Векторная запись уравнение дифференциальное уравнение

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Определение. Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина то говорят, что там задано векторное поле а. Задание векторного поля равносильно заданию ipex скалярных функций от трех переменных , Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7). В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями’, в поле скоростей дви-женияжидкости векторные линии называются линиями тока. Рис. 7 3.1.

Дифференциальные уравнения векторных линий Пусть векторное поле определяется вектор-функцией ) — непрерывные функции переменных x, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть — есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор и вектор касательной к этой кривой должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме. Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): . Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры с, и Сг, мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля 4 Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, или Интегрируя эту систему, получим два уравнения — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у — С\х с параболическими цилиндрами дает двух параметрическое семейство векторных линий поля (рис.8). Олредрм*т . Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указан ной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах.

Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z: Дифференциальные уравнения векторныхл иний плоского поля можно записать в следующем виде Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода. ^ Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т.е. вектор тока Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле — радиус-вектор точхи М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим Дифференциальные уравнения векторных линий: Отсюда х = const, = или . Окончательно имеем т.е. векторные линии являются офужносгями с центрами на оси О г (рис.9). Пример 3.

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной то*«ой массы ш, расположенной в начале координат. Дифференциальные уравнения векторных линий: стсуда, умножая каждую из дробей на , получим Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине у. Имеем Это — полупрямые, выходящие из начала координат. Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку ), через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины.

Пусть, например, точка А/о имеет координаты . Уравнение векторной линии, проходящей через точку, можно записать так: . Сама точка Л/о получается при значении параметра § 4. Поток вектора через поверхность и его свойства Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Потоком жидкости через поверхность Е называется количество жидкости, протекающее через поверхность Е за единицу времени.

если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность £ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени кажд ая частица перемещается на величину v (рис. 10), где S — площадь основания, — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Е равен Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Е — гладкая, то можно разбить поверхность Е на столь малые части , чтобы каждую часть Е* можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Так как поток жидкости через поверхность Е равен сумме потоков жидкости через все ее части Е*, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности где п — общее число частей Efc, на которые разбита поверхность Е, Рк — точка, лежащая на fc-ой части, Аак — площадь части Е* поверхности, означает скалярное произведение векторов в точке *(рис. 11).

Назовем потоком жидкости через поверхность Е предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из . диаметров площадок Е*, где d — наибольший из диаметров частей . Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Е. Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Е вводится по аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность. Определение.

Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен где ч — величина заряда (массы), г ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через Sn — сферу радиуса R с центром в начале координат. Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора г, и поэтому На сфере 5д радиуса R имеем . Поэтому поток вектора чероз Sn равен 4.1. Свойства потока вектора через поверхность 1. Линейность. где А и ц — постоянные числа. 2. Аддитивность. Если поверхность Е разбита кусочно-гладкой кривой на две части , то поток через поверхность Е равен сумме потоков через поверхности Ei и Е2, Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Е.

Понятие ориентации поверхности Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край поверхности, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12). Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так.

Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному. Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т. п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса). 3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей.

Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то Рис. 13 в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрьтела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через ту сторону поверхности £, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Е

— сторону поверхности Е, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим (7) где . Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Е) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Ог. Поверхность состоит из трех частей: боковой поверхности £j, верхнего основания £2 и нижнего основания £3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен — потоки данного поля через и соответственно. На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п? параллелен плоскости хОу, и поэтому (см. рис. 14).

Следовательно, Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности На верхнем основании £2 вектор нормали параллелен оси Oz, и поэтому можно положить п§ = к-Тогда имеем так что На нижнем основании вектор г перпендикулярен к вектору нормали п» = -к. Поэтому Здесь символ означает двойной интеграл по замкнутой поверхности,

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x₀,y₀) из области определения D функции f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что j¢(х₀)=(х₀,у₀). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х₀,у₀) равен (прих=х₀) числу f(х_0,у₀).

