Уравнение состояния идеального газа
Уравнение состояния идеального газа показывает, что для данного количества (данной массы) идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре есть величина постоянная.
p1 | начальное давление, | Па |
---|---|---|
T1 | начальная температура, | К |
V1 | начальный объем, | метр 3 |
p2 | конечное давление, | Па |
T2 | конечная температура, | К |
V2 | конечный объем, | метр 3 |
Vпр | промежуточный объем газа при нагревании, | метр 3 |
Применив первый закон Гей-Люссака и закон Бойля-Мариотта получим следующие соотношения, после изменения давления
Перенеся в одну сторону величины с одинаковым индексом, получим уравнение состояния идеального газа
Уравнение состояния строго выполняется только для идеального газа, является хорошим приближением для реальных газов и неприменимо в случае пара.
Уравнение состояния идеального газа объединяет в себе три частных случая,
Уравнение Клапейрона-Менделеева
Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева
Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.
Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.
Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.
Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.
Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:
p V = c o n s t * T
В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.
Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.
p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.
Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.
Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:
p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:
N = m N A M , где
N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ; — это постоянная Авогадро.
Какое значение имеет универсальная газовая постоянная
Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.
Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 \) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .
Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.
Связь с другими законами состояния идеального газа
С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.
Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.
Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.
В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:
- изотермический процесс (T=const);
- изохорный процесс (V=const);
- изобарный процесс (p=const).
Изотермический процесс (T=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.
Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:
Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.
Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).
Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.
Рис.1. Изотерма в pV — координатах.
Изохорный процесс (V=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.
Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:
p 1 p 2 = T 1 T 2
Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.
Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда
p = p 0 T T 0 = p 0 γ T
Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).
Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.
Изобарный процесс (p=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.
V 1 V 2 = T 1 T 2
Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:
V = V 0 T T 0 = V 0 α T
Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.
Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.
Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.
Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).
Рис. 3. Изобара в VT-координатах.
Использование универсального уравнения для решения задачи
В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.
Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.
Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:
p V = n R T = m M R T
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K
Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:
M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 — 3 к г / м о л ь
Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:
p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 — 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а
Ответ: p = 78 кПа.
Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:
p = n R T V = m R T M V
Молярная масса кислорода предполагается равной:
M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K
Переводим давление: p = 15680000 Па
Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:
V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 — 3 = 3 . 1 * 10 — 2 м 3 = 31 л .
Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:
p = n R T V = m R T M V
Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:
ρ = m V и л и V = m ρ
Тогда p m ρ = n R T = m R T M
Откуда выражаем плотность газа:
Для водорода эта формула запишется следующим образом:
ρ H 2 = p M H 2 R T
По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:
ρ H 2 M H 2 = p R T
Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:
ρ = M * ρ H 2 M H 2
Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.
ρ = M r * ρ H 2 2
Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .
Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.
При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?
По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.
p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.
Откуда можем найти начальный объем:
p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V
V 1 ( p 1 — p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V
p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 — 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V
V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л
Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.
Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.
При изохорном процессе:
p 1 T 1 = p 2 T 2
T 2 = p 2 T 1 p 1
p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K
При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?
Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.
V 1 V 2 = T 1 T 2
V_2 – искомый объем
Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:
T 1 = 273 + 27 = 300 K
T 2 = 273 + 57 = 330 K
T 2 V 1 T 1 = V 2
V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л
Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.
Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:
V 1 V 2 = T 1 T 2
Перейдем к абсолютной температуре:
T 1 = 1150 + 273 = 1423 K
T 2 = 200 + 273 = 473 K
Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2
Использование этих формул приводит к следующему:
Блог об энергетике
энергетика простыми словами
Основные термодинамические процессы
Основными процессами в термодинамике являются:
- изохорный, протекающий при постоянном объеме;
- изобарный, протекающий при постоянном давлении;
- изотермический, происходящий при постоянной температуре;
- адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
- политропный, удовлетворяющий уравнению pv n = const.
Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.
При исследовании термодинамических процессов определяют:
- уравнение процесса в p—v иT—s координатах;
- связь между параметрами состояния газа;
- изменение внутренней энергии;
- величину внешней работы;
- количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.
Изохорный процесс
При изохорном процессе выполняется условие v = const.
Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:
т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при cv = const определяется по формуле:
Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:
Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:
Изобарный процесс
Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:
т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.
Работа будет равна:
Количество теплоты при cp = const определяется по формуле:
Изменение энтропии будет равно:
Изотермический процесс
При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:
т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.
Работа процесса будет равна:
Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:
При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.
Изменение энтропии равно:
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:
В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.
Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через cад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:
Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (cад = 0).
и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:
В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).
kвыхлопных газов ДВС = 1,33
Из предыдущих формул следует:
Техническая работа адиабатного процесса (lтехн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i1 – i2).
Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.
Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.
Политропный процесс
Политропным называется процесс, который описывается уравнением:
Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.
Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:
Работа расширения газа в политропном процессе равна:
В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:
Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:
представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.
При cv, k и n = const cn = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.
Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.
Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.
pv 0 = const (n = 0) – изобара;
pv = const (n = 1) – изотерма;
p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;
n > 0 – гиперболические кривые,
n По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.
http://wika.tutoronline.ru/fizika/class/10/uravnenie-klapejronamendeleeva
http://energoworld.ru/theory/osnovnyie-termodinamicheskie-protsessyi/