплитуда давления выражается через амплитуду скорости следующим образом:

В акустике и измеряют обычно в см/с, а давление — в Для воздуха при комнатной температуре для этих единиц Величина называется акустическим, или волновым, сопротивлением. Смысл названия, очевидно, такой: чем больше сопротивление, тем меньше скорость колебания частиц при тех же величинах избыточного давления.

Подсчитаем акустические сопротивления некоторых материалов:

Поток энергии

Волновое движение переносит энергию из одного места пространства в другое. Однако следует помнить, что все точки среды, участвующие в передаче энергии, все время колеблются около положения неизменного равновесия.

Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому единица объема обладает колебательной энергией, равной

где — плотность, т. е. масса единицы объема, а — амплитудное значение скорости колебания. Используя для последней величины знакомое нам выражениегде А — амплитуда смещения, а — частота, можно записать плотность колебательной энергии тела в виде

Эта энергия распространяется со скоростью Мы вправе поставить перед собой следующий вопрос: чему равна интенсивность волны, т. е. количество энергии, проходящее в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную к направлению распространения волны? Вместо того чтобы говорить об интенсивности волны, довольно часто говорят о потоке колебательной энергии, понимая под этим энергию, проходящую в единицу времени (мощность) через данную площадь. Рассуждение ничем не отличается от такового для случая воды, текущей по трубе. Через единицу времени волна проходит путь и приносит энергию в объем цилиндра с длиной с и площадью, равной единице. Так как на единицу объема приходится энергия то на этот объем придется энергия.Это и есть значение интенсивности волны:

Мы видим, что интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади. Это было впервые указано Н. А. Умовым, разработавшим теорию движения энергии в телах.

До сих пор предполагалось, что волновое движение распространяется вдоль прямой линии. Подобное рассмотрение имеет цену для изучения деформации, бегущей вдоль стержней, струн, воздушных столбов и пр. Однако нас интересуют и такие случаи, когда волновым движением захвачена область трехмерного пространства.

Для описания трехмерной волны нужно знать, как движется ее фронт. Чтобы отыскать фронт волны, надо суметь для данного мгновения отметить все точки пространства, находящиеся в одинаковых фазах колебания. Отмечая последовательное положение этой поверхности равных фаз, т. е. фронта волны, мы получим ясное представление о характере волнового движения

Поверхность волны, вообще говоря, может иметь любую форму. Какой же смысл тогда получит направление распространения волны? За это направление естественно принять нормаль к фронту волны.

Если среда вполне однородна и волна излучается в какой-либо точке среды, то фронт ее будет сферическим. Такая волна распространяется по радиусам от центра. На больших расстояниях от центра излучения уже значительные участки фронта волны будут с точностью опыта казаться плоскими. Так возникает представление о плоской волне, распространяющейся в направлении нормали к фронту. Если излучатель волны имеет вид линии, то возникнет цилиндрическая волна, распространяющаяся по радиусам цилиндра. Разные типы волн показаны на рис. 58.

Если оставить без внимания всякого рода потери энергии, происходящие при движении плоской волны, то можно утверждать необходимость равенства количества энергии, проходящей через последовательные положения поверхностей равной фазы. Поэтому интенсивность плоской волны не будет меняться в процессе ее распространения. Однако иначе обстоит дело для сферических и цилиндрических волн. Так как поверхности равной фазы увеличиваются по своей площади пропорционально квадрату расстояния степени расстояния соответственно для сферических и цилиндрических волн, то интенсивности этих волн должны меняться обратно пропорционально квадрату расстояния для сферической волны и первой степени расстояния для цилиндрической волны. Только в этом случае будет соблюден закон сохранения энергии.

Интенсивность волны пропорциональна плотности колебательной энергии, которая пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Отсюда следует: амплитуда сферической волны обратно пропорциональна первой степени расстояния от излучающего центра, а амплитуда цилиндрической волны обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния от излучающеи линии: для сферической волны,для цилиндрической волны. Здесь расстояниетак же как и ранее откладывается вдоль направления распространения волны.