Построим теперь для каждой точки (х₀,у₀) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х₀,у₀). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х₀,у₀), а на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х₁(t),x₂(t), удовлетворяющих начальным условиям х₁(t₀)= х₁ 0 , x₂(t₀)= x₂ 0 , где t_0, х₁ 0 , x₂ 0 – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢_y, то существует такая окрестность точки (х₀,у₀), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y), удовлетворяющих начальному условию у(х₀)=у₀ , называется задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.

Представим набор решений как вектор х= (x₁,x₂,…,x_n) в проистранстве R n .

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),…,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

Формы записи дифференциальных уравнений

Стационарные линейные непрерывные САУ наиболее часто описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

. (2.9)

В этом уравнении — выходная переменная (управляемая (регулируемая) величина) САУ, — входная переменная САУ. Правая часть уравнения (3.1) записана относительно управляющего воздействия , однако используются формы записи уравнения относительно задающего воздействия , возмущения или нескольких входных воздействий.

Применяется также операторная форма записи уравнения (2.9):

. (2.10)

В этом уравнении через « » обозначен оператор дифференцирования .

Заметим, что по сложившейся традиции символ « » используется также в преобразованиях Лапласа и Карсона-Хевисайда, но является комплексным числом .

За многолетнюю историю развития ТАУ сложились традиции формальной записи линейных дифференциальных уравнений, описывающих стационарные САУ. В учебной литературе по ТАУ они рассматриваются как стандартные формы записи дифференциальных уравнений. Рассмотрим эти формы записи на примере линейной системы второго порядка:

(2.11)

или в операторной форме

. (2.12)

Первая стандартная символическая форма записи уравнения (2.11) имеет следующий вид:

, (2.13)

где ; ; ; .

Форма (2.13) представляет собой операторно-структурное описание системы, т.е. в виде операторов звеньев, составляющих структурную схему системы (далее эти понятия разъясняются), и связей между ними. В этой форме — постоянные времени звена, измеряемые в секундах; — передаточный коэффициент звена.

Из изложенного выше следует, что уравнение (2.9) в этой форме перепишется в следующем виде:

, (2.14)

где ; ; .

Во второй стандартной форме записи дифференциального уравнения используется передаточная функция системы, которая для рассматриваемого примера (2.11) имеет вид

.

Передаточная функция САУ, поведение которой во времени описывается уравнением (2.9), имеет следующий вид :

.

В формуле (2.15) через и обозначены изображения (по Лапласу) выходной и входной переменных САУ при нулевых начальных условиях и равенстве нулю внешних возмущений, а через и — полиномы относительно комплексной переменной .

Вторая стандартная форма записи дифференциального уравнения имеет следующий вид:

или . (2.16)

В (2.16) и являются полиномами (символическими) относительно оператора .

Из сравнения первой и второй стандартных форм записи дифференциальных уравнений следует, что с математической точки зрения различие между этими формами весьма несущественно и состоит лишь в различном представлении коэффициентов уравнений. В ТАУ принято называть уравнения вида (2.9) — (2.14), (2.16) уравнениями типа «вход-выход».

Третья стандартная форма записи дифференциального уравнения принципиально отличается от форм записи, описанных выше. В этой форме записи используются переменные состояния. Отметим, что понятие «состояние» является базовым в современной ТАУ (СТАУ). Переменные состояния — это промежуточные переменные системы (рис.2.2), число которых равно ее порядку . В общем случае входные и выходные переменные могут быть векторными величинами размерности и соответственно.

Координаты состояния х1, х2 , . ,хn u y Рис.2.2 — Состояние системы

Переменные состояния называют также координатами состояния, так как их совокупность задает вектор состояния .

Множество возможных положений этого вектора образует векторное пространство , называемое пространством состояний системы. В переменных состояния САУ описывается векторно-матричным уравнением

, (2.17)

где — квадратная матрица коэффициентов (ее называют также собственной параметрической матрицей системы); — входная матрица (матрица управления) системы; — выходная матрица системы;

— вектор переменных состояния — внутренних координат системы;

— вектор входных переменных (управляющих и возмущающих);

— вектор наблюдаемых или выходных переменных; размерности матриц , , , соответственно, ( ), ( ), ( ).

