В уравнении ламе pr h r это

Корреляционной называется зависимость между переменными, когда определенному значению одной величины соответствует несколько значений другой величины.

Физические основы гемодинамики.

Гемодинамикойназывают область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Основная задача гемодинамики — установить взаимосвязь между основными гемодинамическими показателями, а также их зависимость от физических параметров крови и кровеносных сосудов. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов. К основным гемодинамическим показателям относятся давление и скорость кровотока. Давление — это сила, действующая со стороны крови на сосуды, приходящаяся на единицу площади: Р = F/S. Различают объемную и линейную скорость кровотока. Объемной скоростью Q называют величину, численно равную объему жидкости, протекающему в единицу времени через данное сечение трубы : Q = V/ t [м 3 / с]. Линейная скорость представляет путь, проходимый частицами в единицу времени: V = l / t [м / с]. Линейная скорость и объемная связаны простым соотношением: Q = V·S. Так как жидкость несжимаема, то через любое сечение трубы в единицу времени протекают одинаковые объемы жидкости:

Сердечно-сосудистую систему можно представить в виде замкнутой, многократно разветвленной и заполненной кровью системы трубок с эластичными стенками. Движение крови осуществляется благодаря ритмическим сокращениям сердца.

Количество крови Q, протекающее через поперечное сечение участка сосудистой системы в единицу времени и называемое объемной скоростью кровотока, зависит от разности давлений в начале и конце участка и его сопротивления току крови.

Общие закономерности движения крови по кровеносному руслу.

Сопротивление току крови, а следовательно и падение давления на различных участках сосудистой системы весьма различны. Оно зависит от общего просвета и числа сосудов в разветвлении. Наибольшее падение давления крови — не менее 50% от начального давления – происходит в артериолах. Число артериол в сотни раз больше числа крупных артерий при сравнительно небольшом увеличении общего просвета сосудов. Поэтому потери давления от пристеночного трения в них весьма велики. Общее число капилляров еще больше, однако длина их настолько мала, что падение давления крови в них хотя и существенно, но меньше, чем в артериолах.

В сети венозных сосудов, площадь сечения которых в среднем в два раза больше площади сечения соответствующих артерий, скорость течения крови невысока и падения давления незначительны. В крупных венах около сердца давление становится на несколько миллиметров ртутного столба ниже атмосферного. Кровь в этих условиях движется под влиянием присасывающего действия грудной клетки при вдохе.

Течение крови в сосудистой системе в нормальных условиях имеет ламинарный характер. Оно может переходить в турбулентное при нарушении этих условий, например, при резком сужении просвета сосудов. Подобные явления могут иметь место при неполном открытии или, наоборот, при неполном закрытии сердечных или аортальных клапанов.

Гидравлическое сопротивление сосудов. Гидравлическое сопротивление разветвлённых участков.

Гидравлическое сопротивление сосудов X = 8 l h /(pR 4 ), где l — длина сосуда, R — его радиус, h — коэффициент вязкости, вводится на основании аналогий законов Ома и Пуазейля (движение электричества и жидкости описываются общими соотношениями).

Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника, для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных сосудов. Так, например, общее гидравлическое сопротивление последовательно и параллельно соединенных сосудов находится по формулам:

Зависимость давления и скорости течения крови от участка сосудистого русла.

Жидкости относительно несжимаемы. Однако, при действии внешних сил жидкость находится в особом напряженном состоянии. Говорят, что в этом случае жидкость находится под давлением, которое передается во все стороны (закон Паскаля). Оно действует также и на стенки сосуда или тела погруженного в жидкость.

Идеальной называется, несжимаемая и неимеющая внутреннего трения или вязкости, жидкость. Стационарным или установившимся называется течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке потока со временем не изменяются.

Установившееся течение характеризуется соотношением: DV = vS = const. Это соотношение называется условием неразрывности струи.

При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, гидростатического и динамического давлений, остается величиной постоянной в любом поперечном сечении потока: p + rgh + rv 2 /2 = const – уравнение Бернулли.

Все члены этого уравнения имеют размерность давления и называются: p = p_ст – статическим, rgh = p_г – гидростатическим, rv 2 /2 = p_дин – динамическим.

Для горизонтальной трубки тока гидростаическое давление остается постоянным и может быть отнесено в правую часть уравнения,которое при этом принимает вид:

p_ст + p_{дин =} const, статическое давление обусловливает потенциальную энергию жидкости (энергию давления), динамическое давление – кинетическую. Из этого уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли: статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубе возрастает там, где скорость ее уменьшается, и наоборот.Чтобы оценить как изменяются скорость и давление крови в зависимости от участка сосудистого русла надо учесть, что площадь суммарного просвета всех капилляров в 500 — 600 раз больше поперечного сечения аорты. Это означает, что Vкап » Vаор/500.Именно в капиллярах при медленной скорости движения происходит обмен веществ между кровью и тканями. При сокращении сердца давление крови в аорте испытывает колебания. Среднее давление может быть найдено из формулы: Рср = Рд + (Рс — Рд) / 3. Падение давления крови вдоль сосудов может быть найдено из уравнения Пуазейля. Поскольку объемный расход крови должен сохраняться постоянным, а Хкап > Х арт > Хаорт, то DРкап > DР арт > DРаорт.

Пульсовые волны. Скорость распространения пульсовой волны.

Пульсовая волна– это волна повышенного давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в период систолы, распространяющаяся по аорте и артериям.

Пульсовая волна распространяется со скоростью 5 – 10 м/с, поэтому за время систолы (около 0,3 с) она распространяется на расстояние 1,5 – 3 м, что больше расстояния от сердца к конечностям.

Скорость пульсовой волны в крупных сосудах зависит от их параметров и определяется по формуле:

V = 3(E·h)/ (r·d)

Где E – модуль упругости; h – толщина стенки сосуда; r — плотность крови; d – диаметр сосуда.

Автоколебания.

