Уравнения прямых и плоскостей
Поверхности и линии первого порядка.
Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).
В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref
В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.
В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.
Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.
Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.
Рис. 6.1
Вектор \(\overrightarrow
$$
\boldsymbol
$$
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref
Уравнение \eqref
Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.
Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol
Рис. 6.2
Вектор \(\overrightarrow
\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
+t_<2>\boldsymbol.\label
$$
Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref
Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$
Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.
Прямая линия на плоскости.
Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.
В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref
Уравнение \eqref
Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol
Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol
Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).
Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2
Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol
Рис. 6.4. \(k=\operatorname
Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref
Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref
Векторные уравнения плоскости и прямой.
Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol
, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol
, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Уравнения \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol
Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol
Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol
Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol
$$
(x\boldsymbol
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol
$$
A = (\boldsymbol
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol
Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
$$
Вектор \(\boldsymbol
Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol
$$
x(\boldsymbol
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).
Это сразу вытекает из формул \eqref
Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref
Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.
Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.
Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.
Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.
Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.
Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$
Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах \eqref
Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.
Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol
Условия \eqref
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$
Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.
При условии \eqref
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\label
$$
Разумеется, систему \eqref
Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref
$$
t = \frac
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac
$$
Уравнения \eqref
Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.
Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.
Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref
Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$
Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref
Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
$$
Вектор с компонентами \eqref
Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .
Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.
Пусть в координатном пространстве заданы:
б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).
Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку
Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).
Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:
Параметрическое уравнение плоскости
Пусть в координатном пространстве заданы:
б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).
Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку
Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).
Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :
где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.
Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:
где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.
1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.
2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:
Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:
3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.
4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:
1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;
2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;
3) записать параметрическое уравнение (4.20).
5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:
и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):
6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.
Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:
а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;
б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и
Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:
1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;
2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;
3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):
б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и
Составляем уравнение (4.14):
Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):
Векторное уравнение плоскости
Кроме того, плоскость может быть описана с помощью точки и вектора, перпендикулярного плоскости, называемой нормальным вектором.
Векторное уравнение плоскости имеет следующий вид:
Параметрическое уравнение → Векторное уравнение
Метод
- Примите вектор положения из параметрического уравнения
- Вычислите нормальный вектор
- Вариант 1: используйте скалярное произведение
- Вариант 2: используйте перекрестное произведение векторов
- Вставьте вектор положения и нормальный вектор
Подсказка
Например
Вектор положения
Нормальный вектор
Вариант 1
Поскольку оба вектора направления перпендикулярны нормальному вектору $\vec
Теперь можно вычислить скалярное произведение.
Выберите любое значение $z$ , например $z=4$
Вычислите $x$, используя I. (вставьте $y$)
Вариант 2
Теперь мы вычисляем только перекрестное произведение векторов.
Вставьте
$\text
Векторное уравнение → параметрическое уравнение
Метод
- Примите вектор положения, векторного уравнения
- Используйте скалярное произведение для определения вектора направления
- Вставьте вектор положения и вектор направления
Подсказка
Например
$\text
Вектор положения
Вектор направления
Используя нормальный вектор, мы можем определить оба вектора направления, необходимые для Параметрического уравнения.
1. Вектор направления
Должен быть найден вектор, с которым скалярное произведение равно нулю.
Особенно легко заменить первую координату на 0,а затем поменять местами две другие координаты и изменить знак.
2 Вектор направления
Здесь последняя координата должна быть заменена на 0, а две другие координаты должны изменить знак.
Вставьте
$\text
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=uravneniya-ploskosti-komplanarnoi-dvum-nekollinyearnym-vektoram
http://lakschool.com/ru/matematika/ploskosti/vektornoe-uravnenie-ploskosti