Процессы в САУ в свободном движении (без внешних воздействий) согласно уравнению (2.17) описываются векторно-матричным уравнением с характеристическим уравнением , где — единичная матрица, или в развернутом виде системой дифференциальных уравнений

с характеристическим уравнением

. (2.18)

Эти уравнения при определенных начальных условиях дают возможность изучить процессы в системе путем их решения численными методами с использованием ЭВМ.

Разработаны различные способы перехода от уравнений типа «вход-выход» к уравнениям состояния вида (2.17) и наоборот. Один из наиболее распространенных способов состоит в следующем. Пусть САУ описывается уравнением (2.9). Введем обозначения

, , . , ,

.

С помощью этих обозначений преобразуем уравнение (3.1) к следующему виду:

, (2.19)

где ; ;

; .

В нашем примере и являются скалярными величинами. В общем случае (2.17) — это, соответственно, вектор наблюдаемых или выходных переменных и вектор входных переменных (управляющих и возмущающих), поэтому в (2.19) матрицы и выродились в вектор-столбец и вектор-строку соответственно.

Система уравнений (2.19) представляет собой описание линейной непрерывной системы в пространстве состояний . Уравнения (2.19) с матрицей называют уравнениями в форме Фробениуса.

Если , то

; .

Форма уравнений (2.19) с подобными матрицами и называется в ТАУ канонической формой фазовой переменной.

Задание 1

1.1. По дифференциальному уравнению системы:

Для каждого типового звена 1 – 12 (таблицы 2.1) в соответствии с его параметрами вывести дифференциальное уравнение, операторное уравнение, и выражение передаточной функции.

1.2Математическое описание типового звена системы автоматического регулирования записать в трех формах записи дифференциальных уравнений.

Первая стандартная символическая форма операторно-структурное описание системы, т.е. в виде операторов звеньев.

Во второй стандартной форме записи дифференциального уравнения используется передаточная функция системы.

Третья стандартная форма записи дифференциального уравнения — переменные состояния.

Таблица 2.1 – Исходные коэффициенты

Задание 2

2.1Для каждого звена (таблицы 2.2) по его передаточной функции записать дифференциальное уравнение.

2.2 Математическое описание типового звена системы автоматического регулирования записать в трех формах записи дифференциальных уравнений.

Вар	Передаточная функция	Значения параметров передаточной функции
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; а3 =0,9; а4=0,5;в0=1;в1=3; в2=0,8;в3=0,3
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; а3 =0,9; в0=1;в1=3; в2=0,8
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; в0=1; в1=3;
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; а3 =0,9; а4=0,5; в0=10
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; а3 =0,9; в0=10
	а0=1; а1=5; а2 =1,2; а3=0,9;а4=0,5;в0=1;в1=3; в2=0,8;в3=0,3
	Т0=2; Т1=4; Т2=1,1;Т3=0,9
	Т0=2; Т1=4; Т2=1,1;Т3=1,1;Т4=,9
	К= 10;Т1=4; Т2=1,1;Т3=0,9
	К= 10; Т2=1,1;Т3=0,9 Т4=0,9
	Т0=0,7; Т1=3;Т2=1,2;Т3=0,9;Т4=0,8;Т5=0,5
	К=10 Т0=0,7; Т1=3;Т2=1,2;Т3=0,9;Т4=0,8;Т5=0,5;

Задание №3

3.1 Для заданной схемы необходимо составить операторное уравнение для каждого элемента схемы САУ.

3.2. Определить входные и выходные величины каждого элемента, и определить передаточные функции отдельных элементов функциональной схемы.
Формы записи дифференциальных уравнений.

