В уравнениях типа а четырехполюсника

№75 Уравнения четырехполюсника.

Четырехполюсником называется часть электрической цепи или схемы, содержащая два входных вывода (полюса) для подключения источника энергии и два выходных вывода для подключения нагрузки. К четырехполюсникам можно отнести различные по назначению технические устройства: двухпроводную линию, двухобмоточный трансформатор, фильтры частот, усилители сигналов и др.

Теория четырехполюсников устанавливает связь между режимными параметрами на входе (U1, I1) и режимными параметрами на его выходе (U2, I2), при этом процессы, происходящие внутри четырехполюсника, не рассматриваются. Таким образом, единая теория четырехполюсника позволяет анализировать различные по структуре и назначению электрические цепи, которые могут быть отнесены к классу четырехполюсников.

Если четырехполюсник не содержит внутри себя источников энергии, то он называется пассивным (обозначается буквой П), если внутри четырехполюсника имеются источники, то он называется активным (обозначается буквой А).

В настоящей главе анализируются пассивные линейные четырехполюсники. На электрических схемах четырехполюсники условно обозначаются прямоугольником с двумя парами выводов: 1 и 1′ — входные выводы, 2 и 2′ — выходные выводы (рис. 75.1). Соответственно напряжение и ток на входе индексируются цифрой 1 (U1, I1) , а на выходе — цифрой 2 (U2, I2).

Установим связь между параметрами режима входа (U1, I1) и выхода (U2, I2). Для этой цели согласно теореме о компенсации заменим нагрузку Z2 источником ЭДС Е2 = U2 = I2Z2 и найдем токи по методу наложения от каждого ис¬=точника в отдельности (рис. 75.2 а, б):

где Y11, Y22 – входные проводимости входа и выхода, Y12 = Y21 – взаимная проводимость между входом и выходом.

Выразим из полученных уравнений режимные параметры на входе:

— комплексные кэффициенты четырехполюсника

С учетом принятых обозначений система основных уравнений четырехполюсника получит вид

Система основных уравнений четырехполюсника формы А:

Уравнения четырехполюсника часто записывают в матричной форме:

где матрица коэффициэнтов формы А:

Выразим соотношение между коэффициентами четырехполюсника:

A•D — B•C=1 – уравнение связи между коэффициентами. Уравнение связи показывает, что независимыми являются только три из четырех коэффициентов четырехполюсника.

Поменяем местами в схеме рис. 75.1 источник и приемник энергии. В новой схеме рис. 75.3 направления токов изменятся на противоположные.

Уравнения четырехполюсника с учетом изменения направлений токов примут вид:

Преобразуем полученную систему уравнений следующим образом. Умножим члены уравнения (1) на D, члены уравнения (2) на В и вычтем почленно из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

Умножим члены уравнения (1) на С, члены уравнения (2) на А и вычтем из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

Новая система уравнений четырехполюсника получила название формы В:

Четырехполюсник называется симметричным, если перемена местами входных и выходных выводов не влияет на режим остальной цепи, частью ко¬торой является четырёхполюсник. Для симметричного четырёхполюсника выполняются следующие условия:

Кроме названных форм уравнений четырехполюсника А и В применяются на практике еще четыре формы, а именно формы Z, Y, H и G. Структура этих уравнений приведена ниже:

— система основных уравнений четырехполюсника формы Z:

— система основных уравнений четырехполюсника формы Y:

— система основных уравнений четырехполюсника формы H:

— система основных уравнений четырехполюсника формы G:

Для уравнений формы Z, Y, H и G принята следующая ориентация токов и напряжений относительно выводов четырехполюсника (рис.75.4).

Соотношения между коэффициентами четырехполюсника различных форм приводятся в справочной литературе, однако их нетрудно получить, выполнив преобразование одной формы уравнений в другую. Например, пусть заданы коэффициенты формы А (А, В, С, D) и требуется определить коэффициенты формы Z(Z11, Z12, Z21, Z22). Для этого в уравнениях формы A изменим знак тока I2 и решим их относительно переменных U1 и U2:

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы Z, находим соотношения между коэффициентами двух форм:

Четырехполюсники. Различные виды уравнений четырехполюсника. Системы параметров и их взаимосвязь. Определение коэффициентов четырехполюсников. Схемы замещения (Т — и П — образные)

Четырехполюсники. Различные виды уравнений четырехполюсника. Системы параметров и их взаимосвязь. Определение коэффициентов четырехполюсников. Схемы замещения (Т — и П — образные).

Термины и определения основных понятий

Четырехполюсник — часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными.

Схема замещения электрической цепи — схема электрической цепи, отображающая свойства цепи при определенных условиях.

Электрическая цепь имеющая два входных и два выходных зажима называется четырехполюсником.