Автоколебательными называются незатухающие колебания, существующие в какой – либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Во многих случаях автоколебательные системы состоят из собственно колебательной системы, источника энергии и регулятора поступления энергии.

Физика слуха.

Звуковая волна, пройдя наружное ухо, наталкивается на барабанную перепонку, приводя её в движение. Барабанная перепонка через систему слуховых косточек передаёт колебания во внутреннее ухо — улитку. Движение жидкости в вестибулярном и базилярном каналах внутреннего уха заставляет колебаться базилярную мембрану, стимулируя рецепторные клетки.

Среднее ухо системой косточек усиливает давление в 17 раз (или на 25дБ).

Внутреннее ухо заполнено жидкостью. Длина развёрнутой улитки 35мм. Благодаря неоднородным механическим свойствам базилярной мембраны, волны разной частоты приводят в движение различные её участки.

Слуховой аппарат очень чувствителен: пороговые колебания барабанной перепонки составляют 10 -11 м.

Локализация источника звука основана на двух механизмах:

При низких частотах ухо улавливает разность фаз звуковой волны в левом и в правом ухе.

При высоких частотах ухо реагирует на разность интенсивностей звука, достигших левого и правого уха. Вокруг головы образуется звуковая тень и если разница будет в 1дБ то можно локализовать источник звука (с точностью +10 0 ).

Флюоресцентный анализ.

Основная формула дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи – нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны.

Метод рентгеноструктурного анализа основан на определении параметров кристаллической решетки по дифракции монохроматических рентгеновских лучей.

Дифракция рентгеновских лучей имеет место как при прохождении их через кристалл, так и при отражении от него. Условие, необходимое для дифракции рентгеновских лучей: 2d·sinj=nl; где d –расстояние между атомными плоскостями; j — угол скольжения; n – порядок максимума (n=1,2,3,…).

Электронная микроскопия. В 1923 году французский физик де-Бройль высказал гипотезу о том, что вещество подобно свету должно обладать волновыми и корпускулярными свойствами. В частности, всякой движущейся частице должна соответствовать волна длиной: l = h/mv; где: m – масса микрочастицы; v – скорость микрочастицы; h – постоянная Планка. Весьма существенно то, что формула для дифракции рентгеновских лучей справедлива и в случае дифракции электронов. Значение длины волны, расчитанное по этой формуле совпадает с ее значением, найденным по формуле де-Бройля. Рассчитаем длину волны соответствующую электронным лучам, используемым в электронном микроскопе:

l = h/mv = 6,62·10 — 34 дж·с/ 9,1·10 -31 кг·1,4·10 8 м/с = » 5·10 -6 мкм

Электронный парамагнитный резонанс это явление резкого возрастания поглощения энергии электромагнитной волны системой парамагнитных частиц (электронов с некомпенсированными спинами), помещенных во внешнее магнитное поле, при резонансной частоте волны n_рез.

Ядерный магнитный резонанс — это явление резкого возрастания поглощения энергии электромагнитной волны системой атомных ядер, обладающих магнитным моментом, помещенных во внешнее магнитное поле, при резонансной частоте волны n_рез.

Флюоресцентный анализ дает возможность исследовать подвижность фосфолипидных молекул в мембране, оценить вязкость липидной фазы мембраны (так называемую микровязкость). Он основан на том, что так как в нормальном состоянии мембраны не флюоресцируют, то в мембрану вводят молекулы или полярные группы, способные к флуоресценции.

Электродиффузия. Уравнение Нернста – Планка.

Поскольку в диффузии участвуют не только нейтральные вещества, но и ионы разной полярности, Нернст и Планк предложили формулу:

Ф = -uRT (dc/dx) — cuz F (dj/dx)

где: u = D/RT (называется подвижностью молекул)

R — универсальная газовая постоянная;

T — абсолютная температура;

с — концентрация вещества;

F — число Фарадея;

(dc/dx), (dj/dx) — градиент концентрации и градиент потенциала (то же, что электрическая напряжённость).

Это уравнение выведено из уравнения Теорелла: Ф = -cu (dm/dx), где m — электрохимический потенциал.

БИОПОТЕНЦИАЛЫ.

Измерение биопотенциалов является объективным, универсальным точным показателем течения физиологических функций различных органов.

Векторэлектрокардиография.

Электрический вектор сердца за один сердечный цикл описывает сложную пространственную кривую. Метод электрокардиографии состоит в регистрации электрического вектора сердца на протяжении кардиоцикла. Траектория перемещения конца электрического вектора сердца в трехмерном пространстве в течение кардиоцикла называется векторэлектрокардиограммой. Векторкардиограмма может быть представлена набором кривых, описываемых концом проекции вектора дипольного момента эквивалентного диполя на какую-либо плоскость в течении кардиоцикла. Если сделать запись ЭКГ в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (например, саггитальной и фронтальной) то они будут отличаться по форме и направлению, т.к. являются разными проекциями одного процесса. При их сложении (это делает прибор вектор-электрокардиограф) образуется сложная фигура по типу фигуры Лиссажу, которая может отражать функциональное состояние сердца, его проводящих и возбудимых тканей. Измеряя потенциалы f₀ на поверхности тела и определяя соответствующим образом rи a,легко определить электрический вектор сердца D₀, хотя действительные значения этого вектора остаются неизвестными. По данным таких измерений максимальное значение модуля вектора сердца составляет около 2·10 -5 А ·м. В векторной электрокардиографии регистрируют два вида кривых, характеризующих вектор дипольного момента эквивалентного диполя сердца: 1) пространственная векторная электрокардиограмма (ВЭКГ), представляющая собой траекторию конца вектора D₀ в трехмерном пространстве в течение кардиоцикла; 2) плоские векторные электрокардиограммы (петли) — кривые, описываемые в течение кардиоцикла концом проекции вектора дипольного момента эквивалентного диполя на какую — либо плоскость. На практике обычно имеют дело с плоскими ВЭКГ. Для исследования ВЭКГ разработано несколько систем отведений, отличающихся по числу и расположению отводящих электродов на поверхности тела, выбору плоскостей для получения плоских ВЭКГ. Плоские ВЭКГ чаще всего анализируют в декартовой системе координат с началом, расположенным в геометрическом центре желудочков сердца или в центре среднего горизонтального (трасверсального) сечения грудной клетки. Направление осей относительно тела испытуемого: х — справа налево; у — сверху вниз; z — спереди назад. Плоские ВЭКГ получают в проекциях на горизонтальную, фронтальную и сагиттальные плоскости. При многих болезнях сердца форма плоских ВЭКГ резко изменяется, поэтому это используется в диагностических целях.