3.3Сформировать математическое описание систем автоматического регулирования в виде структурной схемы в буквенном и числовом обозначениях.

3.4 Сформировать математическое описание систем автоматического регулирования в виде третьей стандартной формы записи дифференциального уравнения — В переменных состояния САУ описываемых векторно-матричным уравнением.

Схема, показанная на рисунке 2.2, представляет собой САР температуры в помещении. Объектом регулирования (ОР) в дан­ной системе является помещение, для которого регулируемая ве­личина — температура внутри помещения Ө, регулирующее (уп­равляющее) воздействие — температура воздуха Ө_К, поступающего из калорифера, возмущающее воздействие — изменения внешних факторов f(в общем случае изменение температуры атмосферного воздуха, его влажности, скорости ветра). При исследовании сис­темы в качестве основного возмущения следует рассматривать из­менение температуры окружающего воздуха.

Воспринимающим органом — ВО (датчиком, чувствительным элементом) в данной САР является терморезистор R_Д, включен­ный в мостовую схему, обеспечивающую с помощью резистора R_Озадание необходимого значения температуры в помещении и выполняющую также функции сравнивающего органа — СО (эле­мента сравнения). Усиление сигнала разбалансаΔU(сигнала рас­согласования) измерительной мостовой схемы обеспечивается посредством усилителя. Усиленный сигнал Uобеспечивает вра­щение двухфазного исполнительного двигателя, который изменя­ет перемещение клапана (заслонки) на трубопроводе подачи парав калорифер, чем достигается изменение температуры воздуха на входе калорифера — регулирующего воздействия на объектерегулирования.

1 — помещение; 2 — теплообменник (калорифер), 3 — измерительная мостовая схема; 4 — двухфазный ис­полнительный двигатель, 5 — дифференциальный магнитный усилитель; 6 — клапан (заслонка)

Рис. 2.2. Схема САР температуры

Динамические свойства объекта регулирования и элементов системы описываются следующими уравнениями:

где То, Т2, Т3, Т4 — постоянные времени, с; Ө — значение температуры воздуха в помещении, °С, Ө к — значение температуры воздуха на выходе калорифера, °С; к, к₁, к₂, к₃, к₄— коэффициенты передачи; f— возмущающее воздействие на объекте регулирования; Uд —падение напряжения на термодатчике, В; ΔU— напряжение на выходе мостовой схемы (сигнал рассогласования), В; μ. — линейное перемещение клапана, см; U₀ — задающий сигнал, В.

Значения параметров элементов САР по вариантам даны в таб­лице 2.3.

Заданное значение температуры в помещении Ө = 20 °С.

Значения параметров элементов САР

Примечание. Для всех вариантов постоянные времени Т3 = 20 с, Т4=0,5 с.

Схема САР, приведенная на рисунке 2.3, обеспечивает стаби­лизацию угловой скорости электродвигателя постоянного тока который совместно с рабочим механизмом является объектом ре­гулирования. Регулируемая величина объекта — угловая скорость двигателя ω, регулирующее воздействие — напряжение Uг,пода­ваемое от генератора на якорь двигателя. Возмущающее воздейст­вие на объекте регулирования — момент сопротивления М_с, соз­даваемый рабочим механизмом. Угловая скорость двигателя ωконтролируется тахогенератором, сигнал которого Uтг, пропор­циональный скорости, сравнивается с задающим сигналом U₃. Сигнал рассогласования ΔU = U₃— U_Tг усиливается магнитным усилителем и воздействует на обмотку возбуждения генератора, выполняющего функции исполнительного органа (элемента).

Динамические свойства объекта регулирования и элементов САР описываются следующими уравнениями:

гдеТ_д, Ту, T_v — постоянные времени, с; К_д, К_м, К_тг, К_у, К_г — коэффициенты передачи соответствующих элементов систем

1 — задающий потенциометр; 2 — магнитный усилитель; 3 — генератор; 4 — двигатель; 5 — тахогенератор; 6 — рабочий механизм

Рис. 2.3. Схема САР угловой скорости электродвигателя

Значения параметров элементов САР

Значения параметров объекта регулирования и элементов сис­темы для различных вариантов указаны в таблице 2.4. Заданное значение угловой скорости ω = 40 рад/с.

