В урок простейшие тригонометрические уравнения

Урок алгебры в 10 классе по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок изучения новой темы, где большое внимание уделяется мотивации и стимулировании деятельности обучающихся.

Скачать:

Вложение	Размер
otkrytyy_urok_v_10_klasse.docx	367.61 КБ

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре в 10-м классе по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели урока. Образовательные: изучить общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений, сформировать у обучающихся первичные умения и навыки их решения;

Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру, математический кругозор. Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

Воспитательные: содействовать формированию личностно – адаптированой компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию).
Воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.

Тип урока : комбинированный( урок изучения нового материала.)

Оборудование урока : мультимедийная аппаратура , презентация, раздаточный материал (самостоятельная работа), карточки, таблицы , листы учета знаний.

Методы обучения: практический (самопроверка и взаимопроверка).

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

а) Приготовление рабочего места. Знакомство с гостями.

б) Каждый оценит свою работу. ( Оценочные листы )

2.Проверка домашнего задания ( Взаимопроверка)

4.Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.

5.Изучение нового материала.

учебное исследование;
обсуждение итогов учебного исследования;
схематизация материала;

6. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

7.Самостоятельная работа. (Проверка первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме)

Рефлексия. Подведение итогов.
Домашнее задание.

Добрый день,дорогие друзья!

На экране слова: “Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом” (Анатоль Франс (1844– 924) – французский писатель) (слайд Учитель: Следуя советам писателя, давайте будем активны, внимательны и с большим удовольствием будем поглощать знания, которые понадобятся в дальнейшем.

Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнитесь! Удачи всем!
Чтобы не было проблем! (слайд 2)

Ребята,для нашего урока нам необходим дополнительный материалл, который лежит на вашем рабочем месте в определенном порядке.Обратите внимание.

Сегодня каждый из вас оценит свою работу.

Возьмите в руки рабочую карту и подпишите ее. Рабочая карта __________________________________________________________

Первичное применение знаний

1 уравнение -2 бала

II. Этап проверки домашнего задания

т.к. .

(Взаимопроверка) ( слайд 3,4,5)

А творческую часть домашнего задания проверим мы проверим немного позже.

III. Фронтальный опрос и устная работа. (кодоскоп)

Вопросы: а) Дать определение:

arcsin ,( арксинус а — это такое число из отрезка , синус которого равен а) arccos ,( арккосинус а – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.)

arctg , (арктангенс а – это такое число из интервала , тангенс которого равен а.

б) Имеют ли смысл выражения(кодоскоп)

А сейчас проверим творческую часть домашнего задания

lV Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.

В итоге анкетирования мы с вами установили,что для того чтобы ощущать себя успешным,для каждого из вас необходимо либо исполнение вашей мечты или достижение какихто целей.Давайте посмотрим как мы двигаемся к своей мечте. Мы с вами условились, вся площадь этого колеса 100% . Я просила вас ответить на вопрос:

Как я оцениваю свое:

личностный и духовный рост( читаю ли я книги.расту ли я как личность),

отношение с родителями,

отношение с друзьями,

эмоции(умею ли я владеть своими чувствами, эмоциями),

отношение к учебе,

подготовка к ЕГЭ .Отметили.

Соединили все плавной линией. Как вам нравиться ваше колесо?

Представьте,что это колесо вашей жизни.На нем вы стремитесь к успеху!

Доедите далеко? Это просто упражнение. Вам есть к чему стремиться!

Задумайтесь, что нужно делать изо дня в день,чтобы ближе к своей мечте. Заглядывайте в свое колесо,выравнивайте изо дня в день. Если полностью закрыли, увеличте круг! И сейчас мы будем пополнять свое колесо успеха А давайте посмотрим,где самый большой % стремление к успеху. ( Анализируем)!

Тема сегоднешнего урока поможет вам в подготовке к ЕГЭ.