Пусть под водой помещен источник колебаний с частотой 1 кГц, создающий поток энергии Оценим амплитуду смещения А молекул воды, их ускорение В и амплитуду колебательной скорости Из формул предыдущих параграфов следует, что

Для воды

Если такой же поток энергии при прежней частоте колебаний создается в воздухе, для которого то

Затухание упругих волн

Реальные волны, распространяющиеся в среде (твердой, жидкой или газообразной), уменьшают свою интенсивность значительно быстрее, чем по закону обратных квадратов. Сказываются потери механической энергии, превращение ее в тепло.

Закон падения интенсивности какого-либо излучения при прохождении через среду почти всегда (для любой среды и любого излучения) может быть получен из следующего рассуждения. Если волна прошла слой толщины то потерянная интенсивность должна быть во всяком случае пропорциональна падающей интенсивности и толщине слоя, т. е.

Это уравнение можно проинтегрировать; полагая интенсивность равной в точке и равной в точке х, получим закон, справедливый для конечных расстояний:

Таким образом, интенсивность волны падает по экспоненциальному закону.

В акустике принято говорить о затухании амплитуды колебания. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то затухание амплитуды колебания будет выражаться тем же законом, только коэффициент затухания (или поглощения) будет в два раза меньшим:

Укажем на смысл коэффициента поглощения Измеренный в обратных сантиметрах (в показателе должна стоять безразмерная величина), он дает величину, обратную толщине, на протяжении которой интенсивность или амплитуда излучения ослабляются в раз.

Формулировка закона экспоненциального затухания, разумеется, лишь частично решает проблему поглощения упругой волны средой. Более важными являются поиски зависимости коэффициента поглощения от свойств среды и от частоты излучения.

Для многих веществ найдено, что затухание упругой волны (основные данные относятся к звуковым волнам в воздухе) возрастает с частотой колебания. А именно* коэффициент поглощения

Для воздуха Таким образом, на протяжении 1 км плоская волна частоты 100 Гц ослабляется в

1,015, а очень высокий звук частоты 20 ООО Гц — в раз! Ультразвуковые колебания затухают столь быстро, что их передача на расстояния, большие нескольких сотен метров, совершенно нереальна.

Однако монотонный ход поглощения с частотой может нарушаться. Некоторые вещества обладают избирательным поглощением звука в относительно узкой области частот. Так, например, поглощение ультразвука углекислым газом имеет пик при частотах около 277 кГц. Если провести плавную параболу в соответствии с формулой для коэффициента поглощения, то она будет хорошо совпадать с экспериментальными данными во всех областях, кроме указанной. При частотах же около 277 кГц, поглощение будет примерно в 20 раз больше, чем это следует из параболического закона.

Что касается зависимости коэффициента поглощения от свойств среды, то здесь для продольных волн в газах и жидкостях имеет место следующая закономерность. Коэффициент поглощения обратно пропорционален кубу скорости упругой волны и прямо пропорционален кинематической вязкости. Столь резкая зависимость от скорости распространения, а также значительная величина кинематической вязкости воздуха приводят к тому, что поглощение звуковых и ультразвуковых волн в жидкости примерно в 1000 раз меньше, чем в воздухе; это значит, что при той же самой частоте упругие волны будут распространяться в воде на расстояния в тысячу раз большие, чем в воздухе.

Поглощение поперечных волн в твердых телах также сильно зависит от свойств тела; так, поглощение в резине, пробке и стекле соответственно в 13 ООО, 8500 и 130 раз больше, чем в алюминии.

Мы не останавливаемся на теориях поглощения упругих волн в телах ввиду их сложности.

Интерференция волн

Если имеется не один, а несколько источников волн, то каждая точка среды примет одновременно участие в нескольких волновых движениях. Оказывается всегда возможным рассматривать колебание физической величины, происходящее благодаря действию нескольких волн, как сумму колебаний, каждое из которых имело бы место, если бы действовала одна волна.

Положим, что из двух точек, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, исходят шаровые волны. При помощи уравнения волны можно найти значение амплитуды колебания в любой момент времени для любой соседней точки. Если интересующее нас место находится на расстоянииот первого и от второго источника волн, то колебания в нем представятся формулой

Результатом сложения двух колебаний, отличающихся только фазами, является, как нам известно, также гармоническое колебание, совершающееся с амплитудой зависящей от разности фаз складывающихся колебаний. Разность фаз равна в этом случае

Итак, вообще говоря, все точки рассматриваемого нами волнового поля будут находиться в колебании. Но амплитуды этих колебаний в разных точках будут разными. Обращают на себя внимание два крайних случая. Во-первых, найдутся такие точки, в которых складывающиеся колебания уничтожат друг друга. Эти точки будут удовлетворять условию

где — разность фаз равняется нечетному числу Напротив, если

разность фаз равна четному числу то амплитуды колебания будут складываться арифметически, т. е. в максимальной степени усиливать друг друга.