Интерференция света.

Интерференцией света называется такое сложение световых волн, в результате которого образуется устойчивая картина их усиления и ослабления. В обычных условиях часто встречается наложение световых волн от различных источников, но интерференция не наблюдается. Обязательным условием получения интерференции является когерентность источников световых волн. Когерентными называются такие источники света, для которых сдвиг фаз между испускаемыми ими волнами остается неизменным. Когерентные волны получают, “расщепляя” световую волну, идущую от источника. Такой способ применяется в методе Юнга, который состоит в том, что на пути сферической волны, идущей от источника S, устанавливается непрозрачная преграда с двумя щелями. Точки волновой поверхности, дошедшей до преграды становятся центрами когерентных вторичных волн, поэтому щели можно рассматривать как когерентные источники.

Чтобы понять каким образом возникает интерференционная картина, рассмотрим рисунок 1. На нем изображены волны длиной l, проходящие через щели S₁ и S₂ на расстоянии d одна от другой. За щелями волны распространяются по всем направлениям, но на рисунке показаны только в одном направлении. Из рисунка видно, что дополнительное расстояние, проходимое нижним лучом, равно d·sinq .

Усиливающая интерференция наблюдается на экране, если величина d·sinq равна целому числу длин волн: d·sinq = ml, m=0,1,2,…( усиливающая интерференция).

Значение m называется порядком интерференционной полосы.

Ослабляющая (гасящая) интерференция наблюдается в том случае, когда разность хода

d·sinq равна 1/2; 3/2, и т.д длин волн:

d·sinq = (m + ½)l, m=0,1,2,…( ослабляющая интерференция).

Рисунок 1. Интерференция света от двух щелей.

Корреляционной называется зависимость между переменными, когда определенному значению одной величины соответствует несколько значений другой величины.

Чтобы установить наличие связи между величинами строят корреляционное поле.

У

Чтобы установить характер связи между величинами,

находят величину коэффициента корреляции по формуле:

` r = å(Xi — `X)(Yi — `Y ) / Ö å(Xi — `X) 2 å (Yi -`Y) 2

х При этом, если r> 0,мы имеем положительную связь. Если r -1 ). Если события неравновозможные, то информационная энтропия рассчитывается по формуле К.Шеннона:

Н = — S P_ilogP_i , где P_i – вероятность i-того события.

Пропускной способностью С канала связи называется максимальное количество информации, которое можно передать по каналу связи в единицу времени: С = H / t [бит/с ]. Где Н – количество информации, а t – время, за которое оно было передано.

Абсолютный порог — это минимальное значение силы стимула вызывающее ощущения.Болевойилимаксимальный порог — максимальное значение силы стимула, вызывающее ощущение (выше этого уровня появляется чувство боли).Дифференциальный порог — минимальное отличие между силой, действующих стимулов, при котором они воспринимаются как различные. Дифференциальный временной порог – наименьшее время междудействием двух раздражителей, при котором последние воспринимаются как раздельные.Дифференциальный пространственный порог — наименьшее расстояние между раздражителями, при котором они воспринимаются как раздельные.

Закон Вебера: отношение между приростом раздражителя, едва заметно отличающимся от его исходного значения и исходным значением раздражителя есть величина постоянная : D S / S = const

Закон Вебера — Фехнера E = k ln I / I o, Закон Стивенса: I = k ( S — So ) n , в котором, I — интенсивность ощущения, Sо — пороговая и S — действующая сила раздражения, k — константа.

Показатель степени n в этой функции для различных сенсорных систем и различных видов раздражений может отличаться от единицы как в большую, так и в меньшую сторону.

С точки зрения термодинамики, системой называют любую часть пространства окруженного оболочкой. Системы могут быть изолированные -не обмениваются с окружающей средой ни энергией, ни веществом ;замкнутые системы — обмениваются только энергией и открытые — обмениваются и энергией и веществом.Первый закон термодинамики:DU = DQ ± W , где DQ — тепло поглощенное системой, DU — изменение внутренней энергии системы, W – работа, взятая со знаком “минус”, если она совершена системой над ее окружением, и со знаком “плюс”, если работа совершена над системой.Внутренняя энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергии всех атомов и молекул термодинамической системы.

Термодинамическая система характеризуется экстенсивными и интенсивныит термодинамическими параметрами. ЭКСТЕНСИВНЫМИ называют параметры, которые зависят от общего количества вещества в системе (например, масса m, объем V ). ИНТЕНСИВНЫМИ называют параиетры, не зависящие от общего количества вещества в системе (температура, давление, молярная концентрация). ОБРАТИМЫМИ называютциклические процессы, при которых обратный переход системы в первоначальное положение не требует затрат энергии извне.НЕОБРАТИМЫМИ называютциклические процессы, при которых возврат системы в исходное состояние требует затрат энергии извне.

Мерой необратимости процессов является ЭНТРОПИЯ (S) — равная отношению тепла Q , производимого в обратимом изотермическом процессе, к абсолютной температуре T , при которой протекает процесс :

S = Q/T.Кроме энтропии, в термодинамике используется понятие приведенной теплоты, под которой подразумевают величину: Qпр = Q / T

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ ЭНТРОПИИ: S = k ln W, где k — постоянная Больцмана ( 1,38х 10 — ²³ Дж/ К), ln — натуральный логарифм ( по основанию e = 2,71. ), а W — термодинамическая вероятность, она представляет собойколичество способов, комбинаций элементов системы, с помощью которых реализуется данное состояние.