Возьмите в руки книгу « математика» по подготовке к ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Мы с вами многие задания решаем из нее. Сейчас, я прошу обратить внимание на задание В3 варианта №26 стр.145.Это простейшее тригонометрическое уравнение. Кому из вас необходимо знать, как его решить?

А теперь обратите внимание на задание С1 вариантов 1,2,3,4,5 и т.д. Решить систему тригонометрических уравнений. Эти тригонометрические уравнения не являются простейшими, но решаются они путем приведения их к простейшему виду. Хотите научиться их решать?

Запишите число и тему урока

» Решение простейших тригонометрических уравнений»

Назвать цели урока: вывести общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Все, что мы делаем нужно!

Так давайте работать честно,

Усердно и дружно!

V. Получения новых знаний

На протяжении многих уроков мы научились

1) отмечать точки на числовой окружности;

2) определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности;

3) знаем свойства основных тригонометрических функций;

4) на предыдущем уроке мы познакомились с понятием арксинуса, арккосинуса,

арктангенса, арккотангенса и научились отмечать их на числовой окружности.

Для чего же нам понадобились эти знания ? (слайд 6)

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: , , , . Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Групповая работа Алгоритм работы в группе:

выбрать руководителя группы; ответственного за понимание и выступающего от группы;

прочитать и осмыслить задание (применяя следующие приемы, организующие понимание: перефразирование, вопросы на понимание);
наметить алгоритм решения;
выполнить задание;
подготовить выступление.

Задание 1 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание 2 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание 3 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание экспертной группе.(учитель)

Представьте общие выводы решений простейших тригонометрических уравнений.

Выступления от групп. Обсуждение итогов учебного исследования.

Учитель: Внимательно слушайте объяснение лидера группы , фиксируйте в тетради основные моменты решения тригонометрических уравнений .

1 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,5 (она лежит на прямой х. = 0,5). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида . Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида . В итоге получаем две серии решений уравнения: .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,4 (она лежит на прямой х. = 0,4). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходима новая математическая формула.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая х. = -2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Для решения уравнения необходимо ввести новую математическую формулу.

2 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой (она лежит на прямой ). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида

. Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида

. В итоге получаем две серии решений уравнения: ; .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой 0,3 (она лежит на прямой у = 0,3). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая у = 2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Решение уравнения вызвало у нас затруднение.

Мы считаем, что для решения уравнения также необходимо ввести новую математическую формулу.

3 группа . Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число . Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Точка М соответствует числу , точка Р соответствует числу — . Учитывая периодичность функции y = tgx, можно сказать, что уравнение имеет одну серию решений .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 0,4. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 2. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли . Наверно, здесь имеют место математические термины, которые мы изучили на прошлом уроке-это arctgа

Вывод: уравнение имеет одну серию решений при любом значении параметра а. Для решения уравнения необходимо ввести новую формулу.

Учитель: Ребята,с какими же уравнениями увас возникли проблемы?

Итак, для решения простейших тригонометрических уравнений, были введены новые математические термины. Какие? (arcsin , arсcos , arctg , arcсtg )

Презентация слайд 7-16

Если , то уравнение имеет решения .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

, ; , ; , .

Если , то уравнение решений не имеет.

Если , то уравнение имеет две серии решений . Эти две формулы можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом: . Замечаем, что если перед arcsin a стоит знак «плюс», то у числа множителем является четное число 2k. Если же перед arcsin a стоит знак «минус», то у числа множителем является нечетное число 2k + 1. Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения : .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

Если , то уравнение решений не имеет.

Уравнение имеет решения для любого значения а.

(Для решения уравнения выступление аналогичное).

Представим общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений в виде таблиц.(На доске)

Vl. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

1)Учащиеся, пользуясь полученными формулами, решают уравнения.

Решите уравнения: У доски 2 учащихся по очереди решают уравнения: слайд 17

2) 2sin х = 1, 2cosх = ;

cosх –1 =0, tgх – 1 = 0; ctgх = 2,5

3) Работа с учебником №136а- №139а, №140а,б (Решаем и коментируем с места)

VI.Самостоятельная работа. (Проверки первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме ) (разноуровневые задания по карточкам)

Каждый работает индивидуально, а вместе мы подготовим следующую литературную минутку нашего урока.