Разность называют разностью хода волн; термин не нуждается в пояснениях. Условия максимумов и минимумов амплитуды можно с помощью этого понятия сформулировать несколько иначе. Условие максимума

говорит, что разность хода между волнами, пришедшими в данную точку, должна равняться целому числу длин волн. Условие минимума

говорит, что разность хода должна равняться нечетному числу полуволн. Эти условия имеют весьма наглядный смысл: волны усиливают друг друга, если накладывается горб к горбу, и уничтожаются, если накладывается горб на впадину.

Наложение волн, при котором происходит сложение их амплитуд, называется интерференцией.

Как известно из аналитической геометрии, кривые линии, удовлетворяющие условию постоянства разности расстояний от точки

кривой до двух фокусов, суть гиперболы. Если провести плоское сечение через точечные источники и отметить на рисунке места максимального усиления и места уничтожения волн, то они попадут на гиперболы. Соответствующие кривые показаны на рис. 59. Можно без труда наблюдать такую картину на воде, если заставить интерферировать два источника, посылающих водяные круги из соседних точек.

Таким же точно способом может быть рассмотрена интерференция любого числа источников волн.

Принцип Гюйгенса — Френеля. Отражение и преломление волн

Бросается в глаза полная равноправность всех колеблющихся точек волнового поля. Они различаются только фазами. С этой точки зрения возникает естественная мысль: мы имеем право рассматривать любую точку волнового поля как самостоятельный источник сферических волн.

Справедливость этой идеи, высказанной впервые в 1690 г. Христианом Гюйгенсом, можно проверить, д&тая попытки построения фронта волны по данным о волновом поле на некоторой граничной поверхности. При этом необходимо учитывать, что отдельные (так называемые элементарные) сферические волны будут друг с другом интерферировать. В указании возможности такой процедуры и состоит принцип Гюйгенса, дополненный Френелем.

В чем же значимость этого принципа? Представим себе, что волна надает на непрозрачный экран с несколькими отверстиями. Из принципа Гюйгенса — Френеля следует возможность поисков волнового поля за экраном без всякого знания об источниках полей. Достаточно знать интенсивность поля в плоскости экрана, принять, что из каждой точки экрана распространяется сферическая волна. Амплитуда волны в любом месте пространства найдется сложением (интерференцией) всех элементарных волн, выходящих из отверстий в экране. Откладывая рассмотрение вопросов, связанных с прохождением волн через экраны (эти проблемы представляют наибольший интерес для световых волн), мы остановимся на применении принципа Гюйгенса — Френеля для объяснения явлений отражения и преломления волн.

Рассмотрим участок плоской волны, падающей на границу раздела двух сред. Как известно, волна любого происхождения отражается под углом, равным углу падения. Но почему должно так произойти? На это отвечает принцип Гюйгенса. Все точки границы сред можно рассматривать как источники элементарных волн. Первая элементарная волна отправится от той точки, куда раньше всего придет падающая волна. Далее поочередно будут возбуждаться другие точки границы раздела и, наконец, последней придет в колебание та- точка, которой падающая волна достигает позже всего. На рис. 60 изображены положения элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна достигла последней точки.

Элементарные волны создали фронт, образующий с границей раздела тот же угол, что и падающая волна. Действительно, скорости распространения падающей волны и отраженных волн одинаковы, значит, радиус наибольшей сферы должен равняться пути, пройденному падающей волной за время от момента возбуждения первой до момента возбуждения последней точки.
Таким же точно образом без труда строится фронт отраженной сферической волны. Это построение произведено на рис. 61. На рис. 62 приведена фотография отражения стенкой звуковой волны.