На рисунке 2.4 изображена схема САР давления Р в ресивере (воз­духосборнике) 1, который является в данной системе объектом регу­лирования. Давление в ресивере регулируется посредством изменения количества воздуха Q, зависящего от положения заслонки 2, т.е. от ее линейного перемещения Х₃, которое можно рассматривать как регу­лирующее воздействие на входе объекта регулирования. Внешним возмущением, вызывающим отклонение регулируемой величины — давления Р, является изменение расхода сжатого воздуха Q_c.

Рис 2.4 Схема САР давления Р в ресивере

Давление в данной системе контролируется с помощью сильфонного датчика 3, выход­ная величина которого — пере­мещение Х_с сильфона 5 одно­значно зависит от разности сил ΔF= F₀— F_p, где F_p— сила, соз­даваемая давлением Р, F₀— си­ла натяжения пружины 6, кото­рое можно изменять винтом 7.

Перемещение сильфона Х_сс помощью потенциометрического преобразователя 4 преобразуется в электрический сигнал — напряжение U, которое усиливается электронным усилителем 8. Выходной сигнал усилителя U_yуправляет электромагнитным при­водом 9, связанным с заслонкой 2,

В данной САР сильфонный датчик выполняет функции вос­принимающего, задающего и сравнивающего органов. Как вос­принимающий орган он контролирует давление Р, преобразуя его в силу Fp. Задание требуемого давления в ресивере обеспечивается посредством силы F0. Как сравнивающий орган сильфон обеспе­чивает сравнение величин F0 и Fp, в результате чего, как отмеча­лось ранее, получается ΔF= F0 — Fp — сигнал рассогласования.

Динамические свойства объекта регулирования и элементов САР описываются следующей системой уравнений:

Физическая сущность переменных, входящих в уравнения, от­ражена выше в описании схемы САР. Параметры T0, T1, T2, T3 и К0, Кq, Кв, Кc, Кп, Ку, К₃ — соответственно постоянные времени и ко­эффициенты передачи. Их размерности и значения по вариантам даны в таблице 2.5. Требуемое значение давления Р = 500 кПа.

Значения параметров элементов САР

На электрических станциях при производстве электроэнергии предъявляют определенные требования к стабильности частоты f генерируемой ЭДС. Частота f однозначно определяется угловой скоростью ω рабочего колеса гидротурбины. В связи с этим гид­ротурбины на электростанциях оснащают САР угловой скорости. На рисунке 2.5 показана схема одного из вариантов такой САР.

В данной системе объектом регулирования является гидротур­бина 1, регулируемой величиной — угловая скорость ω .Она при постоянном расходе воды изменяется в зависимости от нагрузки на валу турбины, т. е. от мощности Р, которая потребляется от ге­нератора 2 (с увеличением мощности угловая скорость снижается, с уменьшением — возрастает). Таким образом, мощность Р явля­ется внешним возмущающим воздействием на объекте регулиро­вания. Для регулирования угловой скорости предусмотрена за­слонка 3, с помощью которой изменяется расход воды через тур­бину. Он однозначно зависит от вертикального перемещения X заслонки. Следовательно, перемещение заслонки X можно рас­сматривать как регулирующее воздействие объекта регулирова­ния. Угловая скорость ω контролируется посредством тахогенератора 4, ЭДС Е которого сравнивается с задающим напряжением U0. Сигнал рассогласования Δ U через усилитель 5 управляет по­средством электродвигателя 6 и редуктора 7 заслонкой 3.

Рис. 2.5 Схема САР угловой скорости рабочего колеса гидротурбины

Динамические свойства элементов САР описываются следую­щей системой уравнений: