Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах, Васильева А.Б., Медведев Г.Н., 2003
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах, Васильева А.Б., Медведев Г.Н., 2003.
Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы.
Для студентов ВУЗов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».
Книга написана на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий на физическом факультете МГУ; предназначена как для студентов, так и для молодых преподавателей, начинающих вести семинары. Она охватывает основной материал курсов дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и вариационного исчисления. Книга является не только сборником задач и упражнений. Ее назначение — помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого параграфа разбит на три пункта.
В разделе «Основные понятия и теоремы» приводятся основные теоретические сведения и формулы (без доказательств, но с необходимыми и часто развернутыми пояснениями). Формулировки определений и теорем в большинстве случаев соответствуют книгам [18, 3, 22].
В разделе «Примеры решения задач» разобраны типичные примеры, демонстрирующие на практике применение результатов теории. Во многих примерах решения задач авторы стремились дать физическую интерпретацию и физические приложения математических понятий. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
§ 2. Элементарные методы интегрирования
§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
§ 4. Зависимость решения от параметров
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений
§ 1. Дифференциальные уравнения высших порядков
§ 2. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения
§ 1. Линейные однородные уравнения
§ 2. Линейные неоднородные уравнения
§ 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 5. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 6. Операционный метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа
§ 7. Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений
Глава 4. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Линейные однородные системы
§ 2. Линейные неоднородные системы
§ 3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
§ 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
Глава 5. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка
§ 1. Неоднородная краевая задача
§ 2. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля)
Глава 6. Теория устойчивости
§ 1. Устойчивость по Ляпунову
§ 2. Методы исследования на устойчивость
§ 3. Фазовая плоскость
Глава 7. Асимптотические методы
§ 1. Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимому переменному
§ 2. Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения
§ 3. Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения
Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка
§ 1. Линейные уравнения
§ 2. Квазилинейные уравнения
§ 3. Разрывные решения
Глава 9. Вариационное исчисление
§ 1. Понятие функционала
§ 2. Вариация функционала
§ 3. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума.
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
§ 6. Достаточные условия экстремума функционала
§ 7. Задача с подвижными границами
§ 8. Условный экстремум
Глава 10. Интегральные уравнения
§ 1. Однородное уравнение Фредгольма II рода
§ 2. Неоднородное уравнение Фредгольма II рода
§ 3. Интегральные уравнения Вольтерра II рода
§ 4. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов
Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям
Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.
Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.
В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям
Как решить дифференциальное уравнение онлайн?
Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?
У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.
Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.
Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.
Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.
Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!
Общий интеграл, семейство кривых
Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$
Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$
Решения дифференциальных уравнений 1 порядка
Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$
Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$
Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$
Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$
Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$
Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$
Решение задачи Коши для ДУ
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.
Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.
Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$
Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$
Решения дифференциальных уравнений 2 порядка
Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$
Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$
Cоставление дифференциальных уравнений
Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?
Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
Решения нелинейных дифференциальных уравнений
Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2
Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=madiff