Векторная форма уравнения равнопеременного движения

Кинематические уравнения равнопеременного движения.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘ = «

Учитывая, что ₀ – скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), – скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t – промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, формула ускорения будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

= ₀ + t

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратовпоможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, тоуравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 7510 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант. — 1973. — № 11. — С. 57-60.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант».

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:

где — перемещение, — скорость движения, t — время.

Движение материальной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в данной задаче принимается за неподвижное и называется телом отсчета. С ним связывается система координат; вместе с телом отсчета они образуют систему отсчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например ОХ. Тогда положение точки будет определяться его координатой х. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:

где x₀ — координата точки в момент времени t = 0.

Правильный выбор системы отсчета часто существенно облегчает решение задачи. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью υ₁ = 72 км/ч, видит встречный поезд, идущий со скоростью υ₂ = 31,4 км/ч, в течение 10 секунд. Определить длину встречного поезда.

За тело отсчета примем пассажира, а ось координат направим по направлению скорости встречного поезда. Величины скоростей υ₁ и υ₂ заданы относительно некоторой неподвижной системы отсчета, например земли. По отношению же к пассажиру, движущемуся со скоростью υ₁, встречный поезд имеет так называемую относительную скорость υ_2отн, которая равна

или в скалярной форме

Тогда искомая длина встречного поезда l равна

Задача 2. Рыбак плывет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он это обнаружил и, повернув назад, догнал шляпу в 5 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак, двигаясь вверх и вниз по реке, греб одинаково?

Свяжем систему отсчета с водой в реке, то есть со шляпой. Рыбак удаляется от шляпы и приближается к ней с одной и той же скоростью, следовательно, он догонит ее через полчаса после того, как обнаружил потерю, или через час после падения шляпы в воду. За это время шляпа относительно земли проплыла 5 км. Значит, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Равнопеременное прямолинейное движение

Если скорость материальной точки не постоянна, но в любые равные промежутки времени она изменяется на одну и ту же величину, то в этом случае говорят о равнопеременном движении. Движение называют равноускоренным, если скорость увеличивается, и равнозамедленным, если скорость уменьшается.

Для решения задач на эту тему достаточно знать уравнения для скорости и перемещения. В скалярной форме они записываются так:

Здесь υ₀ — начальная скорость точки, х₀ — начальная координата, а — ускорение, υ и х — соответственно скорость и координата точки в момент времени t. Величины υ₀, a, υ и х будем считать положительными, когда их направление совпадает с положительным направлением выбранной оси координат ОХ, отрицательными — в противном случае.

Начинать решение задачи полезно с краткой записи ее условия, по возможности полностью переводя задачу на язык условных обозначений. При этом надо следить за тем, чтобы единицы измерения всех величин были даны в одной и той же системе единиц. Все расчеты лучше проводить в общем виде, то есть в буквенных обозначениях, а численные значения подставлять в окончательный результат.

Решим следующие задачи.

Задача 3. Два велосипедиста едут друг другу навстречу: один из них, имея скорость 5,4 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,2 м/с 2 ; другой, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору с ускорением — 20 см/с 2 . Через сколько времени они встретятся?

Пусть начало координат совпадает с начальным положением первого велосипедиста, а положительное направление оси координат — с направлением его начальной скорости. Тогда краткая запись условия задачи будет выглядеть так:

υ₀₁ = 5,4 км/ч = 1,5 м/с

Запишем уравнения движения для каждого велосипедиста:

(1)

(2)

причем а₁ = а₂ по условию. В момент встречи

(3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), получим

На этом можно было бы закончить решение, но в данном случае следует убедиться в том, что полученный ответ имеет физический смысл. Для этого найдем скорость второго велосипедиста через 30 с после начала движения:

= –5 м/с + 0,2 м/с 2 • 30 с = 1 м/с.

Оказывается, что второй велосипедист к этому времени будет скатываться с горы, а не подниматься в гору. Очевидно, что данная задача составлена некорректно.

Задача 4. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением 2,45 м/с 2 . Через 8 секунд от начала движения из его гондолы выпадает предмет. Через сколько времени и с какой скоростью этот предмет упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Так как сначала предмет движется вместе с аэростатом, то через t₁ = 8 с он поднимется на некоторую высоту h₁ и будет иметь скорость υ₁ причем

и

Дальнейшее движение предмета можно описать по-разному.

Часто задачи такого типа решаются в два этапа. Сначала рассматривается замедленное движение предмета вверх до наибольшей высоты, затем — свободное падение на землю. Задача, однако, решается проще, если считать, что предмет одновременно участвует в двух независимых друг от друга движениях: он равномерно со скоростью υ₁ поднимается вверх и свободно падает. Свяжем систему отсчета с землей, а ось координат направим вверх. Тогда уравнение движения предмета с высоты h₁ до земли запишется так:

(t₂ — время движения предмета). Подставляя в это уравнение выражения для h₁ и υ₁, получим

Задача 5. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Когда оно достигло высшей точки подъема на высоте Н = 100 м от земли, из того же начального пункта и с той же начальной скоростью брошено второе тело. На какой высоте они встретятся? Какие они будут иметь скорости в момент встречи? С какой начальной скоростью были брошены тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рассмотрим сначала некоторые особенности движения тела, брошенного вертикально вверх. Это сложное движение является суммой двух простых — равномерного движения и свободного падения. Причем каждое движение происходит независимо от другого и от того, поднимается или опускается тело. Поэтому можно сказать, что время прохождения телом одного и того же участка пути вверх и вниз одно и то же и что скорости тела на некоторой высоте при движении вверх или вниз одинаковы по величине.