Общее изменение энтропии в открытой системе, обменивающейся с внешней средой энергией и веществом, может быть равно нулю, больше нуля, или меньше нуля. Состояние системы, при котором ее параметры со временем не изменяются, но происходит обмен веществом и энергией с окружающей средой называется стационарным. Критерием стационарности системы является равенство нулю общего изменения энтропии и свободной энергии внутри системы. Теорема Пригожина: в стационарном состоянии скорость возрастания энтропии, обусловленная протеканием необратимых процессов, имеет положительное и минимальное из всех возможных значение.Для живого организма характерно постоянство параметров состояния во времени, которое называется гомеостазом. Гомеостаз – это стационарное состояние организма

БИОРЕОЛОГИЯ — учение о деформациях и текучести жидких сред организма. При течении реальной жидкости отдельные ее слои воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называется внутренним трением или вязкостью (h).Сила внутреннего трения (F_тр) пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше скорость их относительного движения, т.е. dv/dx:F_тр = h S dv/dx —Это уравнение Ньютона. Ньютоновскими называют жидкости, вязкость которых зависит только от ее природы и температуры. Неньютоновскими называют жидкости, вязкость которых зависит не только от ее природы и температуры, но и от градиента скорости. Основными методами измерения вязкости крови в настоящее время являются: капиллярный, вискозиметр Гесса и ротационный.

Основной причиной, передвижения реальной жидкости по сосудам является разностью давлений в начале и в конце сосудов. В кровеносной системе эту разность давлений обеспечивает работа сердца.

Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов. Механические свойства кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами коллагена, эластина и гладких мышечных волокон.

Деформация кровеносного сосуда как результат действия давления изнутри на упругий сосуд определяется уравнением Ламе :

d = pr/h , где d — механическое напряжение, p — давление, r — радиус внутренней части сосуда, h — толщина сосуда. Считая, что при растяжении сосуда объем его стенки не изменяется ( площадь стенки возрастает, а толщина убывает), можно записать, что:

d = pr/h = prr/rh = pr ² / b, где rh = b — площадь сечения стенки сосуда.

Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений. Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от

10 -5 до 10 4 Па·с.

Вискозиметр Гесса состоит из двух капилляров, один из которых заполняется дистиллированной водой, а второй исследуемой жидкостью.

Ротационные вискозиметрысостоят из двух соосных тел, например, цилиндров, между которыми находится жидкость. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость определяют по угловой скорости ротора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы, действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.

Различные способы оценки производительности модели машинного обучения

Дата публикации Dec 30, 2018

В этом блоге мы обсудим различные способы проверки производительности нашей модели машинного обучения или глубокого обучения и зачем использовать один вместо другого. Мы обсудим такие термины, как:

1. Путаница матрица
2. точность
3. точность
4. Отзыв
5. специфичность
6. Счет F1
7. Кривая точности-отзыва или PR
8. РПЦ(рeceiverОperatingСхарактеристика) кривая
9. PR против кривой ROC.

Для простоты мы будем в основном обсуждать вещи с точки зрения проблемы бинарной классификации, где, скажем, нам нужно будет найти изображение кошки или собаки. Или у пациента рак (положительный) или он обнаружен здоровым (отрицательный). Вот некоторые общие термины, которые необходимо прояснить:

Истинные позитивы (ТП): Предсказано положительно и на самом деле положительно.

Ложные срабатывания (FP)Прогнозируется положительный и фактически отрицательный.

Истинные негативы (TN)Прогнозируется отрицательно и фактически отрицательно.

Ложные негативы (FN)Прогнозируется негативно и на самом деле позитивно.

Путаница матрица

Это просто представление вышеуказанных параметров в матричном формате. Лучшая визуализация всегда хороша 🙂

точность

Наиболее часто используемый показатель для оценки модели и фактически не является четким показателем эффективности. Хуже бывает, когда классы не сбалансированы.

Возьмите, например, модель обнаружения рака. Шансы заболеть раком очень малы. Допустим, из 100, 90 пациентов не болеют раком, а у остальных 10 он действительно есть. Мы не хотим скучать по пациенту, у которого рак, но он остается незамеченным (ложноотрицательный). Обнаружение всех как не имеющих рака дает точность 90%. Модель ничего не сделала здесь, но просто дала рак бесплатно для всех 100 предсказаний.

Нам, безусловно, нужны лучшие альтернативы.

точность

Процент положительных случаев изобщее прогнозируемое положительноеэкземпляров. Здесь знаменатель — прогноз модели, выполненный как положительный для всего данного набора данных. Примите это, чтобы узнать ‘насколько модель верна, когда говорит, что она правильна ».

Напомним / Чувствительность / Истинный положительный показатель

Процент положительных случаев изобщий фактический положительныйэкземпляров. Следовательно знаменатель (ТП + ФН)здесьфактическийколичество положительных экземпляров, присутствующих в наборе данных. Примите это, чтобы узнать ‘сколько лишних правильных, модель упустила, когда показала правильных ».

специфичность

Процент негативных случаев изобщий фактический отрицательныйэкземпляров. Следовательно знаменатель (TN + FP)здесьфактическийколичество отрицательных экземпляров, присутствующих в наборе данных. Это похоже на напоминание, но сдвиг на отрицательных случаях.Например, выяснить, сколько здоровых пациентов не болели раком и им сказали, что у них нет рака., Вид меры, чтобы видеть, как отдельные классы.

Счет F1

Это является гармоническим средним значением точности и отзыва. Это принимает участие обоих, поэтому, чем выше оценка Ф1, тем лучше. Обратите внимание, что из-за произведения в числителе, если один из них становится низким, итоговая оценка Ф1 значительно снижается. Таким образом, модель преуспевает в баллах F1, если прогнозируемые положительные значения на самом деле являются положительными (точность) и не пропускают положительные значения и предсказывают их отрицательные (напомним).