Рассмотрим теперь элементарные волны, идущие от границы раздела во вторую среду и образующие фронт преломленной волны (рис. 63). Различные среды отличаются плотностями (и упругими свойствами), а значит, и скоростями распространения волн. В более плотной среде скорость волны меньше. Проделаем такое же построение, что и для отражения, т. е. изобразим на рисунке фронт элементарных волн для того момента времени, когда падающая волна

достигла последней точки. Фронт повернулся из-за различия в скоростях распространения. Если волна попадает в более плотную среду, то радиус наибольшей элементарной волны дач жен быть меньше пути, пройденного падающей волной от момента возбуждения первой точки до момента возбуждения последней точки границы. При этом отношение этих длин должно как раз равняться отношению скоростей распространения волн. С другой стороны, как влдно из рис. 63, отношение указанных расстояний равно отношению синусов углов падения и преломления. Таким образом мы и приходим к известному правилу преломления волн:

Направление распространения приближается к нормали к границе раздела, если волна переходит из менее плотной среды в более плотную, и обратно — при переходе в менее плотную среду волна отклоняется от нормали. Отношение носит название коэффициента преломления.

Коэффициент отражения

Объяснение геометрии отражения и преломления может показаться малоинтересным приложением теории. Однако волновая теория позволяет сделать гораздо большее, а именно, выяснить вопрос о долях отраженных и преломленных волн в зависимости от свойств сред, границу между которыми мы рассматриваем. Мы ограничимся лишь простейшим случаем нормального падения продольной волны на границу двух сред. Этим будут облегчены вычисления. Характер же доказательства одинаков для всех мыслимых случаев.

Следующее положение является исходным для рассуждений этого типа. На границе двух сред ни скорость колебания частиц и, ни избыточное давление не могут меняться скачком. Интуитивно ясно, что иначе и быть не может. Строгим рассмотрением можно показать, что это положение следует из основных законов физики.

С одной стороны границы имеются волны с мгновенными значениями с другой стороны границы имеется волна с мгновенным значением скорости Непрерывность скоростей дает условие: непрерывность давлений: Однако, всматриваясь в написанные два уравнения., мы видим, что они несовместны, так как В чем же дело? ‘Мы забыли, что мгновенные значения скоростей и давлений — векторные величины и даже в простейшем случае, когда векторы смещений лежат в одной плоскости, амплитуды могут различаться знаком. Всматриваясь в написанные уравнения, мы видим, что они становятся совместными лишь в том случае, если принять противоположными знаки амплитуд отраженных волн скорости колебания и давления и записать уравнения непрерывности в виде

Предоставляем читателю убедиться в том, что все другие расстановки знаков оставят уравнения несовместными.

Так как амплитуды — положительные величины, то сумма должна быть больше разности. Поэтому первая пара уравнений справедлива, если а вторая пара имеет место для обратного случая. Первая пара уравнений возникает тогда, когда все амплитудные векторы скорости колебания смотрят в одну сторону, а фаза отраженной волны давления отличается на 180°, т. е. отраженная волна имеет амплитудный вектор, смотрящую в противоположную сторону по отношению к падающей и преломленной волнам. Вторая пара соответствует обратному случаю.

Интересное явление поворота амплитудного вектора при отражении носит название потери полволны или скачка фазы на 180°. Действительно, изменение знака в уравнении волны

где — любая физическая величина, может быть получено внесением в аргумент косинуса сдвига фаз на 180°. С другой стороны, сдвиг на 180° равносилен перемещению волнового распределения на полволны.

Итак, на границе двух сред падающая и отраженная волна либо максимально усиливают друг друга, либо максимально ослабляют.

Запомним, что для волны скоростей колебания потеря полволны при отражении происходит при падении в среду с большим сопротивлением (иногда неточно говорят: в среду с большей плотностью). Волна смещения неразрывно связана с волной скорости колебания и терпит вместе с ней потерю полволны.

Прошедшая во вторую среду волна не терпит скачка фазы.

Из написанных уравнений найдем, совместно решая их, значение коэффициента отражения

также найдем коэффициент преломления т. е.