Покажем, например, что время подъема тела до максимальной высоты равно времени падения до начального положения и что конечная скорость по величине равна начальной скорости. Пусть начальная скорость тела равна υ₀. Запишем уравнения для скорости и координаты (начало координат свяжем с точкой бросания и ось координат направим вверх):

В точке максимального подъема υ = 0, поэтому

Теперь тело начинает свободно падать. Обозначим время падения t’, а конечную скорость υ’ и запишем уравнения для свободного падения

Теперь вернемся к нашей конкретной задаче. Согласно сказанному выше, время подъема второго тела до высоты h (рис. 1), равное времени падения первого тела с высоты H — h, составляет половину времени свободного падения первого тела с высоты Н до земли, то есть

Скорости тел в момент встречи одинаковы по величине и равны

Начальная скорость .

В заключение рассмотрим задачу на построение графиков.

Задача 6. Дан график зависимости скорости движения тела от времени (рис. 2, а). Построить графики ускорения, перемещения и пути.

Прежде всего, посмотрим, как движется тело в различные моменты времени. Из графика скорости видно, что на первом этапе (от 0 до t₁) тело движется равноускоренно; на втором (от t₁ до t₂) — равнозамедленно; на третьем (от t₂ до t₃) — равноускоренно, но в обратном направлении; на четвертом (от t₃ до t₄) — равнозамедленно; на пятом (от t₄ до t₅) — равноускоренно в первоначальном направлении и т. д. Графики зависимости ускорения, перемещения и пути от времени показаны на рисунках 2, б, в и г соответственно.

1. По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский — длиной 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длиной 400 м со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пассажирский поезд будет обгонять товарный?

2. Замыкающий колонны войск, растянувшейся на 2,5 км и идущей со скоростью 5 км/ч, послал мотоциклиста с извещением командиру, находящемуся во главе колонны. Командир принимал извещение и писал ответ, стоя на обочине дороги, в. течение трех минут. Определить среднюю скорость мотоциклиста, если он вернулся к замыкающему через 9 мин 27 с.

3. Два велосипедиста едут навстречу друг другу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,30 м/с 2 ; другой, имея скорость 36 км/ч, поднимается с ускорением —0,20 м/с 2 . Каково было расстояние между велосипедистами в начальный момент, если они встретились через 0,5 минуты? При какой наибольшей длине горы задача имеет решение?

4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд после начала падения первого тела удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Вертолет поднимается вверх со скоростью 10 м/с. На высоте 100 м из него выбрасывается вверх предмет со скоростью 2 м/с относительно вертолета. Найти наибольшую высоту, которой достигнет предмет, а также через сколько времени и с какой скоростью предмет упадет на землю.

6. Тело бросают вверх со скоростью 20 м/с. Какова высота точки, которую тело проходит дважды с промежутком 3 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Дан график зависимости ускорения от времени (рис. 3). Построить график зависимости величины перемещения от скорости.

Равнопеременное движение — Кинематика — МЕХАНИКА

1.1. Кинематика

1.1.13. Равнопеременное движение

Равнопеременное движение точки — это движение с постоянным ускорением.

Под словом равнопеременное понимают:

1) равноускоренное движение — если модуль скорости увеличивается, т. е. ускорение параллельно скорости:

2) равнозамедленное движение — когда модуль скорости уменьшается, т. е. ускорение антипараллельно скорости:

Ускорение и скорость при равнопеременном движении

Поскольку ускорение равнопеременного движения постоянно, оно равно изменению скорости за любой конечный интервал времени:

Если спроектировать ускорение и скорость на направление движения, это уравнение будет выглядеть так:

где v0 — скорость в начальный момент времени, принятый за нуль; v — текущее значение скорости (в момент времени t). Формула для определения ускорения из состояния покоя (равноускоренное движение, начальная скорость равна нулю: v0 = 0) имеет вид:

Если же нулю равна не начальная, а конечная скорость (v = 0, торможение при равнозамедленном движении), то формула ускорения принимает вид:

Из формулы (1.6) находим выражение для скорости:

Графики скорости при равноускоренном движении имеют вид прямых линий, наклон которых показывает, как быстро меняется скорость с течением времени. На рис. 1.14 приведены графики для модуля скорости с ненулевой начальной скоростью для равноускоренного (II) и равнозамедленного (I) движений.

Уравнение движения точки с постоянным ускорением

Путь при прямолинейном равнопеременном движении определяют через выражение для средней скорости, которая равна полусумме начальной и конечной скоростей. После соответствующих преобразований получим:

Путь при прямолинейном равноускоренном движении совпадает с проекцией вектора перемещения на направление движения, поэтому координаты тела определяются по формуле:

В формуле (1.7) начало координат не совпадает с началом пути (х0 ≠ 0). В векторной форме:

График зависимости координаты от времени прямолинейного равноускоренного движения представлен на рис 1.15.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.