Кто решил показывает ответ,если он верен,выбираем по ответу слово и вывешиваем на свое место на доску

В результате на доске высказывание:

« Быть человеком, значит чувствовать свою ответственность»

Ребята, мне очень хотелось вас познакомить с этой мудрой мыслью французского писателя, который в своих произведениях сумел показать доверие людей друг к другу.Нравственная сторона его произведений-вера в возможность в понимание и единение людей.

Ребята, я просила подготовить о нем краткую информацию.

(Он написал «Маленкий принц»-сказку «Планета людей». «Южный почтовый» и др.Советую вам почитать эти романы.Его годы жизни 1900-1944г.Он летчик,погиб на войне,в разведательном полете.)

Ребята,наш урок подходит к концу,и во-первых я могу сказать вам спасибо за то,что каждый из вас чувсвовал свою ответственность.

VII. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

П.9, № 137-141 (г). Сборник Лысенко №146

Учащиеся записывают домашнее задание в дневники.

1)Чем занимались на уроке?

2)Что узнали нового на уроке?

5)Поставьте оценки в дневник

6)Экран настроения. Смайлики вывешиваем на доску

Тема урока: «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели урока:

Дидактическая: ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций
Развивающая: формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.
Воспитательная: воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная.

Формы контроля: текущий.

Оборудование: презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;
уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия:

Организационный момент
Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
- Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)
Мотивационный момент
Изучение нового материала
Первичное применение приобретенных знаний
- Работа под руководством преподавателя
- Работа в группах
Рефлексия
- Самостоятельная работа студентов
Итог занятия
Задание на дом

Структура занятия

1. Организационный момент

2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа по 2 вариантам на карточках. (Приложение)

3. Мотивационный момент

– обоснование необходимости изучения данной темы, сообщение темы
– вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия (Приложение \ Презентация, слайды № 1-2)

4. Изучение нового материала

Определение Простейшие тригонометрические уравнения – уравнения вида Sinx = a, Cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Т.к. функция у = Cosxимеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

(разбираем решение на доске).

Уравнение Sinx = a

Т.к. функция у = Sinxтакже имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

при .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

1) (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

Уравнение tgx = a (вспомнить линиюtgxна окружности!)

Т.о.

Уравнение ctgx = a

Аналогично рассматривается

(разбираем решение на доске).

5. Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)
б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах
№ 2. Решить уравнения (Приложение \ Презентация – слайд № 14)
Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (Приложение \ Презентация, слайд № 15)

6. Рефлексия

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам
Задания по вариантам – Приложение \ Презентация, слайд № 16)
Задания по карточкам – Приложение
Проверка и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

7. Итог урока

Во фронтальной беседе повторить основные моменты нового материала. Подведение итогов, выставление оценок.

8. Задание на дом:

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39), конспект

Конспект урока «Простейшие тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Методика преподавания математики и подхода к организации

учебного процесса в условиях реализации ФГОС»

ОРЛОВА ЕЛЕНА ВИТАЛЬЕВНА

МИНИ-ПРОЕКТ НА ТЕМУ

«РАЗВЁРНУТЫЙ ПЛАН УРОКА В СООТВЕТСТВИИ ФГОС»

Урок математики в 10 классе

Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения ( cos x = a , sin x = a )

Тип урока : урок открытия новых знаний.

Личностные:
— сформированность потребности в самовыражении и самореализации,
— сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

Коммуникативные:
— умение передавать информацию интонацией,
— слушать,
— интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество с одноклассниками и педагогом,
— умение грамотно выражать свои мысли,

Познавательные:
— умение строить речевое высказывание,

Регулятивные:
— предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

Формы организации работы обучающихся на уроке : индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения : частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, системные обобщения, самопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы», системно-обобщающая схема;

на партах обучающихся: памятка по решению тригонометрических уравнений, листы — консультации, учебник « Алгебра и начала математического анализа». 10 класс. Никольский С.М. и др. Базовый и углублённый уровни.