Для воздуха и твердых тел волновые сопротивления разнятся очень сильно. Для воздуха, как мы указывали, а для стали Это значит, что звук, падающий из воздуха на сталь, практически отражается полностью и почти не проникает в среду. Легко подсчитать, что для границы воздух.— вода

Явление Доплера

До сих пор молчаливо предполагалось, что источник волны и приемник ее (т. е. наблюдатель) оба покоятся по отношению к среде, в которой распространяется волна. Своеобразные эффекты, на которые впервые указал Доплер (1842 г.), наблюдаются в том случае, когда источник или наблюдатель или, тем более, оба вместе движутся по отношению к среде. Они заключаются, прежде всего, в том, что при движении источника волн наблюдатель измерит частоту колебаний при движении наблюдателя он измерит частоту колебаний Эти частоты отличны друг от друга и от той частоты v, которая измеряется при неподвижных наблюдателе и источнике.

При рассмотрении эффекта Доплера надо, прежде всего, обратить внимание на то обстоятельство, что волна, вышедшая от источника, распространяется совершенно независимо от движения источника и наблюдателя. Поэтому при движении относительно среды источник или наблюдатель могут надвигаться или, напротив, убегать от движущейся волны.

Почему же подобные движения могут привести к измерениям частоты, отличным от ее «истинного» значения? Дело в том, что наблюдатель определяет частоту колебаний как число волн, которое приходит в его прибор за единицу времени, в то время как по формуле это число есть число длин волн, укладывающееся ‘на пути, пройденном в единицу времени. Если наблюдатель движется к источнику со скоростью то за 1 с он зарегистрирует подход не V волн, а большего их числа, и притом во столько раз больше, во сколько относительная скорость волны и наблюдателя больше Таким образом,

Если источник движется к приемнику, то наблюдатель опять-таки зафиксирует большее число волн, чем в случае, когда источник и приемник неподвижны. Однако причина увеличения здесь иная.

На первый взгляд это не очевидно. Но дело в том, что движение источника при неизменной частоте колебаний приводит к изменению расстояний между синфазными точками волны. Если первый случай можно грубо интерпретировать как движение наблюдателя навстречу колонне спортсменов, бегущих с одинаковой скоростью и постоянными интервалами между собой, то ясно, что во втором случае схема рассуждения должна быть другой. Теперь можно говорить о медленном смещении линии старта (бегуны через равные промежутки времени прыгают с перемещающегося вдоль трассы автомобиля), что приведет к изменению расстояний между ними. Вместо они станут Если линия старта (источник) смещается по направлению к наблюдателю и за 1 с выпускается V спортсменов, то за 1 с они распределятся на участке Таким образом, интервал между спортсменами (длина волны) Частота, с которой спортсмены, движущиеся со скоростью с, пересекают линию финиша (частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем),

Обе полученные формулы одинаково годятся и тогда, когда источник и наблюдатель удаляются друг от друга; в этих случаях надо заменить знак скорости на обратный.

Итак, показано, что при сближении источника и наблюдателя измеряемая частота колебаний, излучаемых источником, возрастает. При удалении частота падает.

Хорошо известный пример эффекта Доплера для звуковых волн дает наблюдение звука гудка приближающегося и удаляющегося поезда. При приближении поезда мы слышим звук с частотой выше истинной. Высота тона меняется скачком, когда поезд проносится мимо наблюдателя. Поезд удаляется, теперь слышимый звук имеет частоту ниже истинной. Если поезд идет со скоростью 70 км/ч, то величина скачка составит

12% от истинной частоты.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Фазовая скорость волны

Волновое уравнение. Волна на струне является поперечной волной: смещение частиц струны происходит поперек направления распространения волны. Это показано на рис. 1-24а. Волна распространяется в направлении оси 0x со скоростью с, смещение частиц струны происходит в направлении оси 0y со скоростью смещения частиц v_y.

Рассмотрим динамику движения элемента колеблющейся струны длиной dl при малых амплитудах колебаний элемента струны(малых колебаниях). На рис. 1-24б элемент dl представлен в крупном масштабе. Длина элемента определяется теоремой Пифагора:

dl = . (23)

Величина = tga, но при малых колебаниях угол a представляет малую величину, поэтому в (23) можно пренебречь ее квадратом. Таким образом, при малых колебаниях можно принять соотношение: dl = dx.

Выделенный элемент струны длиной dl и массой dm перемещается в направлении оси 0y (волна поперечная). Ускорение элемента a_y = . Если проекция результирующей силы натяжения в направлении оси 0y равна F_y, то 2-й закон Ньютона для выделенного элемента имеет вид: dm a_y = F_y.