Активные ЧП содержит внутри себя источники электрической энергии. Пассивные ЧП не содержит источники электрической энергии. В дальнейшем рассматриваем только пассивные ЧП.

Примерами ЧП могут служить: линия передачи, трансформатор, электрический фильтр и т. д.

Выводы ЧП к которым подключается источник электрической энергии называются входными, а выводы, к которым присоединяется нагрузка – выходными.

ЧП называется симметричным, если перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет напряжение и ток в остальной части цепи куда он подключен. В противном случае ЧП называется несимметричным.

На рисунке приведена в общем виде схема ЧП. Принятому положительному направлению токов соответствует передача энергии от входных зажимов к выходным зажимам.

Соотношение между напряжениями и токами могут быть записаны в виде следующих уравнений:

1.Форма || Y ||

Здесь все Y –комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости.

При этом:

2.Форма || Z ||

Здесь все Z — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность сопротивления.

При этом :

3.Форма ||А||

A , D – безразмерные, В — размерность сопротивления, С – размерность проводимости.

При этом справедливо:

Наличие связи между коэффициентами, а также ;

показывает, что при любой форме записи уравнений ЧП независимыми являются только 3 параметра.

Коэффициенты зависят от схемы внутренних соединений ЧП, от величины сопротивлений схемы и частоты.

Если поменять местами вход и выход ЧП, то

Для симметричного ЧП:

A , B , C , D называются первичными параметрами ЧП.

Определение коэффициентов ЧП ( первичных параметров)

Если внутреннее содержимое ЧП известно, то его коэффициенты можно определить теоретически (расчетным путем).

1 способ. Он состоит в записи уравнений по законам Кирхгофа и последовательным приведением этих уравнений к одной из форм уравнений .

(1)

Приведем полученную систему к форме || Z ||:

Из (3): подставим с в (1) и (2)

форма ||Z||

Приведем полученную систему к форме || A ||:

Из (2)

— верно

2 способ: По известным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Покажем, что этим способом мы получили те же результаты:

3 способ: Если внутренне содержимое ЧП неизвестно, то коэффициенты A , B , C , D можно определить по экспериментально найденным входным сопротивлениям ЧП в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Величина входного сопротивления могут быть легко найдена с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра.

Для входных зажимов ЧП входное сопротивление:

При ХХ () (1)

При КЗ () (2)

Еще одно уравнение получим из уравнений для обратного включения.

Для обратного включения имеем:

В режиме ОКЗ () (3)

Решим уравнения (1)—(3) относительно какого-либо коэффициента (например А). Для этого выразим коэффициенты В, С, D и подставим полученные значения в уравнение связи.

Для симметричного ЧП A = D и

Поэтому

Для определения коэффициентов симметричного ЧП достаточно провести опыты ХХ и КЗ.

Эквивалентные схемы ЧП.

Т. К.пассивный ЧП характеризуется тремя независимыми параметрами, то его эквивалентная схема должна содержать как минимум три элемента.

На рисунке привидены Т и П-образная эквивалентные схемы.

Найдем А коэффициент Т — схемы:

Выразим Т-схемы через .

Тогда

Или

Аналогично для П-схемы имеем:

Если ЧП симметричный, то А= D и в Т — схеме , а в П — схеме

Коэффициенты A , B , C , D – называются первичными параметрами ЧП

Пассивный ЧП не содержит источников электрической энергии, активные – содержат.

Примеры ЧП: линия передачи, трансформатор, электрический фильтр и т. д.

Выводы ЧП к которым подключается источник электрической энергии называются входными, а выводы с нагрузкой – выходными.

ЧП называется симметричным если перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет напряжение и ток в остальной части цепи куда он подключен.

Соотношение между напряжениями и токами ЧП могут быть записаны в виде следующих уравнений:

Здесь все Y –комплексные коэффициенты пропорциональности имеющие размерность проводимости.

Здесь все Z — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность сопротивления.

Наличие связи (1) между коэффициентами ЧП, а также Y 12 =- Y 21 , Z 12 =- Z 21 , показывает что при любой записи элементов ЧП независимыми являются только 3 параметра.

A , B , C , D – первичные параметры ЧП.

Если поменять входное и выходное, то

Определение коэффициентов ЧП

Если внутреннее содержимое ЧП известно, то его коэффициенты можно определить аналитически.

C остоит в записи уравнений по законам Кирхгофа и последовательным приведением этих уравнений к одной из форм уравнений ЧП.

II .По известным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Если внутренне содержимое ЧП неизвестно, то коэффициенты A , B , C , D можно определить по экспериментально найденным входным сопротивлениям ЧП В режимах холостого хода и короткого замыкания.

Входное сопротивление R со стороны вторичных зажимов.