Один недостаток заключается в том, что и точность, и отзыв имеют одинаковую важность, из-за чего в соответствии с нашим приложением нам может понадобиться одно значение выше другого, и показатель F1 может быть не точным показателем для него. Поэтому может помочь либо взвешенная оценка F1, либо просмотр кривой PR или ROC.

Кривая PR

Это кривая между точностью и отзывом для различных пороговых значений.На рисунке ниже у нас есть 6 предикторов, показывающих соответствующую кривую точности-отзыва для различных пороговых значений. Верхняя правая часть графика — это идеальное пространство, где мы получаем высокую точность и вспоминаем. На основании нашего приложения мы можем выбрать предиктор и пороговое значение. PR AUC — это просто область под кривой. Чем выше его числовое значение, тем лучше.

Кривая ROC

ROC обозначает рабочую характеристику приемника, и график строится в зависимости от TPR и FPR для различных пороговых значений. По мере увеличения TPR FPR также увеличивается. Как вы можете видеть на первом рисунке, у нас есть четыре категории, и мы хотим, чтобы пороговое значение привело нас ближе к верхнему левому углу. Сравнение различных предикторов (здесь 3) для данного набора данных также становится легким, как вы можете видеть на рисунке 2, можно выбрать порог в соответствии с имеющимся приложением. ROC AUC — это просто область под кривой, чем выше ее числовое значение, тем лучше.

PR против кривой ROC

Обе метрики широко используются для оценки производительности моделей.

Какой из них использовать PR или ROC?

Ответ заключается в ИСТИННЫХ ОТРИЦАНИЯХ

Из-за отсутствия TN в уравнении точного вызова они полезны в несбалансированных классах, В случае дисбаланса класса, когда есть большинство отрицательного класса. Метрика не принимает во внимание большое количество ИСТИННЫХ ОТРИЦАТЕЛЕЙ отрицательного класса, который в большинстве своем обеспечивает лучшую устойчивость к дисбалансу. Это важно, когда обнаружение положительного класса очень важно.

Нравится выявлять больных раком, которые имеют высокий класс дисбаланса, потому что очень немногие имеют его из всех диагностированных. Мы, конечно же, не хотим пропустить человека, у которого рак и который остается незамеченным (вспомним), и быть уверенным, что он обнаружен (точность).

Из-за рассмотрения TN или отрицательного класса в уравнении ROC, это полезно, когда оба класса важны для нас.Как обнаружение кошек и собак. Важность истинных негативов гарантирует, что обоим классам придана важность, подобно выводу модели CNN при определении изображения кошки или собаки.

Вывод

Используемая метрика оценки сильно зависит от поставленной задачи. Долгое время точность была единственной мерой, которую я использовал, что на самом деле является неопределенным вариантом. Я надеюсь, что этот блог был бы полезен для вас. Это все с моей стороны. Не стесняйтесь предлагать исправления и улучшения.

Габриель Ламе

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Кафедра теоретической и прикладной механики

на тему: «Габриель Ламе»

студентка группы МХ-10-01

Криворучко Анна Геннадиевна

Гергель Ирина Юрьевна

3. Некоторые результаты математических исследований Ламе.
. 8

4. Параметры Ламе. 11

5. Коэффициенты Ламе. 12

6. Ламе функции.
..14

7. Ламе уравнение.
..15

8. Заключение.
. 16

9. Литература.
. 17

Габриель Ламе родился в конце XVIII века в Туре. Этому человеку предстояло стать известным на весь мир и получить самые почетные знания в научной сфере.

Ламе прошел путь от майора до полковника, награжден орденами Владимира 4-й степени, орденом Анны 2-й степени и алмазным знаком этого ордена, орденом Станислава 3-й степени (кроме того, ему был вручен бриллиантовый перстень, он награждался годовым окладом, ему объявляли монаршее благоволение). И все эти отличия получены не за ратные подвиги на поле брани, а за выдающиеся научные достижения и профессорскую педагогическую деятельность в России. Интересно отметить, что последний указанный выше орден он получил по итогам своей научной командировки в Англию после предоставления отчета о ней, который содержал два рукописных тома и 80 чертежей с комментариями. Этот отчет назывался «Наблюдения, относящиеся к инженерному искусству, собранные во время путешествия в Англию, совершенного по приказу Николая I летом 1830 года полковником Габриелем Ламе».

Король математики Ф. Гаусс называл Ламе самым известным французским математиком его поколения; его биограф и известный ученый Ж. Бертран говорил, что он был выдающимся инженером. Круг его интересов был широк и разнообразен.

Его перу принадлежат труды по теории упругости и математической физике, Ламе разработал общую теорию криволинейных координат. К специальному классу функций отнесены коэффициенты Ламе. Также в честь него названы параметры Ламе в теории упругости.

Габриель Ламе – французский математик, физик и инженер, член-корреспондент Петербургской АН, член Парижской академии наук, профессор Политехнической школы и Парижского университета родился 22 июля 1795 года в городе Тур.

С шестилетнего возраста юный Габриель учился в Парижском аристократическом лицее Людовика Великого, который имел к тому времени уже два с половиной века опыта работы и был лучшим во Франции. Кстати, одновременно с ним в лицее учился Эжен Делакруа, ставший известным художником. Лицей славился своими хорошими традициями, и на театральные постановки в нем собиралась знатная публика. Там были введены разнообразные награды за успешную учебу и участие в ежемесячных различных конкурсах среди учащихся. Наибольшее внимание в лицее уделялось преподаванию математики, латыни, французского языка и рисования, а также воспитанию чувства дружбы, взаимопомощи и ответственности. Во время учебы (экстерном) в лицее он познакомился с прекрасной книгой A.M. Лежандра по геометрии, что в значительной мере повлияло на его дальнейшее образование.