Выразим массу элемента через линейную (погонную) плотность r материала струны: dm = r dl = r dx.

На струну действует сила натяжения F. Эта сила при малых колебаниях практически постоянна по модулю по всей длине струны. Мы не будем учитывать незначительные изменения силы натяжения вследствие разной степени растяжения струны в разных ее точках. Итак, составляющая результирующей силы F_y в положительном направлении оси 0y равна:

Угол a мал, поэтому sina = tga = , поэтому можно записать

F_y = F — F = F .

Индексы при производных указывают, в каких точках эти производные берутся. Разность в квадратных скобках есть приращение производной на длине dx: = = .

Итак, сила, действующая на элемент струны в направлении оси 0y, равна

F_y = F .

Второй закон Ньютона dm a_y = F_y для элемента струны примет вид:

r dx = F или = .

Отношение имеет размерность квадрата скорости. Обозначим эту скорость через c, тогда последнее уравнение примет вид:

= . (24)

Уравнение (24) и есть волновое уравнение, описывающее распространение бегущей волны в струне, где

c = (25)

есть фазовая скорость распространения волны (рис. 1-25).

Обратим внимание на то, что фазовая скорость является функцией натяжения T и инертных характеристик струны — плотности r. Такая зависимость фазовой скорости присуща всем упругим волна – волнам в газе, жидкости, твердом теле. Например, скорость продольных акустических волн в тонких металлических стержнях определяется формулой: c = , где: E – модуль Юнга металла, характеризующий напряжение в стержне при единичной относительной деформации; r — объемная плотность металла. Скорость звука в газе определяется формулой: c = , где g — показатель адиабаты газа, P – давление в газе, r — плотность газа. Во всех приведенных примерах фазовая скорость определяется упругими и инертными свойствами среды.

Решение волнового уравнения. Решение дифференциального волнового уравнения называют уравнением волны. Решением волнового уравнения (24) является любая функция вида y = f(ct – x) или y = f(ct + x) [убедитесь в этом, подставив, например, функцию f(ct – x) в (24)]. Знак минус соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси 0x, знак плюс – в отрицательном направлении. Если генератор, возбуждающий волну, совершает гармонические колебания, то в качестве решения следует, естественно, выбрать функцию синуса или косинуса. Выберем, например, функцию синуса, тогда уравнение бегущей волны примет вид:

y = а sin [ (ct – x) +j ]. (26)

С формальной точки зрения множитель вставлен в решение (26) для того, чтобы аргумент синуса имел размерность угла. В содержательном отношении величина l — это длина волны, k = — волновое число, а – амплитуда волны, j — начальная фаза волны.

Из произведения x следует смысл l. При x = l фаза волны сдвигается на 2p радиан, следовательно, длина волны l – это минимальное расстояние между двумя частицами струны, которые колеблются в фазе. Из соотношения = w = следует, что фазовая скорость равна c = . Фазовая скорость c определяет скорость распространения некоторой фазы волны (рис. 1-25).

Так как = kc = w, x = kx и с = , то уравнение бегущей волны (26) можно записать в виде

или в виде y = а sin [w (t — ) +j ]. (26 ** )

Обратим внимание на то обстоятельство, что в составляющих аргумента уравнения бегущей волны отражены как пространственный (kx), так и временной (wt) аргументы волнового процесса. Если фиксировать координату x, то уравнение волны описывает гармонические колебание элемента (частицы) струны в точке с этой координатой. Если фиксировать время t, то уравнение волны описывает пространственные смещения частиц струны по всей ее длине в этот момент времени (струна имеет форму синусоиды). Оба аргумента – пространственный (kx) и временной (wt) – совместно описывают бегущую волну в пространстве и времени. Циклическая частота w = определяет сдвиг фазы в волне за единицу времени, волновое число k = определяет сдвиг фазы при перемещении волны на единицу длины.

Запишем уравнение плоской упругой волны в среде при произвольном направлении относительно системы отсчета. Допустим, плоская акустическая волна распространяется в упругой среде в направлении единичного вектора n относительно выбранной декартовой системы координат (рис. 1-26). В качестве начальной волновой поверхности выберем поверхность, проходящую через начало координат (на рисунке – это поверхность А). Колебания некоторой характеристики акустического поля h на начальной поверхности определится уравнением h_А = а sin (wt + j ).Через время t волновая поверхность сместится на расстояние l. Колебания h в любой точке этой новой поверхности, определяемой радиус-вектором r, запишется в виде:

Скалярное произведение nr = r cos y = l, следовательно

h = а sin (wt — knr+ j ).