Если ЧП симметричен, то Z хх = Z охх , Z кз = Z окз .

Величины входных сопротивлений находятся с помощью А, В и Вг

Эквивалентные схемы ЧП.

Так как пассивный ЧП характеризуется тремя независимыми параметрами, то его эквивалентная схема должна содержать как минимум тир элемента.

Широкое распространение получили Т и П-образные схемы.

Величины входных сопротивлений находятся с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра.

1. Что такое четырехполюсник?

2. Что такое активный четырехполюсник?

3. Что такое пассивный четырехполюсник?

4. Приведите примеры четырехполюсников.

5. Какие четырехполюсники называются входными, а какие – выходными?

6. Какие четырехполюсники называются симметричными, а какие – несимметричными?

7. Опишите 3 способа определении коэффициентов четырехполюсников

8. Какие существуют схемы замещения четырехполюсников?

Упражнения и задачи

1. Определить А-параметры четырехполюсника:

а) используя законы Кирхгофа; б) при режимах холостого хода и короткого замыкания.

2. Определить коэффициенты четырехполюсника A , B , C , D Ом.

3. Выразить сопротивления Т — и П-схем замещения четырехполюсника через Z — параметры.

4. Определить коэффициенты четырехполюсника A , B , C , D и сделать проверку.

Четырехполюсники. Электрические цепи с распределенными параметрами. Магнитные цепи. Магнитные цепи при периодических процессах

Страницы работы

Содержание работы

1.1. Общие положения

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима (полюса). Трансформатор, электрический фильтр, усилитель, линию электропередачи, линию связи и другие устройства можно рассматривать как четырехполюсник, который является промежуточным звеном меду источником и приемником электрической энергии.

Четырехполюсник принято изображать в виде прямоугольника с входными (1-1 / ) и выходными (2-2 / ) зажимами (рис.1.1).

Рис. 1.1. Направления напряжений и токов при прямой и обратной передаче

К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным – нагрузка. Напряжение и ток на входе обозначают , , на выходе, .

Принятые на рис. 1.1 положительные направления токов , соответствуют прямой передаче энергии (от входных зажимов к выходным), направления токов , – обратной передаче, когда источник подключен к зажимам (2-2 / ), а нагрузка к зажимам (1-1 / ).

Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только на его входных и выходных зажимах.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные, линейные и нелинейные, симметричные и несимметричные.

Активные четырехполюсники содержат внутри источники электрической энергии. Если эти источники независимые, то на одной или обеих парах его разомкнутых зажимах появляется напряжение.

Четырехполюсник называется пассивным, если он не содержит источников электрической энергии, или же имеющиеся внутри схемы источники компенсируют друг друга так, что на разомкнутых зажимах напряжения отсутствуют.

Линейные и нелинейные четырехполюсники содержат соответственно линейные и нелинейные элементы.

Симметричные четырехполюсники имеют одинаковые параметры со стороны входных и выходных зажимов.

Сложная электрическая цепь, например, канал передачи сигнала, представляет собой совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

1.2. Системы уравнений пассивных четырехполюсников

Уравнения четырехполюсника устанавливают связь между токами и напряжениями на его зажимах. Возможны шесть форм записи основных уравнений четырехполюсника:

1. Форма [А], где [А] – матрица коэффициентов, входящих в уравнения:

(1.1)

Уравнения (1.1) соответствуют выбору направления токов прямой передачи (рис. 1.1).

(1.2)

Уравнения (1.2) соответствуют выбору направления токов обратной передачи (рис. 1.2), что равносильно замене входных зажимов входными.

Остальные четыре формы уравнений четырехполюсника используют положительные направления токов прямой и обратной передач сигнала:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Коэффициенты уравнений в общем случае комплексные величины и зависят от частоты. Из четырех коэффициентов каждой системы уравнений (1.1) – (1.6) только три независимые, при этом выполняются соотношения:

Коэффициенты уравнений четырехполюсника называются соответственно А, В, Y, Z, H, F – параметрами четырехполюсника. Они определяются только схемой самого четырехполюсника и имеют физический смысл входной или передаточной функции.

В симметричном четырехполюснике кроме соотношений (1.7) имеют место равенства:

Поэтому симметричный четырехполюсник характеризуется лишь двумя независимыми параметрами.

Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмотрим более подробно форму [А].

1.3. Уравнения четырехполюсника с А – параметрами

В курсе ТОЭ часто коэффициенты матрицы [А] обозначаются буквами А, В, С, D и уравнения записывают в виде:

(1.9)

где коэффициенты А и D – безразмерные, коэффициенты В имеет размерность сопротивления (Ом), а коэффициент С – размерность проводимости (См). Эти коэффициенты представляют собой:

– отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;