В 18 лет он закончил лицей, еще год готовился к поступлению и в 1814 г., успешно сдав (третьим по списку) вступительные экзамены, поступил в Политехническую школу, школу инженерного образования нового типа, которой не было аналогов в Европе и в Америке. Ее учебный план содержал только математические дисциплины (математический анализ, применение анализа к геометрии, механика, начертательная геометрия, черчение). В основе главной идеи создания такой школы лежало положение о том, что различные отрасли техники и промышленности требуют практически одинаковой подготовки по математике, механике, физике и химии, а также уверенность в том, что студент с такой подготовкой успешно овладеет в дальнейшем необходимыми знаниями в любой специальной области. В Политехнической школе, как писал Ф. Клейн, «все меры строгости, воздействия на честолюбие, окрыляемое перспективой блестящей жизненной будущности, привлекались для того, чтобы заставить учащегося до крайности напрягать свои силы. Знания вколачиваются в голову до полного овладения предметом». Александр I по поводу этой школы отметил, что «это самое лучшее учреждение, созданное человеком″.

Ламе учился в Политехнической школе в очень неспокойное время (после сокрушительного поражения в войне 1812 г. против России, в период реставрации Бурбонов (1814 — 1815, 1895 — 1830) и во время возвращения на короткий срок Наполеона с острова Эльбы в 1815 г). Вследствие этого в 1816 г. школа была закрыта, а студенты распущены по домам. На декрет о закрытии школы Ламе выразил протест в своей первой печатной работе об истории Политехнической школы и в защиту её будущего. Брошюру, конечно, немедленно изъяли. Школа была закрыта около года, и в этот период Ламе пришлось самостоятельно зарабатывать на хлеб; он начал давать частные уроки математики и очень быстро стал известным репетитором.

Именно в этот период он начал активно заниматься математикой и выполнил свою первую научную работу. По сложившейся традиции для получения полного инженерного образования выпускники Политехнической школы, срок обучения в которой был два года, должны были поступать в высшие технические училища. После того как в январе 1817 г. Политехническая школа была открыта для занятий, Ламе сдал достаточно сложные выпускные экзамены (первым в списке по результатам) и поступил в Горную школу, в которой он учился потом три года. Принцип, положенный в основу системы вступительных экзаменов предписывал, что «экзаменатор должен быть уверен в интеллигентности кандидата», т.е. он должен был обращать внимание не на заучивание предмета, а на его глубокое понимание. В период обучения в Политехнической и Горной школах Ламе познакомился с видными учеными-математиками (С. Ф. Лакруа, Д. Ф. Араго, С.Д. Пуассоном, Ш.Ф. Бине, Л. Пуансо и др.) и их системой преподавания. А также, в лице своего однокурсника Бенуа Клапейрона, обрел друга и соратника.

После окончания курса в Политехнической школе Ламе вскоре был приглашён вместе с Клапейроном в Россию на основании того, что в то время там не только не хватало специалистов по подготовке инженеров высокой квалификации, но и вообще уровень образования был крайне низким.

Согласно указу Александра I, Ламе и Клапейрон были направлены «в Корпус инженеров путей сообщения майорами с помещением их профессорами математики в институт сего корпуса, с жалованием, по званию сему положенным, со дня вступления их в отправление оных должностей с 7 сентября 1820 года». Ламе во время работы в Институте корпуса (где его называли Гаврило Францевич) читал курсы лекций по математическому анализу, аналитической геометрии, физике, астрономии, теоретическом и прикладной механике, прикладной химии, — в то время не было четкого разделения предметов между профессорами. Репетиторы (ныне ассистенты), которые вели практические занятия, обязаны были присутствовать на лекциях, чтобы более точно реализовывать читаемые курсы. Лекции и практические занятия Ламе проводил на французском языке, так как русский язык он знал плохо.

Научная и педагогическая работа у Ламе были связаны воедино, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что названия его научных работ включались в экзаменационные вопросы как по математике, так и по другим дисциплинам; кроме того, он постоянно подчеркивал неразрывную связь математических дисциплин между совой и связь чистой и прикладной математики в своих учебниках и научных статьях. Ламе глубоко понимал роль учебника в процессе обучения. Первый его учебник был написан с П. Базеном по интегральному исчислению, и эту тяжелую работу он выполнил по собственному желанию. Впоследствии этот учебник был переведен на русский язык и стал одним из первых русских учебников для высших технических учебных заведений. О тщательности и педагогической добросовестности при подготовке этой книги говорит письмо Ламе, датированное 2 декабря 1826 г., в котором он выражает сомнение по поводу доказательства теоремы Тейлора в учебнике П. Базена и предлагает свое более короткое доказательство. Это письмо было обнаружено только в 1911 г., и было рассказано о нем математиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым на Совете института путей сообщения; в частности, он советовал напечатать эту записку в трудах института «как память об одном из знаменитейших его деятелей и как пример той утонченной тщательности, с которой Ламе относился к делу преподавания».

В период работы над этим учебником Ламе стал свидетелем Декабрьского восстания и жестокой расправы над его участниками; в частности, над бывшими выпускниками Института братьями С. И. и М. И. Муравьевыми-Апостолами и инженером Корпуса инженеров Г.С. Батеньковым. Отрицательное отношение нового царя Николая I к Институту выражалось в том, что все его преподаватели и воспитанники дважды (до и после восстания) должны были давать подписку о том, что они не принадлежат ни к каким тайным обществам. На них заводились «кондуитные списки», жизнь стала полностью регламентированной и всякое нарушение строго наказывалось. Все это не способствовало нормальной творческой деятельности в институте. И не надо забывать, что лозунги декабристов в значительной мере совпадали с лозунгами Французской революции, с последствиями которой был хорошо знаком Ламе. Видимо, сказанное явилось главной причиной того, что в сентябре 1831 г. Ламе и Клапейрон подали заявление об отставке и в этом же году вернулись во Францию.

