Вектор скорости и уравнение касательной нормальной плоскости

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec=\vec(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec(t_0)\neq\vec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec(t_0)$.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec$).

Если $\vec=\$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec-\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin \left| \begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \\ \end \right|=0 \end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec(t_0)\times\vec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec(t_0) \times\left[\vec(t_0),\vec(t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$: \begin \left(\vec-\vec(t_0),\, \vec(t_0),\, \vec(t_0)\times\vec(t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec(t_0)><|\vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec<\beta>=\frac<\vec(t_0)\times\vec(t_0)><|\vec(t_0)\times\vec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec<\nu>=\frac<\vec(t_0) \times[\vec(t_0),\,\vec(t_0)]><|\vec(t_0) \times [\vec(t_0),\,\vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin \left| \begin X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end \right|=0 \end Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin -2X-Y+2Z-2=0 \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac<2>,\,\, z=\frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin \left| \begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end \right|= 0 \end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_<01>=2,\, t_<02>=-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

(62′)

(62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin 2 t, y=21,2 cos 2 t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υ_x = 21,2 sin 2t, υ_y = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

(69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

(69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

(69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

(70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
(71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ₀= 1 м/сек и с ускорением a_T =2 м/сек 2 . Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

(72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin 2 t, у= 212 cos 2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y, υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно rπ 2 .

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
(73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

(74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

(74 / )

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

(75)

(75 / )

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

(76)

(76 / )

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc 2 sin ct, a_y = rc 2 cos ct

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ:

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t 2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt 2 .

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Ответ. а = 3,75 м/сек 2 , s = 200 м.

• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Момент количества движения
• Приведение системы сил к данной точке
• Система сил на плоскости
• Естественный и векторный способы определения движения точки
• Координатный способ определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Вектор скорости и уравнение касательной нормальной плоскости

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec =\vec (t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec (t_0)\neq\vec $, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec (t_0)$.

Пусть $\vec $ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec $).

Если $\vec =\ $, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec $ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec -\vec (t_0)$ и $\vec (t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec (t_0)$, $\vec (t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec $ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec -\vec (t_0)$, $\vec (t_0)$, $\vec (t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec (t_0)\times\vec (t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec $ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec (t_0) \times\left[\vec (t_0),\vec (t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec -\vec (t_0)$, $\vec (t_0)$, $\vec (t_0)\times\vec (t_0)$: \begin \left(\vec -\vec (t_0),\, \vec (t_0),\, \vec (t_0)\times\vec (t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec =\frac (t_0)> (t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec =\frac (t_0)\times\vec (t_0)> (t_0)\times\vec (t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec =\frac (t_0) \times[\vec (t_0),\,\vec (t_0)]> (t_0) \times [\vec (t_0),\,\vec (t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec $, $\vec $, $\vec $ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec $, $\vec $, $\vec $ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec \times\vec $ направлен так, что тройка векторов $\vec $, $\vec $, $\vec =\vec \times\vec $

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec $, $\vec $, $\vec >$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac ,\,\, z=\frac , $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec (t_0)$, $\vec (t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec (t_0)$ и $\vec (t_0)\times\vec (t_0)$.

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_ =2,\, t_ =-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

(62′)

(62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin 2 t, y=21,2 cos 2 t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υ_x = 21,2 sin 2t, υ_y = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

(69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

(69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

(69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

(70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
(71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ₀= 1 м/сек и с ускорением a_T =2 м/сек 2 . Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

(72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin 2 t, у= 212 cos 2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y, υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно rπ 2 .

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
(73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

(74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

(74 / )

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

(75)

(75 / )

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

(76)

(76 / )

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc 2 sin ct, a_y = rc 2 cos ct

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ:

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t 2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt 2 .

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Ответ. а = 3,75 м/сек 2 , s = 200 м.

• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Момент количества движения
• Приведение системы сил к данной точке
• Система сил на плоскости
• Естественный и векторный способы определения движения точки
• Координатный способ определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021