Вектор k =knназывается волновым вектором, модуль которого равен волновому числу, и направленный перпендикулярно волновой поверхности. Таким образом, уравнение волны при произвольном направлении ее распространения запишется в виде:

h = а sin (wt — kr+j ). (27)

Скалярноепроизведение kr = k_xx + k_yy + k_zz. Проекции волнового вектора можно представить через направляющие косинусы:

k_x = cosa, k_y = cosb, k_y = cosg,

где a, b, g — углы между волновым векторомk =kn и осями координат.

1.2.2. Стоячие волны на струне

Стоячая волна формируется в результате интерференции многократно отраженных бегущих волн от точек закрепления струны.

Предварительно определим характер изменения фазы бегущей волны в процессе двух последовательных отражений. На рис. 1-27 стрелками показаны направления движения падающих и отраженных бегущих волн. Бегущая волна «1» падает на правую точку закрепления струны «B», отраженная волна «2» падает на левую точку закрепления «A» , и после отражения волна «3» движется к правому закреплению. Пренебрежем затуханием волны в струне и потерями энергии волны при отражении. Отсутствие затухания означает, что амплитуда бегущей волны в процессе распространения по струне остается постоянной. Отсутствие потери энергии при отражении означает, что амплитуды падающей и отраженной волн в точке отражения одинаковы.

Бегущая волна «1», перемещающаяся в положительном направлении оси 0x, описывается уравнением волны:

Отраженная бегущая волна «2», перемещающаяся в отрицательном направлении оси 0x, имеет вид:

Определим соотношение между начальными фазами j₁ и j₂. В точке закрепления струны «B» (x = 0) колебания струны отсутствует:

Это уравнение справедливо при выполнении двух условий:

Условие a₁ = a₂ означает, что отсутствуют потери энергии волны при отражении. Условие j₂= j ₁ + p указывает, что отраженная волна сдвинута по фазе от падающей волны на p радиан. Итак, уравнение бегущей волны «2» имеет вид: y₂ = a₂ sin (wt + kx + j ₁ + p).

Волна «2» отражается от опоры «B». Отраженная волна «3», которая перемещается в положительном направлении оси 0x, имеет вид:

Определим соотношение между начальными фазами j₁ и j_3. Вточке крепления струны «A» колебание струны отсутствует:

Точка закрепления «A» имеет координату x = —L, и уравнение y₂ + y₃ = 0

справедливо при выполнении двух условий:

Учитывая соотношение k = , и отбрасывая полный угол 2p радиан, получим: j ₃= j ₁ — L . Уравнение волны «3» принимает вид:

y₃ = a₃ sin [(wt — kx + j ₁ — L].

Волны «1» и «3» движутся в одну сторону. Результат сложения этих волн зависит от разности фаз между этими волнами. Итак, разность фаз волн «1» и «3» равна L. Если разность фаз равна целому числу полного угла 2p, т.е. если L = n2p (n = 1, 2, …), (28)

то волны «1» и «3» находятся в фазе, и их амплитуды складываются – наблюдается максимум интерференции этих волн. В противном случае волны будут гасить друг друга. Подставляя связь между круговой частотой и длиной волны w = в соотношение (28), получим:

L = n . (28 * )

Синфазное распространение волн «1» и «3» реализуется, если на длине струны укладывается целое число полуволн.

Аналогичный результат получится и для волн, бегущих справа налево — от опоры B к опоре A. При этом волны, бегущие от B к A, находятся в противофазе с волнами, бегущими от A к B за счет сдвига фазы на p радиан при отражении от опоры.

Если условие (28 * ) не выполняются, то при многократном отражении разность их фаз непрерывно изменяется, что приводит к уменьшению результирующей амплитуды, волны начинают гасить друг друга.