Вернувшись во Францию, Ламе и Клапейрон приступают к бурной инженерной деятельности по проектированию, планированию и строительству железных дорог во Франции; они, например, руководили строительством первой железной дороги Париж — Сен-Жермен. Вскоре Ламе оставил инженерную службу и в 1832 г. стал профессором Политехнической школы и заведовал кафедрой физики до 1844 г., затем стал экзаменатором этой же школы, а с 1848 г. начал читать лекции в Сорбонне. Ж. Бертран отмечал, что получить ему кафедру физики стало возможным только благодаря прекрасным его работам в России в области математической теории упругости.

Вскоре после прихода к власти Наполеона III (период Второй Империи: 1852 — 1870) университет перестал быть автономным и стал государственным учреждением. В это же время Ламе, используя свой опыт работы в Петербурге, размышляет вместе с Клапейроном над проблемой создания специальных школ для будущих руководителей промышленного производства, чему он и Клапейрон посвятили книгу «План общей и специальных школ для сельского хозяйства, мануфактурной промышленности, торговли и управления». В этой книге продумано все глубоко и детально: система вступительных экзаменов, учебные планы, методика преподавания, места расположения школ и т.д. Ламе также откликнулся на события 1848 г., которые предвещали рост темпов индустриального развития, брошюрой «Эскиз трактата о республике».

Большой педагогический опыт работы в России и во Франции позволил Ламе создать еще пять учебников: «Курс физики» в двух томах (1836 — 1837), «Лекции по теории упругости твердых теп» (1852), «Лекции о функциях, обратных трансцендентным, и изотермических поверхностях» (1857), «Лекции по криволинейным координатам и их различным приложениям» (1859), «Лекции по аналитической теории тепла» (1861).

Свое научное завещание Ламе изложил во вводной лекции к курсу математической физики, который он читал в Сорбонне в 1861 г. На этой лекции присутствовал Н.Д. Брашман, один из инициаторов создания Московского математического общества.

Полная глухота заставила его выйти в отставку в 1863 году. Умер он 1 мая 1870 года в возрасте 74 лет в Париже.

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛАМЕ

1. Девять точек (1816 г.). В первой своей научной публикации, которая была выполнена в период закрытия правительством Политехнической школы, Ламе изучал кривые и поверхности второго порядка и нашел аналитические условия того, когда

а) три кривые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке;

б) три поверхности пересекаются по одной кривой;

в) четыре поверхности пересекаются в одной точке.

Продолжая эту работу во время вынужденного пропуска занятий, он написал книгу, объемом в 124 страницы, где он не только продолжает свои исследования, но и, с другой стороны, продолжает тематику, идущую от Блеза Паскаля — он при помощи методов начертательной (проективной) геометрии изучает возможные определения и построения поверхностей второго порядка при условии, что задано достаточное количество их точек.

Его исследования привели к изучению софокусных поверхностей второго порядка в пространстве — эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов. Каждая из этих поверхностей в отдельности заполняет пространство непрерывно и однозначно таким образом, что через каждую точку пространства проходит ровно по одной поверхности указанного типа. Эти поверхности в точке пространства пересекаются ортогонально, т.е. в этой точке касательные плоскости к этим поверхностям взаимно перпендикулярны. Именно на этом пути и возникли у Ламе идеи и методы введения криволинейных (эллиптических) координат и впоследствии их эффективные приложения к конкретным задачам математической физики. Заканчивая свои «Лекции по криволинейным координатам», он пишет: «Без изобретения прямоугольных координат алгебра осталась бы на той же точке, где Диофант и его последователи ее оставили, и мы не имели бы ни исчисления бесконечно малых, ни аналитической механики. Без введения сферических координат небесная механика была бы абсолютно невозможна. Без эллиптических координат знаменитые геометры не могли бы решить многочисленные вопросы, важные в этой теории. Наступило царствование криволинейных координат, так как только они могут помочь приступить к рассмотрению новых вопросов во всей их общности».

2. Веревочный многоугольник (1823 — 1827 г). Теория веревочного многоугольника впервые была отчетливо сформулирована и изложена голландским инженером Симоном Стевиным в работе 1605 г. Французский ученый Пьер Вариньон (1654 — 1722) развил эту теорию. Ламе и Клапейрон впервые применили теорию веревочного многоугольника к инженерному делу и к расчету висячих мостов. Теория веревочного многоугольника — это графический способ построения равнодействующей нескольких сил, лежащих в одной плоскости.

Впервые необходимость в этой теории возникла у Ламе и Клапейрона в связи с расчетами по устройству свода Исаакиевского собора, а затем при расчете проектов цепных мостов через Москву-реку, Яузу и Лугу в Ямбурге. И главная их заслуга состоит в том, что они при довольно сложных расчетах конкретных проектов (и на конкретной местности) продемонстрировали тесную связь между теорией и практикой. После публикации соответствующих работ во Франции эта технология вычислений становится популярной, а ярким ее пропагандистом является Ж. Понселе.

3. Циркуль и линейка (1826 г.). В тот же период, когда Ламе и Клапейрон занимались расчетами, связанными с проектированием висячих мостов, выходят в свет две работы, которые сейчас можно отнести к элементарной геометрии. Первая из этих работ принадлежит Ламе и связана со строительством шоссейной дороги Петербург — Москва; в ней (аналитически и геометрически) решается следующая задача: «Между двумя пересекающимися прямыми провести прямую данной длины таким образом, чтобы продолжение сей прямой проходило через точку, которой положение известно, к двум данным прямым». Само название этой работы показывает, что ее основное содержание составляет аналитическое решение поставленной задачи, хотя в этой работе имеется и геометрическое решение — построение нужного отрезка при помощи циркуля и линейки, которое оказывается значительно проще и красивее. Однако для составления таблиц, которые необходимы при расчетах обширных и различных проектов, без формул обойтись трудно и поэтому дается два решения этой задачи. Кроме того, в этой же работе рассматриваются приближенные методы построения при помощи циркуля и линейки для решения задач о делении дуги на три равные части, о построении правильного 14-угольника и задача о проведении нормали через заданную точку плоскости к данному эллипсу.