I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.

Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.). (слайд 1,2)

II. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

Цель: организация осознания ими внутренней потребности к построению учебных действий и фиксирование каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии.

Выберите и продолжите фразу: «Сегодня на уроке мы будем …»

1) решать задания, применяя понятия арксинуса, арккосинуса ;

2) упрощать тригонометрические выражения;

3) решать простейшие тригонометрические уравнения;

1. Опрос по теоретическому материалу:

а) Сформулировать определение арксинуса числа.

б) Сформулировать определение арккосинуса числа.

2. Устная работа практической направленности.
1) Вычислите:

а) arcsin

в) arcsin(- )

г) arccos(- )

д) -arcsin

3. Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет).

4. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2 которые соответствуют числам , , , , arcsin 0, arcsin ( слайд 3,4)

5. Проверить, верно ли равенство:

III. Объяснение новой темы.

Цель: учащиеся формулируют конкретную цель своих будущих учебных действий, какие знания им нужно построить и чему научиться.

Сегодня на уроке мы научимся решать с вами простейшие тригонометрические уравнения.

А.Эйнштейн говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. (слайд 5)

1 . Пусть дано простейшее уравнение cos t = a. (слайд 6)

t₁ = ar с cos a + 2 k, k Z

t ₂ = — ar с cos a + 2 m, m Z.

Эти серии можно записать так

t = ± ar с cos a + 2 n, n Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 7)

t = 2 n, n Z ;

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = + 2 n, n Z ;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 8)

t₁ = + 2k, k Z

t ₂ = — + 2m, m Z. Обе серии можно записать в одну серию

t = + n, n Z.

Задание 1. Решить уравнения: (слайд 9,10)

1) cos х = ;

2) cos х = — ;

4x = 2n, n Z

5) (слайд 11)

6) Решите уравнение ; укажите корни, принадлежащие промежутку [-; -2]. (слайд 12)

а)

б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2; —]. (слайд 13)

1) с помощью окружности

2) с помощью графика функции

Ответ: а) ; б) .

Задание 2. Найти корни уравнения: (слайд 14)

1) a) cos x =1 б ) cos x = — 1 в ) cos x = 0 г ) cos x =1,2 д ) cos x = 0,2

2) а) б) в) г)

ФИЗМИНУТКА (слайд 15)

Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру8.

Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак бесконечности ∞.
Задание 3: Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 2-3 раза.

Быстро встали,
Тихо сели,
Головами повертели,
Сладко, сладко потянулись
И друг другу улыбнулись,
Рот закрыли на замок,
Продолжается урок.

В двух кошельках лежат две монеты( т. е. внутри первого кошелька – одна монета и внутри второго кошелька – одна монета), причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

Ответ: один кошелек лежит внутри другого

Всегда ли уравнения решаются по формуле?

Ответ учащихся : существуют и частные случаи решения уравнений

2 . Пусть дано простейшее уравнение sin t = a. (слайд 16)

t₁ = ar с sin a + 2 n, n Z

t ₂ = — ar с csin a + 2 n, n Z.

Эти серии можно записать так

t = ( -1) k ar с sin a + k, k Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 17)

t = + 2 n, n Z

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = — + 2 n, n Z;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 18)

t₁ = 2k, k Z,

t₂ = + 2m, m Z.

Обе серии можно записать в одну серию

t = n, n Z ;

Задание 3. Решить уравнения: (слайд 19)

1) sin х = ;

;

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1) k + k, k Z .

2) sin х = —; (слайд 20)

;

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1) k ( — + k, k Z или x = ( -1) k+1 + k, k Z .

IV Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель: организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий по теме; организовать самопроверку учащимися своих решений; создать ситуацию успеха для каждого ребенка

Найти корни уравнения : (слайд 21)

2) а) б) в) г)