В реальном эксперименте потери энергии при отражении неизбежны, неизбежно также и затухание волны при распространении по струне. Часть энергии волны передается устройствам крепления струны — опорам, а часть переходит во внутреннюю энергию материала струны, в результате чего струна нагревается. Поэтому полученное равенство амплитуд бегущих волн a₁ = a₂ = … = a_m = . не выполняется – амплитуды a_m уменьшаются. Вследствие потерь энергии сдвиг фазы на p радиан при отражении также точно не выполняется, ибо в точках крепления струны наблюдаются незначительные колебания, обеспечивающие передачу энергии креплению струны.

Уравнение стоячей волны. Результирующее колебание струны обусловлено интерференцией встречных волн. Обозначим результирующую амплитуду волн [при выполнении условия (28 * )], бегущих в положительном направлении оси 0x, через Y₍_®₎, а в обратном направлении – через Y₍₎. Здесь: Y₍_®₎ = a₁ + a₃ + a₅ + … ; Y₍₎= a₂ + a₄ + a₆ + … Вследствие потерь энергии результирующие амплитуды Y₍_®₎и Y₍₎ имеют конечное значение и не равны друг другу. Уравнение результирующей волны, бегущей в положительном направлении оси 0x, имеет вид:

Уравнение результирующей волны, бегущей в отрицательном направлении оси 0x, имеет вид:

Прибавим и вычтем вспомогательную величину[Y₍_®)×sin (wt + kx)], получим:

Уравнение (29) описывает волновой процесс в струне.

Проведем анализ уравнения.

1. При Y₍_®) = Y₍₎ в уравнении (29) остается первый член, который описывает стоячую волну: y =-2Y₍_®)sin kx ×cos wt. Второй член в (29) равен нулю. Амплитуда колебаний частиц струны 2Y₍_®)sinkx определяется координатой этих частиц. В точках с координатами, отвечающими условию sin kx = 0, т.е. условию kx = np, колебания отсутствуют. Эти точки на струне называются узлами стоячей волны. Координаты узлов: т.к. k = , то

x_узел = n , n = 1, 2, 3, …

В частности, в точках крепления (x = 0 и х =L) находятся узлы стоячей волны. Имеем L = n , т.е. при реализации на струне стоячей волны, на струне укладывается целое число полуволн. Полученное соотношение коррелирует с формулой (28 * ). При заданной длине струны L определим набор собственных частот струны n_n , при которых формируется стоячая волна: так как

L = n = n , то n_n = n , или n_n = n т.к. c = .

Частота n₁ (n = 1, т.е. на струне укладывается одна полуволна), называется основным тоном струны, остальные собственные частоты называются обертонами. Собственные частоты — основной тон и обертона — еще называют резонансными частотами.

Определим максимумы интерференции встречных волн. В точках струны, отвечающих условию ÷sin kxê = 1, имеем максимумы амплитуды колебания в стоячей волне. Эти максимумы называются пучностями стоячей волны. Так как kx =(2n + 1) , где n = 1, 2, …, то координаты пучностей определяются формулой x_пучн. = (2n + 1) .

График стоячей волны в отсутствии потерь приведен на рис. 1-28. Частицы струны между узлами колеблются в фазе. При переходе через узел фаза изменяется на p радиан (противофазные колебания частиц на соседних участках струны при переходе через узел).

В стоячей волне энергия не переносится, в узлах колебания отсутствуют. Однако в отсутствии потерь нет и необходимости компенсировать потери. В реальном же эксперименте потери неизбежны, поэтому Y₍_®₎ ¹ Y₍₎, и бегущая волна вызывает небольшие колебания в узлах, вследствие чего узлы размываются.

1.2.3. Импеданс среды (на примере струны)

В § 1.1.7 выяснили, что феноменологический смысл механического импеданса колебательной системы определяется как внешняясила, которая необходима для сообщения колебательной системе единичную амплитудную скорость Z = . Определим импеданс струны как среды, в которой распространяется волна. Так как в струне распространяется поперечная волна, то этот импеданс естественно назвать поперечным импедансом. Подействуем на струну внешней гармонической силой F = F₀ в точке x = 0 в перпендикулярном направлении к струне. В этом случае уравнение бегущей волны имеет вид: y = a .

Пусть натяжение струны T. В вертикальном направлении имеем:

F₀ » T tga = —T .

Так как = —ika , то F₀ = T ika . Из этого равенства получим значение амплитуды смещения: a = . Поперечная колебательная скорость v_y = = = . Так как , то в точке x = 0 скорость имеет вид: v_y = = = V .