4. Центр масс (1827 г.). В совместной работе, также посвященной работам по проектированию дороги Петербург — Москва, Ламе и Клапейрон используют метод, родоначальником которого следует считать Архимеда, обнаружившего возможность доказывать геометрические теоремы при помощи центра масс. В рассматриваемой работе решается следующая задача: нужно найти место для строительства завода по переработке руды, извлеченной из разных рудников, так чтобы стоимость ее перевозки, в совокупности, была наименьшей.

Интересно решалась эта задача. На деревянную доску наносилась топографическая карта местности и к тем точкам, которые соответствуют рудникам, подвешивались блоки. К одному концу нити, перевешенной через каждый блок, подвешивают массу, пропорциональную реально перевозимому грузу, другие концы нити прикрепляют к маленькому подвижному кольцу. Точка, около которой остановится кольцо, и определяет искомое местоположение завода. Конечно, этот метод не является точным, но дает довольно хорошие практические результаты. В этом весь Ламе — он всегда нацелен на решение прикладных задач, но использует при этом глубокие теоретические разработки.

В этой же работе Ламе и Клапейрон рассматривают постановку задачи в общей формулировке, когда нужно строить не один, а несколько заводов.

5. Комбинаторная задача (1838 г.). В небольшой своей работе Ламе рассмотрел задачу о нахождении числа способов разделить выпуклый многоугольник на треугольники при помощи диагоналей, если никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сейчас эта задача фигурирует во многих учебниках и книгах по элементарной математике, особенно тогда, когда нужно продемонстрировать применение принципа математической индукции в геометрии; при этом ссылки на первоисточник со временем затерялись и указания на авторство Ламе отсутствуют.

6. Эффективность алгоритма Евклида (1844). Ламе по этой тематике опубликовал в 1840 — 1847 гг. шесть статей. Его результат, который сейчас носит название теоремы Ламе, гласит, что число операций последовательных делений в алгоритме Евклида для нахождения НОД (а; b), а>b, меньше 5р, где р — число цифр в десятичной записи числа b.

При доказательстве этой теоремы Ламе использовал свойства чисел Фибоначчи; кроме этого он опубликовал отдельные статьи, где исследовал другие свойства последовательности Фибоначчи и ряда чисел Фарея.

7. Большая теорема Ферма (1839 г.). В наследство от величайшего математика П. Ферма (1608 — 1665) человечеству, в частности, осталась проблема, которая сейчас называется «Большая теорема Ферма» (также «Великая», «Последняя», «Знаменитая» и т.д.). На протяжении более чем трех веков были обнаружены вполне элементарные доказательства только самого Ферма для n=4 и одного частного случая (так называемом первый случай теоремы Ферма) для некоторых простых чисел n. Все остальные полученные результаты требовали серьезного математического аппарата.

1839 г. — Г. Ламе дал доказательство для случая n=7 и, тем самым, для всех n, кратных 7 и неделимых на 3 и 5 (сюда включается случай n=14, который раньше при помощи искусственного приема получил Л. Дирихле, но который не распространялся на случай n=7).

Параметры Ламе (названные в честь Габриеля Ламе) — материальные константы, характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

,

где λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

Определение через энергию. Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются и .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

Связь с другими модулями упругости. Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига. Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

Гидродинамика. В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:

Коэффициенты динамической вязкости λ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Коэффициенты Ламе в в математическом анализе — коэффиценты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе.

Общее определение. Пусть x, y, z — декартовы координаты. Пусть q1, q2, q3 — произвольные ортогональные криволинейные координаты. Пусть также справедливы соотношения:

где — некоторые функции.

Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:

.

Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде:

Принимая во внимание ортогональность систем координат, т.е. , при это выражение можно переписать в виде:

,

где искомые коэффициенты Ламе.

Связь полярных координат с декартовыми:

.

.

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

.

.

Связь сферических координат с декартовыми:

.

.

Ламе функции, функции, применяемые при изучении физических явлений (распределение тепла, движение жидкости и т. п.) в областях, ограниченных поверхностью эллипсоида. Ламе функции являются простейшими решениями дифференциального уравнения Ламе:

,

где α 2 = a 2 + λ, β 2 = b 2 + λ, γ 2 = c 2 +λ, n — целое число, a a, b, с — полуоси эллипсоида, внутри (или вне) которого исследуется физическое явление. Ламе функции, введённые Г. Ламе в 1839, имеют многочисленные приложения к различным вопросам математической физики и механики.

Ламе уравнение- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области

где — Вейерштрасса эллиптическая функция, А и В — константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Уравнение (1) называется формой Вейерштрасса для Ламе уравнения. Существует такая замена независимой переменной в уравнении (1), в результате которой получается форма Якоби для Ламе уравнения:

Имеются также многочисленные алгебраич. формы Л. у., переход к к-рым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения (1), напр.:

Для практических приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении (1) В=n(n+1), где n — натуральное число. В этом случае решения уравнения (1) мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения (2) при В=n(n+1) первостепенное значение имеют Ламе функции.

Подробно ознакомившись с биографией французского физика, математика и инженера Габриеля Ламе, видно, что благодаря его деятельности научный прогресс вышел в своё время на новую ступень эволюции. Ламе внес неоценимый вклад в развитие науки, а значит и в развитие общества в целом. Не смотря на то, что он слишком много уделял внимания теоретическим построениям и исследованиям, он был замечательным практиком и довольно нередко брал участие в разнообразных строительных проектах. Круг его интересов был широк и разносторонний. Труды Габриеля Ламе коснулись и дали толчок к дальнейшему развитию таких отраслей науки, как математическая теория упругости, математическая физика, строительная и прикладная механика, теория сопротивления материалов и дифференциальная геометрия.

1. Воронина М. М. Габриэль Ламе, 1795-1870: Французский ученый — математик, механик, инженер. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1987.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. . — Наука., 1987.

3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1937.

4. Заичкин И. Л. Русская история от Екатерины Великой до Александра II. М.: Мысль, 1994.

5. Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952. Н. Х. Розов.